第三单元 长方体和正方体（易错考点检测卷）-2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练（人教版）

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答案解析
一、填空题（满分20分）
1．（2分）如图，把一根长1.2米的长方体木料锯成3段，表面积增加了16平方分米，这根木料原来的体积是（ ）立方分米。
【正确答案】48
【思路分析】平均锯成3段后，相当于增加了4个底面积，求出底面积，用底面积乘木料的长1.2米，即可求出原来这根木料的体积。
【规范解答】1.2米＝12分米
16÷4＝4（平方分米）
4×12＝48（立方分米）
这根木料原来的体积是48立方分米。
2．（2分）为了降低包装成本，某糕点厂简化了一款糕点的包装盒，使包装盒的盒壁变薄，如图所示，包装盒的体积（ ），容积（ ）。（请选填：变大、变小、不变）
【正确答案】变小 不变
【思路分析】体积是指物体所占空间的大小；容积是指木箱、油桶的等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，据此解答。
【规范解答】包装盒的盒壁变薄了，说明包装盒的体积变小；
包装盒里面所装的物体的重量不变，说明包装盒的容积不变。
为了降低包装成本，某糕点厂简化了一款糕点的包装盒，使包装盒的盒壁变薄，包装盒的体积变小，容积不变。
3．（2分）一个长方体的纸箱，从里面量长10分米、宽7分米，高4分米。如果把棱长为2分米的正方体木块放到这个箱子里，最多能放（ ）个。
【正确答案】30
【思路分析】首先用10÷2求出沿长方体的长一排可以放几个；用7÷2求出沿长方体的宽可以放几排，用4÷2＝2求出沿长方体的高可以放几层。然后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【规范解答】10÷2＝5（个）
7÷2＝3（排）……1（分米）
4÷2＝2（层）
5×3×2＝30（个）
一个长方体的纸箱，从里面量长10分米、宽7分米，高4分米。如果把棱长为2分米的正方体木块放到这个箱子里，最多能放30个。
4．（2分）一个长方体，如果高增加3分米，就变成了一个正方体，这时表面积比原来增加了60平方分米，原来长方体的体积是（ ）立方分米。
【正确答案】50
【思路分析】长方体高增加3分米变成正方体，由此可知长方体的长和宽相等，且等于正方体的棱长，长方体的高比长和宽都少3分米。增加的表面积是4个相同的长方形的面积之和，先用60除以4，求出每个长方形的面积，长方形的长是正方体的棱长，宽是3分米，由此可以求出正方体的棱长，就能算出原来长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。
【规范解答】60÷4＝15（平方分米）
15÷3＝5（分米）
5－3＝2（分米）
5×5×2＝50（立方分米）
即原来长方体的体积是50立方分米。
5．（2分）做一个抽屉，长是60厘米，宽是25厘米，高是8厘米，需要木料（ ）平方厘米，这个抽屉的容积是（ ）立方厘米。（木料的厚度忽略不计）
【正确答案】2860 12000
【思路分析】做成的抽屉至少需用多少木料，就是求这个长方体四个侧面和一个底面的面积之和，也就是除了上面之外的5个面的长方体表面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，代入数据计算，即可求出做成的抽屉至少需用多少木料；再根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个抽屉的容积，据此解答。
【规范解答】需要木板的面积：
（60×8＋25×8）×2＋60×25
＝（480＋200）×2＋1500
＝680×2＋1500
＝1360＋1500
＝2860（平方厘米）
60×25×8
＝1500×8
＝12000（立方厘米）
即需要木料2860平方厘米，这个抽屉的容积是12000立方厘米。
6．（2分）南音乐器四宝是一种独特的打击乐器，也被称为“四块”，竹制，约长25厘米，宽3厘米，厚1厘米。每块四宝的体积约是（ ）立方厘米。
【正确答案】75
【思路分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出每块的体积。
【规范解答】25×3×1
＝75×1
＝75（立方厘米）
每块四宝的体积约是75立方厘米。
7．（2分）用一根36cm长的铁丝做一个正方体模型，如果正方体表面贴上纸板，至少需要（ ）cm2的纸板，它的体积是（ ）cm3。
【正确答案】54 27
【思路分析】根据题意，用一根36cm长的铁丝做一个正方体模型，那么这根铁丝的长度就是正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体模型的棱长；
如果正方体表面贴上纸板，求至少需要纸板的面积，就是求正方体模型的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解；
根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出它的体积。
【规范解答】正方体的棱长：36÷12＝3（cm）
正方体的表面积：3×3×6＝54（cm2）
正方体的体积：3×3×3＝27（cm3）
至少需要54cm2的纸板，它的体积是27cm3。
8．（2分）有三块积木，它们的每个面上都按相同的顺序写着“ABCDEF”，你能指出每个字母的对面是什么字母吗？
“A”的对面是“（ ）”，“B”的对面是“（ ）”，“E”的对面是“（ ）”。
【正确答案】C D F
【思路分析】根据相邻的面一定不是其对面推断，在①②中都出现A，B、E、F都与A相邻，只有C、D有可能是A的对面；在①③中都出现了E，A、B、C、D都与E相邻，可判断F是E的对面；再比较①③可确定A的对面是C，B的对面是D。
【规范解答】据分析可知，“A”的对面是“C”，“B”的对面是“D”，“E”的对面是“F”。
9．（2分）如图，把一根长2m且横截面是正方形的长方体木料截成3段，表面积增加了64dm2。原来这根木料的体积是（ ）m3。
【正确答案】0.32
【思路分析】把一根长2m的长方体木料截成3段，表面积会增加4个横截面的面积；用增加的表面积除以4，求出一个横截面的面积；再根据长方体的体积公式V＝Sh，用横截面的面积乘木料原来的长度，即可求出这根木料原来的体积。注意单位的换算：1m2＝100dm2。
【规范解答】64÷4＝16（dm2）
16dm2＝0.16m2
0.16×2＝0.32（m3）
原来这根木料的体积是0.32m3。
10．（2分）在长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体，如图所示。这个玻璃容器的容积是（ ）立方厘米。
【正确答案】30
【思路分析】从图中可知：在这个长方体玻璃容器中，长可以摆5个体积为1立方厘米的小正方体，宽可以摆3个，高可以摆2个，用5×3×2就可求出小正方体的总数，再乘1即玻璃容器的容积。
【规范解答】1×（5×3×2）
＝1×30
＝30（立方厘米）
这个玻璃容器的容积是30立方厘米。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）将两个完全一样的小正方体拼成一个，那么原来每个小正方体的表面积是拼成的长方体表面积的。（ ）
【正确答案】√
【思路分析】根据正方体表面积S＝6a2，长方体表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，分别求出它们的表面积，即可解答。
【规范解答】设小正方体棱长为a，则长方体的长宽高分别是2a、a、a。
小正方体表面积＝a×a×6＝6a2
长方体表面积＝（2a×a＋2a×a＋a×a）×2＝10a2
6a2÷10a2＝
因此，原来每个小正方体的表面积是拼成的长方体表面积的。
故答案为：√
【考察方向】本题考查的是正方体、长方体表面积公式的灵活运用。
12．（2分）底面周长为8cm的正方体，它的表面积是96cm2。（ ）
【正确答案】×
【思路分析】已知正方体的底面周长为8cm，由正方体的特征可知，正方体的底面是正方形；
根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出正方体的棱长；
然后根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出它的表面积。
【规范解答】正方体的棱长：8÷4＝2（cm）
正方体的表面积：2×2×6＝24（cm2）
底面周长为8cm的正方体，它的表面积是24cm2。
原题说法错误。
故答案为：×
13．（2分）相邻的体积和容积单位间的进率都是1000。（ ）
【正确答案】√
【思路分析】常见的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米。常见的容积单位有升、毫升，1升＝1000毫升，据此判断即可。
【规范解答】根据分析可知，相邻的体积单位之间的进率是1000，相邻的容积单位之间的进率也是1000，原题说法正确。
故答案为：√
14．（2分）用24cm长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的棱长是4cm。（ ）
【正确答案】×
【思路分析】24cm就是正方体的棱长总和；根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体的棱长，再进行比较，即可解答。
【规范解答】24÷12＝2（cm）
用24cm长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的棱长是2cm。
原题干说法错误。
故答案为：×
15．（2分）已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的3倍，王师傅给小正方体表面刷油漆正好用了2罐油漆，那么要给大正方体表面刷油漆需要准备油漆6罐。（ ）
【正确答案】×
【思路分析】将小正方体的棱长假设为1厘米，那么大正方体的棱长为3厘米。正方体表面积＝棱长×棱长×6，分别求出大正方体和小正方体的表面积。利用除法求出大正方体表面积是小正方体表面积的几倍，将给小正方体刷油漆的量乘这个倍数，求出给大正方体刷油漆需要准备几罐。
【规范解答】设小正方体的棱长是1厘米，那么大正方体的棱长是：1×3＝3（厘米）
小正方体的表面积：1×1×6＝6（平方厘米）
大正方体的表面积：
3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
54÷6＝9
2×9＝18（罐）
所以，要给大正方体表面刷油漆需要准备油漆18罐。
故答案为：×
三、选择题（满分10分）
16．（2分）如下图（单位：厘米），记录了欢欢比较土豆和红薯的体积时所做实验的过程。那么红薯的体积比土豆的体积多（ ）立方厘米。
A．600B．480C．360D．120
【正确答案】D
【思路分析】通过观察可知，物体的体积＝水上升部分的体积，上升部分水的体积＝容器的长×宽×上升部分的高度，放入土豆后，水面上升了（8－5）厘米，再放入红薯后，水面上升了（12－8）厘米，据此代入数据分别求出两个物体的体积，再用减法求出它们的体积差。
【规范解答】12×10×（8－5）
＝12×10×3
＝360（立方厘米）
12×10×（12－8）
＝12×10×4
＝480（立方厘米）
480－360＝120（立方厘米）
红薯的体积比土豆的体积多120立方厘米。
故答案为：D
17．（2分）一块正方体木料，它的底面积是10cm2，把它截成4段，表面积增加（ ）cm2。
A．30B．40C．60D．80
【正确答案】C
【思路分析】已知正方体木料的底面积是10cm2，根据正方体的特征可知，正方体的六个面都是相同的正方形，即这个正方体每个面的面积都是10cm2；
把这个正方体木料截成4段，需截3次，每截1次增加2个面，则截3次增加2×3＝6个面，再乘每个面的面积，即是增加的表面积。
【规范解答】2×3＝6（个）
10×6＝60（cm2）
表面积增加60cm2。
故答案为：C
18．（2分）一个长方体的长是4cm，宽是2cm，高是3cm。在它的顶点位置挖去一个棱长为1cm的小正方体（如图）。前后对比，下列说法正确的是（ ）。
A．表面积增加，体积减少B．表面积不变，体积减少
C．表面积减少，体积减少D．表面积和体积都不变
【正确答案】B
【思路分析】大正方体挖去一个小正方体，凹下去图形的三个面的面积刚好能补上原来缺失的三个面的面积，所以大正方体的表面积没有改变。组合体的体积是用大正方体的体积减去小正方体的体积，所以组合体的体积与之前大正方体的体积比较，体积减少了。据此解答。
【规范解答】根据分析得，挖去一个棱长为1cm的小正方体后，现在的图形和原图对比，表面积不变，体积减少了。
故答案为：B
19．（2分）一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的（ ）倍。
A．10B．100C．1000D．不能确定
【正确答案】B
【思路分析】假设正方体原来的棱长是1厘米，扩大到原来的10倍，就是10厘米，根据正方体的表面积公式，分别代入数据计算原来的正方体的表面积和扩大后的正方体的表面积，再用除法计算即可得解。
【规范解答】假设正方体原来的棱长是1厘米
（厘米）
原来的表面积：（平方厘米）
扩大后的表面积：
（平方厘米）
一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的100倍。
故答案为：B
20．（2分）把一个棱长为1分米的正方体木块切成棱长为1厘米的正方体小木块，再把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地（ ）平方分米。
A．1B．10C．100D．1000
【正确答案】B
【思路分析】一个棱长为1分米的正方体体积是1立方分米，棱长为1厘米的正方体的体积为1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，故可以切1000个这样的正方体小木块，边长l厘米的正方形面积是1平方厘米，1000个这样的小正方体占地1000平方厘米，1平方分米＝100平方厘米，将1000平方厘米换算成平方米即可解答。
【规范解答】由分析可知，每个小正方体占地面积为1平方厘米，1000个棱长为1厘米的小正方体占地面积为1000平方厘米，
1平方分米＝100平方厘米
1000÷100＝10
1000平方厘米＝10平方分米
即把这些切成的小木块拼成一排放在地面上，共占地10平方分米。
故答案为：B
四、计算题（满分6分）
21．（6分）分别求出如图图形的表面积和体积。（单位：cm）
【正确答案】左图：表面积是236平方厘米，体积是240立方厘米
右图：表面积是150平方厘米，体积是113立方厘米
【思路分析】左图是一个长方体，利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，结合图中数据计算即可；
右图图形是一个不规则的图形，将凹进去的面平移正好转化为一个正方体，即原图的表面积＝棱长是5厘米的正方体的表面积＝6a2，图形的体积＝正方体的体积－长是2厘米，宽是2厘米，高是3厘米的长方体的体积，由此解答本题。
【规范解答】（8×6＋8×5＋6×5）×2
＝（48＋40＋30）×2
＝118×2
＝236（平方厘米）
8×6×5＝240（立方厘米）
图形的表面积是236平方厘米，体积是240立方厘米。
5×5×6＝150（平方厘米）
5×5×5－2×2×3
＝125－12
＝113（立方厘米）
图形的表面积是150平方厘米，体积是113立方厘米。
五、作图题（满分6分）
22．（6分）在下边的方格图中补全长方体展开图的上面和右面。

【正确答案】见详解
【思路分析】长方体有6个面，一般都是长方形，相对的面完全相同；结合图示观察得到长方体的前后面、下面、左面；且能够发现，左面的面是3×2的长方形，下面的面是4×3的长方形，因为相对的面完全相同，则可知：右面的面也是3×2的长方形、上面的面也是4×3的长方形；
最后，把这个长方体的展开图看作1-4-1结构的，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；想象折起后，与左面相对的面应该在同一水平面上，且与左面相隔一个面，则可确定右面的面的位置，同理确定上面的面的位置。
【规范解答】由分析得：

【考察方向】考查了对于长方体展开图的理解，需要熟悉长方体的特征，也要对展开图的几种结构有所把握。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）如图（单位：厘米），有两个长方体玻璃水箱，现在甲水箱是空的，乙水箱里水深12厘米。如果将乙水箱里的水倒一部分给甲水箱，使两个水箱中的水的高度相同，那么这时水的高度是多少厘米？
【正确答案】4厘米
【思路分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷两个水箱底面积的和＝水的高度，据此列式解答。
【规范解答】20×20×12＝4800（立方厘米）
4800÷（40×20＋20×20）
＝4800÷（800＋400）
＝4800÷1200
＝4（厘米）
答：这时水的高度是4厘米。
24．（6分）下面是小明比较土豆和胡萝卜体积时做的实验，长方体容器的长是12厘米，宽是12厘米，高是24厘米。观察他的实验过程，请计算出土豆和胡萝卜的体积。
【正确答案】土豆的体积是360立方厘米；胡萝卜的体积是504立方厘米
【思路分析】根据题意可知，物体的体积＝上升部分水的体积，根据长方体的体积公式，可知上升部分水的体积＝长×宽×上升部分的高度，已知放入土豆后水面上升了（10.5－8）厘米，放入胡萝卜后水面上升了（14－10.5）厘米，据此代入数据解答即可。
【规范解答】土豆：
12×12×（10.5－8）
＝12×12×2.5
＝360（立方厘米）
胡萝卜：
12×12×（14－10.5）
＝12×12×3.5
＝504（立方厘米）
答：土豆的体积是360立方厘米，胡萝卜的体积是504立方厘米。
25．（6分）一个长方体的礼品盒（如下图），像这样用红色丝带捆扎起来，打结处需30厘米。捆扎这个礼品盒至少需要红色丝带多少厘米？（图中单位：厘米）
【正确答案】280厘米
【思路分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要红色丝带的长度＝2条长＋4条宽＋6条高＋打结用的长度，据此解答。
【规范解答】40×2＋20×4＋15×6＋30
＝80＋80＋90＋30
＝280（厘米）
答：捆扎这个礼品盒至少需要红色丝带280厘米。
26．（6分）两个长方体盒子的底面是边长相同的正方形，乙盒高12厘米，比甲盒高4厘米。绕两个盒子侧面的一周分别贴上标签后，发现乙盒用的标签比甲盒多80平方厘米。请你计算出两个盒子的体积。
【正确答案】200立方厘米；300立方厘米
【思路分析】绕盒子一周贴的标签的面积等于盒子的侧面积，两个长方体盒子的底面是边长相同的正方形，所以两个盒子的侧面分别由4个相同的长方形组成的，一共相差80平方厘米，说明甲盒侧面的一个长方形的面积与乙盒侧面的一个长方形的面积相差：80÷4＝20（平方厘米）（下图中的阴影部分）；由题意可知这个阴影长方形的宽是4 cm，进而可以求出长是20÷4＝5（厘米），也就是两个盒子底面正方形的边长。最后用体积公式分别计算出两个盒子的体积即可。
【规范解答】（平方厘米）
20÷4＝5（厘米）
（立方厘米）
（立方厘米）
答：甲盒子的体积为200立方厘米，乙盒子的体积为300立方厘米。
27．（6分）我国最大的港口是上海港，它也是世界最大的十大港口之一，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的长方体集装箱，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？
【正确答案】96吨
【思路分析】已知集装箱是一个长10米、宽8米、高4米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1000立方分米”，求出集装箱的体积；再用每立方分米货物的重量乘集装箱的体积，即是这一箱货物的重量。注意换算单位。
【规范解答】10×8×4
＝80×4
＝320（立方米）
320立方米＝320000立方分米
320000×0.3＝96000（千克）
96000千克＝96吨
答：这一箱货物有96吨。
28．（6分）如图，一个长方体，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，剩下的部分正好成为一个正方体。原来长方体的体积是多少？
【正确答案】200立方厘米
【思路分析】根据题意，高截去3厘米，表面积就减少了60平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽（3厘米），即可求出原来长方体的长和宽，然后根据长方体的体积V＝abh，代入数据解答。
【规范解答】60÷4＝15（平方厘米）
15÷3＝5（厘米）
5×5×（5＋3）
＝25×8
＝200（立方厘米）
答：原来长方体的体积是200立方厘米。
29．（6分）用下面5块玻璃（单位：分米）可以拼接成一个无盖的长方体玻璃容器（接头处忽略不计）。
（1）这个长方体玻璃容器的容积是多少升？
（2）现将500升水倒入这个容器中，水面高多少分米？
【正确答案】（1）1000升
（2）5分米
【思路分析】（1）由题意可知，这个无盖的长方体玻璃容器的长为20分米，宽为5分米，高为10分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可；
（2）根据长方体的体积公式：V＝abh，即h＝V÷a÷b，据此进行计算即可。
【规范解答】（1）20×5×10
＝100×10
＝1000（立方分米）
＝1000（升）
答：这个长方体玻璃容器的容积是1000升。
（2）500升＝500立方分米
500÷20÷5
＝25÷5
＝5（分米）
答：水面高5分米。
30．（6分）工作人员正在制作一批彩灯，先用一根长铁丝制作了一个长7分米、宽2分米、高3分米的长方体彩灯框架（铁丝刚好用完无剩余）。
（1）如果把这个长方体彩灯的底部和四周用装饰纸围起来，至少需要多少平方分米的装饰纸？（开口处忽略不计）
（2）如果用同样长度的铁丝制作一个正方体彩灯框架（铁丝无剩余），那么这个正方体的棱长是多少？
【正确答案】（1）68平方分米
（2）4分米
【思路分析】（1）需要装饰纸的面积就是长方体5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式代入数据进行解答，本题长方体的表面积（5个面）＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2。
（2）根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的总长度，正方体的12条棱长相等，所以，正方体的棱长＝铁丝总长度÷12，据此解答。
【规范解答】（1）7×2＋（7×3＋2×3）×2
＝14＋（21＋6）×2
＝14＋27×2
＝14＋54
＝68（平方分米）
答：至少需要68平方分米的装饰纸。
（2）（7＋2＋3）×4
＝12×4
＝48（分米）
48÷12＝4（分米）
答：这个正方体的棱长是4分米。