吉林省东北师范大学附属中学2024_2025学年高二下学期开学验收考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省东北师范大学附属中学2024_2025学年高二下学期开学验收考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．380B．190C．188D．240
3．已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
4．在平面直角坐标系中，记d为点到直线的距离，当、变化时，d的最大值为( )
A．B．
C．D．
5．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知空间四点，，，，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．15D．
7．在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有
A．20B．21C．22D．24
8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题（本大题共3小题）
9．在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底
C．“向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件
D．，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件
10．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中不含常数项
C．展开式中项系数为80
D．展开式中各项系数绝对值的和为243
11．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2
C．若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32
D．若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2
三、填空题（本大题共3小题）
12．若圆与圆相外切，则a的值为 ．
13．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为 （用数字作答）
14．平行六面体中，，，，则的长是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
（1）求m的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
16．已知圆与直线相切．
(1)求圆O的标准方程；
(2)若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程．
17．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
18．如图，在等腰梯形中，，，将沿翻折至，使得平面平面.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点在棱（不包含端点）上，且平面与平面所成角的余弦值为，求的值.
19．在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴的椭圆过点和点，，，，是椭圆上异于顶点的四个点，直线与相交于点，直线的斜率存在且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)记，分别为直线与直线的斜率，求的值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
故选C.
2．【答案】B
【详解】由，得，所以.
故选：B
3．【答案】C
【详解】设点，则，，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：C.
4．【答案】C
【分析】
为单位圆上一点，直线过定点，则根据几何意义得d的最大值为.
【详解】
为单位圆上一点，
到直线最大距离等于圆心O到直线的最大距离再加上半径1，
又直线过定点，
圆心O到直线的最大距离为圆心O到定点A的距离即OA.
d的最大值为，选C.
5．【答案】A
【详解】由题知，直线的斜率必存在，故设直线方程为：.
联立方程组，消去并整理得.
，
设，，则，.
，，即.
由韦达定理得.
联立方程组，解得或.
.
故选：A.
6．【答案】B
【详解】由题设为边长为的等边三角形，
且，，，
若是面的一个法向量，则，
令，则，
则到面的距离，
所以四面体的体积为.
故选：B

7．【答案】B
【详解】根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用3块，分4种情况讨论：
①、6块广告牌都不用蓝色，即全部用红色，有1种情况；
②、6块广告牌有1块用蓝色，在6块广告牌选1块用蓝色即可，有C61＝6种情况；
③、6块广告牌有2块用蓝色，先将4块红色的广告牌安排好，形成5个空位，在5个空位中任选2个，安排蓝色的广告牌，有C52＝10种情况；
④、6块广告牌有3块用蓝色，先将3块红色的广告牌安排好，形成4个空位，在4个空位中任选3个，安排蓝色的广告牌，有C43＝4种情况；
则一共有1+6+10+4＝21种配色方案；
故选B．
8．【答案】A
【详解】双曲线的左、右焦点分别为，，
直线过且倾斜角为，故方程为.
联立直线方程与双曲线方程，得，
解得或，故不妨设交点，，
则，，在和中，有和，
所以，，则的周长为，的周长为，
分别设和的内切圆半径为，，
则，，
又，，
所以，解得，同理可得，所以.
故选：A.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，因为，所以，
，所以，故A正确；
对于B，若是空间向量的一组基底，则线性无关，故也线性无关，故可以构成空间向量的另一组基底，故B正确；
对于C，向量共面是指向量所在的直线可以平行于同一个平面，而直线共面是指直线都在同一平面上，则前者无法推出后者，故C错误；
对于D，直线异面意味着方向向量不平行，但方向向量不平行不一定意味着直线异面，它们可能相交，故D正确；
故选：ABD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，由的展开式中各项系数的和为1，取，得，解得，A正确；
二项式展开式的通项为，
对于B，无整数解，因此展开式中不含常数项，B正确；
对于C，由，得，因此展开式中项系数为，C错误；
对于D，展开式中各项系数绝对值的和，D正确.
故选：ABD
11．【答案】CD
【详解】对于A，，A错误；
对于B，令直线a上任意点为，
则，
则当时，的最小值为1，B错误；
对于C，设，则，
当时，则；当时，则；
当时，则；当时，则；
则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形：
则的轨迹围成图形的面积是，C正确；
对于D，，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小，
由此可得，
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
则M点轨迹如图示：
则的轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确，
故选：CD
12．【答案】5
【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆，其圆心为，半径，
又由，则两圆的圆心距为，
若两圆外切，则有，
故答案为：5．
13．【答案】48
【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，
第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，
则由分步计数原理可得共有种，
故答案为：48．
14．【答案】
【详解】
因为，
由于在平行六面体中，
所以，
又因为，，，
所以
，
故答案为：.
15．【答案】（1）7；（2）128；（3）.
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式即可获解；
（2）令即可获解；
（3）求出有理项的个数，再用插空法即可.
【详解】（1）展开式的通项为，
∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即.
（2）令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.
（3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项，
∴由插空法可得有理项不相邻的概率为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知圆与直线相切，所以圆心到直线的距离为半径．所以，所以圆O的标准方程为：．
（2）设因为AB的中点是M，则，所以，
又因为A在圆O上运动，则，所以带入有：，化简得：
．线段AB的中点M的轨迹方程为: .．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：选择条件①，
由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线C的标准方程为．
选择条件②，
因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
选择条件③．
当轴时，，所以．
故抛物线C的标准方程为．
（2）解：设，，由（1）知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）方法一：过作垂直于，所以，
结合，所以，，
所以，，所以.
取中点中点，因为，所以
因为平面平面，
平面平面，平面
所以平面，
又因为，所以.
以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
则P0,0,1，，，，
，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
方法二：
过作垂直于，所以，
所以，，
所以，，所以.
取中点，中点，中点，中点，
所以，，
所以为异面直线与所成角的补角.
因为，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
又因为，所以平面，平面，所以，
在，，，
所以.
在中，，，
由余弦定理得
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）方法一： ，
设平面的一个法向量分别为，
，，
由，
令，则，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：
因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以.
过作，垂足为，
由于，，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）方法一：
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，
令，
则，，
所以，
令，则，
所以.
又因为平面的一个法向量为，
所以
整理得，解得或（舍）.
所以.
方法二：
在棱上取一点，连接，
过作，垂足为，连接，
因为平面，为在平面内的射影，
所以，所以为二面角的一个平面角，
在中，因为，，所以，
在中，因为，
所以，，
所以，
在中，由正弦定理，
得，所以.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设椭圆的方程为（，，），
因为椭圆过点和，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，
由，得，
因为，，，
所以
，解得，
所以直线的方程，即.
（3）方法一：因为点和，共线，
所以，即①.
因为，，所以，
展开移项得，
结合①有②，
由①②解得，，
同理可知，，
因为点F1,0和，共线，
所以，
即③.
所以
，
所以.
方法二：设直线的方程为（其中），
由，得，
所以，，
.
即，
，
同理可知，.
因为直线斜率存在且过点F1,0，
所以，
即
，所以.
方法三：由，得，
因为，，，
所以
所以
，即，
，
同理可知.
因为直线斜率存在且过点F1,0，所以，
即，
化简有.
因为，且直线斜率不为零，
所以
，故.