湖北省十一校2025届高三下学期第二次联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省十一校2025届高三下学期第二次联考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知向量 满足，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
2025 届高三湖北省十一校第二次联考
数学试题
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
命题学校：襄阳四中 命题人：高江涛、曾晓燕 审题学校：龙泉中学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设复数 （ 为虚数单位）， 的共轭复数是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，则数列 的前 2025 项和为（ ）
A． B． C．505 D．1013
5．已知向量 满足： ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的最小正周期为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 关于点 对称
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称
D． 在区间 上单调递增
7．如图，在棱长为 1 的正方体内部，有 8 个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体 ，
有 1 个以正方体体心为球心的球体 与 均相切，则该 9 部分的体积和的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分。
9．下列命题正确的是（ ）
A．在经验回归方程 中，当解释变量 每增加 1 时，响应变量 平均增加 2.3
B．若 ，则事件 相互独立与 互斥不可能同时成立
C．在对高三某班学生物理成绩的比例分配的分层随机抽样调查中，抽取男生 12 人，其平均数为 75，方差
为 ；抽取女生 8 人，其平均数为 70，方差为 23，则这 20 名学生物理成绩的方差为 33
D．对于独立性检验，随机变量 的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
10．已知 为坐标原点，双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，以 为直径
的圆与 轴正半轴交于点 ，过 且垂直于 轴的直线与 的某条渐近线交于点 ，且 与 轴垂直，
则下列式子中与 的离心率相等的有（ ）
A． B． C． D．
11．对于任意两个正数 ，当 时，记曲线 与直线 ，直线 以及 轴围成的曲边梯
形的面积为 ，当 时，约定 ，并约定 。德国数学家莱布尼茨
（Leibniz）最早发现 。关于 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．对正数 ，有
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第 14 题第一空 2 分，第二空 3 分。
12．若 ，则 _______．
13．若 ，则 _______．
14．已知点 在抛物线 上， 为直线 上的一动点，过点 作 的 2 条切线，切点
分别为 ，直线 分别交 轴于点 ，则 的最小值为_______， 外接圆半径的最
小值为_______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）在 中，内角 所对的边分别为 ， 的面积为 ．已知
① ；② ，从这两个条件中任选一个，回答下列问题．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 周长的取值范围．
16．（15 分）如图，在四棱锥 中， ，底面 是边长为 的菱形，
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成角的正切值为 2，点 满足 ，求直线 与平面 所
成角的余弦值．
17．（15 分）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若不等式 恒成立，求整数 的最大值．
18．（17 分）某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入 6 个小球，其中 4 个黑球，2 个红
球．
模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入 2 个
红球；
模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中．
（1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
（2）在模型二的前提下：
①求在第 次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用 表示）．
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10 次，第 10 次抽球结束后无论盒中是否还有红
球均停止抽球，记抽球的次数为 ，求 的数学期望．
19．（17 分）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点 与两定点
的距离之比 是一个常数，那么动点 的轨迹是一个圆，且圆心在直线
上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆．已知阿波罗尼斯圆 的两个定点分别为椭圆
的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，过右焦点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 （点 在 轴上方），点 是椭圆
上异于 的两点， 平分 平分 ．
①求 的取值范围；
②若 外接圆的周长为 ，求直线 的方程．
2025 届高三湖北省十一校第二次联考数学试题参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C A D B D C D BCD BCD AD
1．B 【详解】因为对数函数 是 上的减函数，
所以由 ，得 ，则 ；因为指数函数 是 R 上的增函数，所以由
，得 ，则 ，由此， ．故选：B．
2．C 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故选：C．
3．A 【详解】因为函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则
，故 ．故选：A．
4．D 【详解】设首项为 ，因为 成等比数列，
所以 ，则 ，
解得 或 ，当 时， ，此时与 成等比数列矛盾，故排除，当 时，
，此时令 ，
而 其 前 2025 项 和 为 ，
，故 D 正确．故选：D
5．B 【详解】由题意可知： ，因为 ，即 ，可得
，
所以 在 上的投影向量为 ．故选：B．
6．D 【详解】因为 ．
因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 ，故 A 错误；
因为 ，所以 ，
所以 是函数 的一条对称轴， 不是函数 的对称中心．故 B 错误；
将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数 ，不是奇函数，故 C 错误；
当 时， ，因为 在 递增，由复合函数单调性法则知 在区
间 上单调递增，故 D 正确．故选：D
7．C 【详解】设球体 的半径为 半径为 ，所以 ，即得 ，
又 ，所以 开口向下，对称轴为 ，
所以 ，该 9 部分的体积和为
．
故选：C．
8． D 【 详 解 】 由 题 设 在 上 恒 成 立 ， 易 知 ， 此 时
在 上都单调递增，所以，只需 在 上的零点相
同，即 ，所以 ，令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，当 时， ，即 在 上
单调递减，所以 ，即 的取值范围是 ．故选：D
9．BCD 【详解】对于 A，因为 ，
所以当解释变量 x 每增加 1 时，响应变量 y 平均减少 0.85，故 A 错误；
对于 B 选项，若 互斥，则 。
若 相互独立，则 （因为 ）．
所以事件 相互独立与 互斥不可能同时成立，B 选项正确；
对于 C：这 20 名同学物理成绩的平均数为： ，
所以这 20 名同学物理成绩的方差为： ，故 C 正确；
D 项，对于独立性检验，随机变量 的观测值越小，
判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故 D 项正确．
10．BCD 【详解】 以 为直径的圆与 y 轴正半轴交于点 轴，且 轴，所以
又 ，由射影定理得 所以 ，A 错误；
由 得 ，故 ，即 ，解得 ，D 正
确．
又 ，B 正确，又 ，C 正确；故选：BCD
11．AD 【详解】由题意 ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 或 时， 也成立；综上所述： ．
对于选项 A： ，故 A 正确；
对 于 选 项 B： 如 图 ， 因 为 ， 所 以
，
即 ，故 B 错误．
对于选项 C，取 ，则 ，故 C 错误；
对于选项 D：因为阴影部分的面积小于上底长为 ，下底长为 ，高为 的直角梯
形的面积，所以 ，
又阴影部分面积大于长为 ，宽为 的矩形的面积，
所以 ，综上故有对正数 有 ，故 D 正确．
二、填空题
12．1 【详解】由题意可得： ．
13． 【 详 解 】 由 题 意 ，
， 则
．
14． 2， 【 详 解 】 由 题 意 知 ， ， 所 以 ， 所 以 抛 物 线 ， 设
，
因为 ，则 ，故 ，
直线 ，直线 ，
令 ，有 ，
由 ，可得 ，故 ，
所以 ，即 ．
，
所以当 时， 的最小值为 2；
由题意可知 C 的焦点 ，故 ，
，同理 ，故 ，
所以 四点共圆，则 的外接圆的直径为 ，
即为 到直线 的距离，此距离为 ，
即 的外接圆的半径的最小值为 ．
三、解答题
15．【答案】（1） （2）
【详解】（1）选①， ，
由正弦定理可得 ，
，
，又
选②，由 可得： ，
（2）由余弦定理得
．
，当且仅当 时取等号
又有
．
16．【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，因为 是菱形，所以 ，
又因为 为 的中点， 所以
又 面 ，且 ，所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面
（2）过 作 交 于点 ，面 面 ，
面 面 面 ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
所以 为 的交点， 为等边三角形，所以 H 为 的重心，设 DH 与 AB 交点为 M，
连接 PM，则 为二面角 的平面角，
因为 ，在 中 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 平面
以 为原点， 所在直线为 轴建立如图坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，可得：
即 ，又
设平面 和直线 所成的角为 ，则 ，所以
17．（1） ；（2）增区间 ，减区间 ；
（3）
【详解】（1）函数 的定义域为 ，则曲线 在点 处的切线为
，即 。
（2）因为 ，
时，由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述， 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ．
（3）依题知， 恒成立，即 恒成立，
设 ，
则 ，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 恒成立，
整理得 ．设 ，则 恒成立，所以
在 上单调递增，又 ，且 ，
故整数 的最大值为 ．
18．（1） ； （2） ； （3）
【详解】（1）记在模型一下，取到红球的概率为 ，则 ；
记在模型二下，取到红球的概率为 ，则 ．
（2）①若第 次是第一次取到红球，第 次是第二次取到红球，
则 ．
所以第 次抽到第二个红球的概率为：
利用等比数列求和公式即可得：
②由题可知， 的取值依次为 2，3…，9，10，
当 时， 则
19．（1） ； （2）① ； ② ．
【详解】（1）令 ，由阿波罗尼斯圆的定义知 ，且 ，解得
，椭圆 的方程为
（2）① ，又 ，
（或由角平分线定理得）
令 ，设
联立 ，解得
则
所以
又 ，所以 ，解得
又 ，所以 ，综上
②由①知， ，由阿波罗尼斯圆定义知，
在以 为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为 ，半径为 ，与直线 的另一个交点为 ，
则有 ，即 ，解得： ．
又 ，故
又 ，
，
直线 的方程为 ．