【2025届上海高三数学二模】2025届上海浦东新区高三数学二模试卷与解析

这是一份【2025届上海高三数学二模】2025届上海浦东新区高三数学二模试卷与解析，共18页。
考生注意：
1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．已知，不等式的解为____________．
2．已知向量，，若，则____________．
3．设圆C方程为，则圆C的半径为____________．
4．若，则函数的最小正周期为____________．
5．若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为____________．
6．设数列为等差数列，其前项和为，已知，则____________．
7．的二项展开式中常数项为____________．
8．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________．
9．李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为____________．
10．如图，某建筑物垂直于地面，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，从地面点处测得建筑物顶部的仰角为，已知相距100米，，则该建筑物高度约为__________米．（保留一位小数）
11．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
12．已知数列，，并且前项的和满足：
①存在小于1013的正整数，使得；
②对任意的正整数和，都有．
则满足以上条件的数列共有__________个．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．
13．已知集合，集合，全集为，则（ ）
A．B．C．D．
14．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
15．研究变量，得到一组成对数据，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．变量与变量的相关性变强B．相关系数的绝对值变小
C．线性回归方程不变D．拟合误差变大
16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数的表达式．
（1）若函数是奇函数，求实数的值；
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图，四边形为长方形，平面，，．
（1）若分别是的中点，求证：∥平面；
（2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
（1）分别估计A软件、B软件能正确解答数学问题的概率；
（2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？
（3）小浦决定采用这两款软件解答6道类似试题，其中几何、函数各3道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用 、分别表示这3道几何试题与3道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
试题类别
A软件
B软件
测试试题数量
正确解答的数量
测试试题数量
正确解答的数量
几何试题
20
16
30
20
函数试题
30
24
20
18
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等．
（1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值；
（2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程；
（3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰 直角三角形，且，求的长轴的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
定义域为的可导函数满足，曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为正整数，则称为“整数等差函数”．
（1）设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
（2）若为“整数等差函数”，求实数的最小值；
（3）已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
高三数学参考答案
1.2.3.4.5.46.17
7.8.9.10.66.411.12.
13.D14.B15.C16.A
17.
解：（1）因为函数是奇函数，
的定义域关于原点对称，--------------------------1分
由，
则， ---------------------------5分
所以 ------------------------------------7分
法二：因为函数是奇函数，定义域为R，--------------------------1分
所以 ------------------------------------4分
，函数是奇函数。
所以 ------------------------------------7分
（2）方法一：判断函数的单调性：
对任意实数且
因为，所以，所以
所以函数在上是严格减函数；------------------------------10分
所以当时，函数的最大值为，-----------------------------------12分
所以 ------------------------------------14分
方法二：
对任意实数，不等式恒成立，
即 ------------------------------------9分
设，
对任意实数且
因为，所以，所以
所以函数在上是严格减函数； ------------------------------------12分

所以 ------------------------------------14分
方法三：
对任意实数，不等式恒成立，
即 ------------------------------------9分
，
------------------------------------12分
所以 ------------------------------------14分
（说明：函数单调性没有证明或没有利用不等式性质说明的，直接写出最值的，扣2分）
18. 解1：（1）证明：
取中点，连接、，
∵，
∴ …………1分
∵，
∴ …………1分
∴四边形为平行四边形
∴ …………3分
∵，在平面外
∴平面 …………1分
（2）解：作，垂足为，连接
∵
∴
∴ …………2分
∴直线与平面所成的角为，…………2分
∴，
∴ …………1分
∴ …………2分
∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， ……1分
解2：（1）证：如图建立空间直角坐标，则，，，
，，，
∴， …………2分
取平面的法向量 …………1分
∵， …………2分
且在平面外
∴平面 …………1分
（2）设，则，
∴， …………2分
取平面的法向量 …………1分
设与的夹角为，
则， …………2分
求得 …………2分
∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，.……1分
19.
解:（1） 记、软件能正确解答数学问题的概率为和,
则 （4分）
（2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件，“该题为几何题”为事件.则
（6分）
同理可得
（7分）
因为，所以B软件能够正确解决这道试题的概率更大，小浦应该使用B软件来解决这道试题.（8分）
（3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答.
因为
所以 . （10分）
于是 .（12分）
显然 相互独立，
所以
（14分）
20.
（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为………………2分
解得；……………………………………………………4分
（2）由题，，，所以，直线的方程为…2分
设的方程为，，
联立直线与椭圆：，代入整理得……4分
故
即，解得.
所以的标准方程为.…………………………………………………………6分
（3）由题，设的方程为
由题意，且
任取上一点（不与点A重合），则，
设，则………………………………………………2分
直线的方程为，故
代入得
因为，解得，
由对称性，不妨设，代回直线方程可解得……4分
而点位于上，所以

为上任一点，所以为定值，化简得……………………………………………………………………6分
设，为上任一点，即有解
整理得，
解得，所以
故的长轴长.…………………………………………………………8分
21．
解析：（1）假设成等差数列，得，
设公差为，则，
对于，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，恒成立，
取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”．
对于，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
若，则，
同时，由，得恒成立，故不是“整数等差函数”．
（2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数，
设公差为，则，且，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
因为，，
所以
，
因为，所以，
可取，使等号成立，故的最小值为．
（3）充分性，因为为常值函数，所以，
任意取等差数列，则直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
因为，所以为“等差函数”．
必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列，
设公差为，则，
直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
由题意，
，
令，
，
令，
，
因为在上为增函数，所以，在上为增函数，
因为，所以，在上为增函数，
因为，所以在上恒成立，
又，由的单调性知，
故，，
，为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为，且在上为增函数，
所以在上为增函数，故，，
由，可得，
另一方面，因为，
所以，可得，
以此类推，在上恒成立，即为常值函数．
命题得证！