选填03 平面向量（十一大考点训练 真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破讲练（新高考专用）

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【考点01 用基底表示向量】
1．在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，是延长线上一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在中，，是的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
【考点02共线向量问题】
6．已知、不共线，向量，，且，则 .
7．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．已知向量，，若与平行，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．2
10．已知为内一点，且，若三点共线，则的值为（ ）
A．B．12C．D．
【考点03 数量积运算】
11．已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）
A．4B．6C．8D．16
12．中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A．B．C．2D．
13．设，是单位向量，则的最小值是（ ）
A．B．0C．D．1
14．在中，分别为边的中点，则 .
15．在中，则“”是“是直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点04 模长问题】
16．已知向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
17．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， .
18．已知向量，满足，，，则 ．
19．已知向量，，则 ，的最小值为 .
20．已知向量，，且，则的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【考点05 夹角问题】
21．已知非零向量满足：，且，则 .
22．已知向量，，若，则 .
23．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 .
24．已知向量．若，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
25．单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【考点06 投影向量问题】
26．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
27．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ．
28．已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
29．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 .
30．已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【考点07 坐标法求最值范围】
31．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
32．如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 .
33．在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ．
34．在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 .
35．已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点08 三角换元求最值范围】
36．在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
37．已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 .
38．设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ．
39．在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
40．在等腰直角三角形中，，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是 .
【考点09 三角形“四心”】
41．已知在中，为的重心，为边中点，则（ ）
A．B．
C．D．
42．在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ．
43．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
44．中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
45．已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【考点10 极化恒等式】
46．如图，在△中，，则（ ）
A．B．C．D．
47．已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
48．已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ）
A．6B．12C．24D．32
49．如图，在平面四边形中，O为BD的中点，且，.若，则 .
50．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点11 向量与恒成立问题】
51．向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
52．（多选）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．
C．的最小值为D．的最大值为
53．已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
54．已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是 ．
55．已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴的正半轴、轴的正半轴于两点，的面积为，若点为平面内一点，且满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．
6．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·25高三上·湖南长沙·期末）已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ）
A．6B．12C．24D．32
二、多选题
9．（2023·广东梅州·三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）

A．B．
C．D．
10．（2024·四川眉山·一模）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（ ）
A．的值不可能大于B．
C．的最小值为D．的最大值为1
11．（2024·25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ）
A．
B．最小值为-2
C．在上的投影向量为
D．若的最大值为
三、填空题
12．（2022·江西上饶·二模）已知向量，，且，则实数的值为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ．
14．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
5．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
7．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
11．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
12．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则PA⋅PB的取值范围是（ ）
A．B．C．D．