江西省全南中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省全南中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 集合有7个元素C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出全集中的元素，根据集合的交并补运算逐项检验是否正确.
【详解】由题意知共7个元素,故，，，所以A，B，D三项正确，C项错误.
故选：C
2. 下列各角中，与2286°角终边相同的角是（ ）
A. 36°B. 126°C. 216°D.
【答案】B
【解析】
【分析】由终边相同角的定义判断即可.
【详解】因为，
所以与角终边相同的角是126°.
故选：B.
3. 如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】在间阴影部分区域表示的角的范围是，然后再写出终边落在阴影部分的区域内的角的集合.
【详解】解：在间阴影部分区域中边界两条终边表示角分别为，.
所以阴影部分的区域在间的范围是.
所以终边在阴影部分区域的角的集合为：.
故选：C.
【点睛】本题考查了象限角，终边相同的角的集合表示法，某一范围内角的集合的表示法，属于基础.题.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合方式不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】由，得，即，故充分；
由，得，即，则或，故不必要.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知函数f（x）对任意的实数x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，则f（2022）等于（ ）
A. ﹣6B. ﹣3C. 0D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】分析可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，即可求解，得到答案．
【详解】根据题意，函数对任意的实数均有，即，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
则，故选B．
【点睛】本题主要考查了函数的周期的判定及其应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6. 我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案.
【详解】设角所在的扇形的半径为r，则，
所以，
所以，
故选：D．
7. 中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，若扇环所在圆的圆心角，则扇环的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设扇环所在圆的圆心为，结合扇形的弧长公式求出，，进而结合扇形的面积公式求解即可.
【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角，
根据，得到，
所以扇环面积.
故选：A.
8. 定义在上的函数满足，且对任意的，，都有，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意都有，可知函数在时单调递增，然后根据单调性和对称性即可得到，化简即可求解．
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
又对任意的，，都有，
所以在上单调递增，
若，则，
解得，
即的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 第二象限角都是钝角
B. 第二象限角大于第一象限角
C. 若角与角不相等，则与的终边不可能重合
D. 若角与角的终边在一条直线上，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据象限角的定义即可判断AB；根据终边相同的角的关系即可判断CD.
【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B，是第二象限角，是第一象限角，但，故B错误；
对于C，，则，但二者终边重合，故C错误；
对于D，角与角的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差的整数倍，
故，故D正确.
故选：ABC.
10. 若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质求参数．
【详解】由，得函数的对称轴为，
当时，函数取的最小值为，
当或时，函数值为，
函数的定义域为，值域为，
所以，实数的值可能为．
故选：ABC
11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A. 的周期为2
B.
C. 的所有零点之和为14
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期可判断A选项；结合已知和对称性得，，，，进而利用周期性求和可判断B选项；将的零点转化为函数图象的交点问题即可求解C选项；结合与的函数值的符号，根据奇函数的性质和周期性可判断D选项.
【详解】为偶函数，，
，且函数的图象关于直线对称，
又是定义在上的奇函数，，，
，且函数的图象关于点对称，
函数的周期为4，故A错误；
当时，，，
而，，，
，故B正确；
函数的零点可看作与的图象交点的横坐标，
作出与的图象，
观察图象知，直线与的图象共有7个交点，且它们关于点成中心对称，
所有零点之和为，故C正确；
当时，，，与均为奇函数，
则当时，，，
当时，，
又与的周期都为4，
在上成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：(1)关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；(2)关于周期：若，或，可知函数的周期为.
三、填空题
12. 已知某同学10次数学测试多项选择题得分如下：8，12，10，13，9，12，15，11，14，16，则这组数据的上四分位数为________．
【答案】14
【解析】
【分析】由百分位数的计算步骤求解即可；
【详解】将这10次成绩从小到大的顺序排列如下：8，9，10，11，12，12，13，14，15，16，
∵
∴该组成绩的上四分位数为排序后的第8个数字14．
故答案为：14
13. 已知随机事件中，与相互独立，且，，则__________.
【答案】0.94
【解析】
【分析】根据和事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式可得答案.
【详解】因为与相互独立，
所以，
所以，
故答案为：0.94.
14. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，需
解得：
即
故答案为：
四、解答题
15. （1）化简：；
（2）已知角终边上一点，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）应用指对数的运算性质化简求值即可；
（2）应用诱导公式化简及终边上的点求正切函数值，即可得结果.
【详解】（1）
；
（2）由题可知，
则
16. 已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．
（1）若，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；
（3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可；
（2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积
（3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得；
【小问1详解】
．
【小问2详解】
设弓形面积为．由题知．
．
【小问3详解】
由已知得，，
所以．
所以当时，S取得最大值，
此时．
17. 已知函数，且．
（1）求实数的值；
（2）若，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可解得结果；
（2）换元为二次函数可求出结果.
【小问1详解】
因，所以，
所以，得.
【小问2详解】
由（1）知，，
设，因为，所以，
设，，
则当时，，
当时，.
所以函数的值域为.
18. 赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数
（2）用分层随机抽样方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率;
（3）已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差
【答案】（1）
（2）；
（3），
【解析】
【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为，利用这个性质可求出的值.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定.
（2）先根据分层随机抽样的原理确定从和中抽取的人数，然后利用组合数计算从个人中随机抽两人且在同一区间的概率.
（3）求的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算.
【小问1详解】
由，解得
满意度分值在频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为
【小问2详解】
从中抽取2人，记为A，B，
从中抽取3人，记为a，b，c
所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况，
取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为，
人满意度分值在同一区间的概率为；
【小问3详解】
满意度分值在的频率为，人数为
在的频率为，人数为30，
满意度分值在的平均数，方差，
在的平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
满意度分值在的方差为s22-2]
19. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．
（1）试利用对数运算性质计算的值；
（2）已知为正数，若，求的值；
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注）
【答案】（1）
（2）
（3）610
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；
（2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可；
（3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
由题意知，令，则，
所以，
所以；
【小问3详解】
设，则，又，
所以，
所以，则，
所以的位数为610．