河南省驻马店市环际大联考2024-2025学年高二下学期3月阶段考试（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省驻马店市环际大联考2024-2025学年高二下学期3月阶段考试（一）数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列1，，，，3，⋯，按此规律，7是该数列的（ ）
A．第24项B．第25项C．第26项D．第27项
2．在等差数列中，，且，则等于（ ）
A．B．C．0D．1
3．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
4．在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
5．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．24.5尺B．25.5尺C．37.5尺D．96尺
6．某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：
根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ）
A．，具有负相关关系，相关系数
B．每增加一个单位，平均减少个单位
C．第二个样本点对应的残差
D．第三个样本点对应的残差
7．已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是等比数列的前项和，则“，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
二、多选题
9．国家统计局月日发布数据显示，年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．由散点图知变量和正相关
C．相关系数
D．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为
10．数列的前项和为，已知，则（ ）
A．是递增数列B．
C．当时，D．当且仅当时，取得最大值
11．已知数列满足，，则（ ）
A．是等差数列
B．的前项和为
C．是单调递增数列
D．数列的最小项为
三、填空题
12．已知等比数列满足，，则 ．
13．已知数列满足，若为数列的前项和，则
14．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为 ．
四、解答题
15．设为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值及此时的值．
16．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营．2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．
(1)完成给出的列联表；
(2)根据独立性检验，判断是否有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
参考公式及数据：．
17．已知数列的前项和为，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和．
18．设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列．
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差．
1
2
3
4
5
6
7
2
3
5
7
8
8
9
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计
α
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
1．323
2．706
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
1．B
根据数列的前几项找出数列的通项公式，再令通项公式的值等于，进而求出是该数列的第几项.
【详解】此数列可写为：，，，，，⋯，所以该数列的通项公式为：，，解得，
故选：B．
2．C
设出公差，由题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，首项为，
若，则有，
又由，则，
解得，，
故.
故选：C．
3．B
利用等差数列和等比中项的公式可得答案.
【详解】因为等差数列的公差为，所以，
因为，，成等比数列，所以，解得，
所以.
故选：B
4．C
通过数列的递推公式计算数列的前项，可得数列为周期数列，由此可得结果.
【详解】∵，，
∴，，，
∴数列为周期数列，周期为.
∵，
∴.
故选：C．
5．B
利用等差数列下标的性质，通过已知的两个和式来推导出第三个和式的值.
【详解】设这十二个节气的日影长依次成等差数列，其中冬至的日影长为，
由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为，
小寒、雨水、清明日影长之和为，
大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为，
所以．
故选：B．
6．C
根据相关系数的绝对值不超过1可得选项A错误；根据回归直线方程可得选项B错误；根据残差的概念可得选项C正确，选项D错误.
【详解】A.相关系数的绝对值不超过1，A错误；
B.由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B错误；
C.第二个样本点对应的残差，C正确；
D.第三个样本点对应的残差，D错误．
故选：C.
7．D
根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，
∵，，
∴数列为递减数列，
∴，，，
由得，即，
∴，
∴使的最小的的值为.
故选：D．
8．A
根据充分条件、必要条件的概念，结合等差数列、等比数列的相关公式可得结果.
【详解】设等比数列的公比为.
由，，依次成等差数列，可得，
当时，，，，不满足，故，
∴，
∵，∴，解得或（舍）．
当时，，，
∴，即，，依次成等差数列，故充分性成立．
由，，依次成等差数列可得，即，
由得，解得或，故或．
当时，，，，不满足，故必要性不成立.
综上可得，“，，依次成等差数列”是“，，依次成等差数列”的充分不必要条件．
故选：A．
9．ABC
根据平均数的概念可得选项A正确；画出散点图可得选项B正确；根据变量和正相关可得选项C正确；根据回归直线过样本中心点得选项D错误.
【详解】A.，，A正确；
B.根据表格作出散点图，因为散点图的分布从左下到右上，所以和正相关，B正确；
C.由选项B可知相关系数，故C正确；
D.由题意得，样本中心点的坐标为，即，回归直线过点.
当时，，故D错误.
故选：ABC.
10．BC
根据求出数列的通项公式，结合可得选项A错误；利用通项公式可得选项B正确；利用通项公式解不等式可得选项C正确；根据二次函数的性质可得选项D错误.
【详解】A.当时，，
∵，满足上式，
∴，
∵，
∴是递减数列，故A错误.
B.由得，故B正确；
C.由得，故C正确；
D.∵二次函数图象开口向下，对称轴为直线，，
∴当或时，取得最大值，故D错误.
故选：BC.
11．BCD
由题意可得，则可得的通项公式，再求出并求和即可得A、B；借助的通项公式即可得C；结合基本不等式及其取等条件可得D.
【详解】对A、B：由，得，因为，
所以，，⋯，，从而，
所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，
即，所以，
所以，所以A错误，B正确；
对C：由，易知是单调递增数列，C正确；
对D：，
当且仅当，即时取等，
又为正整数，所以上述不等式等号不成立，
故当时，有最小值，D正确.
故选：BCD．
12．2
根据等比数列通项公式判断的正负，再利用等比中项性质求出的值.
【详解】设等比数列的公比为，则，
由等比中项的性质可得，解得．
故答案为：2.
13．626
根据所给递推关系式，构造等差数列、等比数列求和，再分组求和即可.
【详解】数列中，，
当时，，
即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，
则，
当时，，
即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，
则，
所以.
故答案为：626
14．28
由题意分析数列的情况，求出和时的值，进而求解即可.
【详解】由题意得数列的前项依次为：
1，2个3，3，个3，7，个3，15，个3，31，⋯⋯，
当时，，
当时，，
所以使得成立的的最小值为28.
故答案为：28.
15．(1)
(2)，的最大值，此时
（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式；
（2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，．
所以，解得，
所以的通项公式是．
（2）

当且仅当时，的最大值为16．
16．(1)列联表见解析
(2)有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关
（1）根据已知条件填写列联表；
（2）根据已知计算，再与临界值比较判断即可.
【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下：
（2），
所以有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
17．(1)，；
(2)
（1）利用等差数列的性质得到的表达式，再通过与的关系求出通项公式；
（2）求出，采用错位相减法求出其前项和.
【详解】（1）∵，，成等差数列，
∴，即，
当时，
当时，， 也满足，
∴数列的通项公式为，；
（2）由（1）得，
则数列前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
18．(1) ； (2) .
(1)由可得两式相减得.利用等比数列的定义求解即可；(2)由(1)已知可得，利用裂项相消法求解即可.
【详解】(1)由可得两式相减得.
又，则.
所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故.
(2)由(1)已知可得，
故其前n项和，
化简可得.
19．(1)
(2)
(3)的最大值是，公差为
（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值.
（2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式.
（3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值.
【详解】（1）由题意得，，，，
∴，，
设数列的二阶和数列的公比为，则，
∴，，，
∴，，，
∴，，．
（2）设的二阶和数列的前项和为，
由题意得，，，
由得数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴.
（3）∵，
∴，故．
设数列的公差为，则，
∴，得，
∵反比例函数在上为增函数，
∴由得，，故，
∵，
∴，故，
∴的最大值是，由得公差.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
B
C
D
A
ABC
BC
题号
11









答案
BCD









有报考意向
无报考意向
合计
男学生
100
400
500
女学生
100
300
400
合计
200
700
900