2025年济南历程区九年级中考数学一模考试试题（含答案）

这是一份2025年济南历程区九年级中考数学一模考试试题（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在0，−2，−5，π这四个数中，最小的数是（ ）
A.0 B.﹣2 C.−5 D.π
2.我国的北斗卫星导航系统中有一颗轨道卫星高度大约是21500000米。将数字 21500000
用科学记数法表示为（ ）
×107 ×109 ×108 D.21.5×107
3.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功。如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
C.
4.如图，直线 a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1=55 ∘，则 ∠2的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.125°
5.实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ ）
A.a+b＜0 B.a﹣b＜0 C.﹣a﹣b＜0 D.a＞b
6.2024 年 7 月，第 33 届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办。下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
7.某博物馆开展 “文化讲解员” 招募活动。两位同学分别从 “恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展” 四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ）
A.16 B.14 C.13 D.12
8.如图，正方形ABCD的顶点 B在 x轴上，点A，点 C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上。若直线BC 的函数表达式为y=12x−4，则k等于（ ）
A.24 B.16 C.12 D.6
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=36∘，分别以点 A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点 M和N，作直线MN交BC于D，连接AD，再以点 A为圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接AE。若AD=4，则BC的长为（ ）
A.25+2 B.25+1 C.5+3 D.5+4
10.在平面直角坐标系中，对于点 P(x1,y1)和点 Q(x2,y2)，若满足x1+x2=y1+y2，我们称点 P和点 Q互为等和点。下列结论：①若点 P坐标为 (1,3)，则点 P的等和点 Q在直线 y=x−2上；
②若点PQ分别在函数y=x2−x、y=x+1的图象上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为 (1,0)；
③若点 P坐标为(−3,2)，则无论a取何值，直线 y=ax−3a+1上有且只有一个点是点 P的等和点；④若点P坐标为(n,0)，则二次函数y=−x2−nx+1的图象上总存在点P的等和点。其中，正确结论的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成。向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 __________。
12.化简a﹣2a+3·a2+3aa2﹣4的结果为 __________。
13.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图 1 所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中。图 2 是八角形窗户的示意图，它的一个外角
∠1的大小为 __________。
14.随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚。如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的 3 倍。设聪聪行走的时间为 x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 __________cm。
15.如图，在平行四边形ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E。当点E恰好落在AB边上时，若AP=2，PD=3，DC=13，则 AE的长为 __________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）计算：(π−5)0+8−2sin30∘+﹣2+(12)−1

17.（7 分）解不等式组：12+2x＜﹣32x+4①2（x﹣1）＜2+3x②，并求所有整数解的和。
18.（7 分）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点 F。求证：DE=DF。
19.（8 分）如图 1 是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图 2 是平面示意图。路灯AB
和汽车折臂升降机的折臂底座 CD都垂直于地面 MN，且它们之间的水平距离 BC=2m，折臂底座高 CD=1.5m，上折臂 AE与下折臂DE的夹角∠AED=88 ∘，下折臂 DE与折臂底座的夹角∠CDE=135∘，下折臂端点E到地面 MN距离是4.5m。
（1）求下折臂 DE 的长；
（2）求路灯 AB的高。（结果精确到0.1m，参考数据：sin43∘≈0.68，cs43∘≈0.73，tan43∘≈0.93，2≈1.41）
20.（8 分）如图，△ABC内接于 ⊙O，AB是 ⊙O的直径，过点C作 ⊙O的切线交 AB的延长线于点 F，过点 A作AD⊥CF，交直线 CF于点D，交⊙O于点 E。
（1）求证：AC平分 ∠BAD；
（2）若 CD=2，AD=4，求线段 AF的长。
21.（9 分）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗 5 万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了 50 个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析。下面给出了部分信息。
a. 甲试验田穗长的频数分布统计表如表 1 所示（不完整）；
b. 乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示；

c. 乙试验田穗长在 6≤x≤6.5这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4
d. 甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表 2）：
根据以上信息，回答下列问题：
表 1 中 m的值为 __________，n的值为 __________；
（2）表 2 中w的值为 ；
（3）在此次考查中，穗长为 5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是 ；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是 __________；
（4）若穗长在 5.5≤x0)的图象分别交于点 A(4,m)和点B(n,−2)，且与 x轴交于点C(1,0)。
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图 1，将直线y= 12x+b 向上平移 d(d>0)个单位，平移后的直线与y=kx(k>0)的图象在第一象限交于点P，若 S △PCA=154，求平移距离 d；
（3）如图 2，Q是第二象限内一点，∠QCO=45∘，连接QB，将 △QCB绕点O顺时针旋转 90∘，点Q的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点Q的坐标。
24.（12 分）抛物线y=ax2−2x+c(a=0)交x轴于 A(−1,0)，B两点（B在A的右侧），交y轴于点C(0,−52)，M是第四象限内抛物线上一动点。
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如图 1，连接BC，过动点 M作MD⊥BC，垂足为点 D，连接 CM。当 DM=554 时，求 CM的长；
（3）如图 2，过动点M作 BC的平行线交 y轴于点N，若射线AC平分线段MN，求点M的坐标。
25.（12 分）（一）模型呈现
（1）如图 1，点A在直线 l上，∠BAD=90∘，AB=AD，过点B作BC⊥l于点 C，过点D作DE⊥l于点E，由 ∠1+∠2=∠2+∠D=90∘，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90∘，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=__________，BC=__________。我们把这个数学模型称为 “K 字” 模型或 “一线三等角” 模型；
（二）模型体验
（2）如图 2，在△ABC中，点D为AB上一点,DE=DF=3，∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF 的周长为 10，△ABC 的周长为 18。小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE=BD，AD=BF，那么 AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=__________；
（三）模型拓展
（3）如图 3，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2BC，直线 MN 经过 C，且AD⊥MN于点 D， BE⊥MN于点E。请猜想线段 DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；
（四）模型应用
（4）如图 4，已知在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，点 E在CD边上，且 DE=4。P是对角线 AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足 sin∠EPQ=255，当P在 AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在0，−2，−5，π这四个数中，最小的数是（ C ）
A.0 B.﹣2 C.−5 D.π
2.我国的北斗卫星导航系统中有一颗轨道卫星高度大约是21500000米。将数字 21500000
用科学记数法表示为（ A ）
×107 ×109 ×108 D.21.5×107
3.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功。如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ D ）
C.
4.如图，直线 a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1=55 ∘，则 ∠2的度数为（ A ）
A.35° B.45° C.55° D.125°
5.实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（ C ）
A.a+b＜0 B.a﹣b＜0 C.﹣a﹣b＜0 D.a＞b
6.2024 年 7 月，第 33 届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办。下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ B ）
7.某博物馆开展 “文化讲解员” 招募活动。两位同学分别从 “恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展” 四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ B ）
A.16 B.14 C.13 D.12
8.如图，正方形ABCD的顶点 B在 x轴上，点A，点 C在反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上。若直线BC 的函数表达式为y=12x−4，则k等于（ A ）
A.24 B.16 C.12 D.6
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=36∘，分别以点 A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点 M和N，作直线MN交BC于D，连接AD，再以点 A为圆心，以AD的长为半径作弧交射线BC于点E，连接AE。若AD=4，则BC的长为（ D ）
A.25+2 B.25+1 C.5+3 D.5+4
10.在平面直角坐标系中，对于点 P(x1,y1)和点 Q(x2,y2)，若满足x1+x2=y1+y2，我们称点 P和点 Q互为等和点。下列结论：①若点 P坐标为 (1,3)，则点 P的等和点 Q在直线 y=x−2上；
②若点PQ分别在函数y=x2−x、y=x+1的图象上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为 (1,0)；
③若点 P坐标为(−3,2)，则无论a取何值，直线 y=ax−3a+1上有且只有一个点是点 P的等和点；④若点P坐标为(n,0)，则二次函数y=−x2−nx+1的图象上总存在点P的等和点。其中，正确结论的个数是（ B ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成。向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ____49______。
12.化简a﹣2a+3·a2+3aa2﹣4的结果为 _____2a+2_____。
13.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图 1 所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中。图 2 是八角形窗户的示意图，它的一个外角
∠1的大小为 _____45°_____。
14.随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚。如图，某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的 3 倍。设聪聪行走的时间为 x(s)，聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm)，y2(cm)，y1，y2与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 _____310_____cm。
15.如图，在平行四边形ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E。当点E恰好落在AB边上时，若AP=2，PD=3，DC=13，则 AE的长为 _____1_____。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）计算：(π−5)0+8−2sin30∘+﹣2+(12)−1
=1+22﹣1+2+2
=32+2
17.（7 分）解不等式组：12+2x＜﹣32x+4①2（x﹣1）＜2+3x②，并求所有整数解的和。
解不等式①：x−4
不等式组的解集为﹣4＜x＜1
整数解：−3,−2,−1,0，和为−6
18.（7 分）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点 F。求证：DE=DF。
证明：∵四边形 ABCD 是菱形
∴AB = BC , ∠A = ∠C
∵BE⊥AD , BF⊥CD
∴∠AEB = ∠CFB =90°
在△ ABE 和△ CBF 中，
∠A = ∠C ∠AEB = ∠CFB =90°AB = CB
∴△ ABE≌△ CBF ( AAS )
∴AE = CF
∵AD = CD
∴AD - AE = CD - CF
即 DE = DF
19.（8 分）如图 1 是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图 2 是平面示意图。路灯AB
和汽车折臂升降机的折臂底座 CD都垂直于地面 MN，且它们之间的水平距离 BC=2m，折臂底座高 CD=1.5m，上折臂 AE与下折臂DE的夹角∠AED=88 ∘，下折臂 DE与折臂底座的夹角∠CDE=135∘，下折臂端点E到地面 MN距离是4.5m。
（1）求下折臂 DE 的长；
（2）求路灯 AB的高。（结果精确到0.1m，参考数据：sin43∘≈0.68，cs43∘≈0.73，tan43∘≈0.93，2≈1.41）
(1）过点 E 作 EG⊥MN 于点 G ，过点 D 作 DH⊥EG 于点 H
∴HG = DC =1.5, ∠HDC =90°
∴EH = EG - HG =4.5-1.5=3,∠CDE =135°
∴∠EDH =∠EDC -∠HDC =45°
在 Rt△ EHD 中，ED =32≈3x1.41=4.23≈4.2m
答：下折臂 DE 的长约为4.2m.
(2）过点 E 作 EK⊥AB ，垂足为 K .
∵EK // HD ,
∴∠KED = ∠EDH =45°
∵∠AED =88°
∴∠AEK = ∠AED - ∠KED =43°
∵GC = HD =3, BC =2
∴BG =5
由题意可得四边形 EGBK 是矩形
∴EK =5, KB =4.5
在 Rt △ AEK 中，tan43°=AKEK≈0.93,
∴AK = EK·0.93°≈5x0.93=4.65
∴AB = KB + AK =4.5+4.65=9.15≈9.2( m )
答：路灯 AB 的高约为9.2m.
20.（8 分）如图，△ABC内接于 ⊙O，AB是 ⊙O的直径，过点C作 ⊙O的切线交 AB的延长线于点 F，过点 A作AD⊥CF，交直线 CF于点D，交⊙O于点 E。
（1）求证：AC平分 ∠BAD；
（2）若 CD=2，AD=4，求线段 AF的长。
(1）证明：连接 OC
∵FC 与 ⊙O 相切于点 C
∴FC⊥OC ，即∠FCO =90°
∵AD⊥CF
∴∠ADF =90°
∴∠FCO = ∠ADF
∴OC// AD
∴∠OCA=∠CAD
∵OC = OA
∴∠OCA = ∠OAC
∴∠OAC = ∠CAD
∴AC 平分 BAD
(2)∵CD =2, AD =4,
∴AC =25
∵AB 是 ⊙O 的直径
∴∠ACB = ∠D =90°
∵∠BAC = ∠CAD
∴△ABC∽△ACD
∴AB25=254
∴AB =5
∴OA = OC =2.5
∵∠FCO =∠D , ∠F = ∠F
∴△ FCO∽△ FDA
∴AF﹣2.5AF=2.54
∴AF =203
21.（9 分）某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗 5 万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了 50 个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析。下面给出了部分信息。
a. 甲试验田穗长的频数分布统计表如表 1 所示（不完整）；
b. 乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示；

c. 乙试验田穗长在 6≤x≤6.5这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4
d. 甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表 2）：
根据以上信息，回答下列问题：
表 1 中 m的值为 __________，n的值为 __________；
（2）表 2 中w的值为 ；
（3）在此次考查中，穗长为 5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是 ；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是 __________；
（4）若穗长在 5.5≤x