四川省射洪中学2025届高三下学期3月二模试题 数学 Word版含答案

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二、填空题：12、 13、2 14、
15．【详解】（1）函数的定义域为，不等式，
令，依题意，恒成立，，
当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）由函数，求导得，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，无解；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得，符合题意，
所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.
16【详解】（1）当时，联立，得．
因为与有且仅有一个交点，所以，解得．
所以的方程为．
（2）联立，得．
因为与交于不同的两点，所以，即．
设，，
因为，所以．
．
，所以．
【详解】（1）在中，因为，满，
所以；
因为平面平面，平面平面平，故平面；
又因为平面，所以.
因为是等腰直角三角形，，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系，取的中点，则，且，
则点的坐标为.又，
则，，
， ，
，
故异面直线与的夹角的余弦值为.
（3）设三棱锥外接球的球心的坐标为，
则由，可得，解得，
即.球的半径，
由（1）知，平面，则平面的一个法向量为，
又因为，则球心到平面的距离为
.
故点到平面距离的最大值为.
18．【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，
则．
（ii）根据题意可知的取值可能为、、、．
则，，
，．
则的分布列为：
所以．
（2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，
则
，其中，
因为，所以在单调递增．
注意到，所以，故的最小值为．
19．【详解】（1）（Ⅰ）由题意知：，，
又，，即，
所以是数列的生成函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，，
所以
两式相减得：
所以.
（2）由题意知：，，
，
，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，又，
，（，），
则当时，，
即，
（，）.题号
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答案
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B
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C
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D
BC
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