2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（下）月考数学试卷（3月份）(含答案）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（下）月考数学试卷（3月份）(含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.日日新学习频道对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图.则其相关系数最大的是( )
A. r1B. r2C. r3D. r4
2.已知a，b是两个不共线的单位向量，向量c=λa+μb(λ,μ∈R).“λ>0，且μ>0”是“c⋅(a+b)>0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知α−l−β是直二面角，直线a在平面α上，直线b在平面β上.若a、b均与l既不平行，也不垂直，则a与b的位置关系是( )
A. 可能垂直，也可能平行B. 可能垂直，但不可能平行
C. 不可能垂直，但可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行
4.设无穷正数数列{an}，如果对任意的正整数n，都存在唯一的正整数m，使得am=a1+a2+a3+…+an，那么称{an}为“内和数列”，并令bn=m，称{bn}为{an}的“伴随数列”，下列四个命题：
①若{an}为等差数列，则{an}为内和数列；
②若{an}为等比数列，则{an}为内和数列；
③若内和数列{an}为递增数列，则其伴随数列{bn}为递增数列；
④若内和数列{an}的伴随数列{bn}为递增数列，则{an}为递增数列．
其中真命题的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合{a2,a}={a,1}，则a= ______．
6.复数z=4−i1−i−2i的虚部为______．
7.函数f(x)= 1+x+ln(2−x)的定义域为______．
8.过点A(−1,a)，B(a,8)两点的直线与直线4x−2y−5=0平行，则a的值为______．
9.已知扇形的半径为R，周长为3R，则其面积为______．
10.已知某独立性检验中，由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d，计算出χ2=χ12≠0，若将2×2列联表中的数据a，b，c，d分别变成4a，4b，4c，4d，计算出的χ2=χ22，则χ22是χ12的多少倍______．
11.无穷等比数列{an}满足：a1+a2=1，a3+a4=14，则{an}的各项和为______．
12.已知a1，a2，…，a12均为常数，(x2+x)6=i=612aixi对任意的实数x恒成立，则a9= ______．
13.设f(x)=2a⋅(12)|x|+b，若实数a，b满足a+b=0，且函数y=f(x)的图像可以无限接近直线y=1但又永远不相交，则不等式f(x)>34的解集为______．
14.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若cs∠MF1N=35，则C的离心率为______．
15.对于∀b∈R，函数f(x)=e3x−(2x+b)ex−a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是______．
16.已知平面向量a，b满足|a|=3|b|=3，若c=(2−2λ)a+3λb(λ∈R)，且c⋅a|a|=c⋅b|b|，则cs的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=4 3sinxcsx−4cs2x．
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)如果函数f(x)在(0,+∞)上的零点从小到大排列后构成数列{an}，求{an}的前12项和．
18.(本小题14分)
如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合.设P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是圆弧AB的中点．
(1)若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积12，求该几何体的体积
(2)若圆锥的高为1，求直线PB1与平面PAC所成角的大小．
19.(本小题14分)
为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第i次检查抽取i号零件，测量其尺寸yi(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：i=1100yi=52，i=1100iyi=2428，i=1100yi2=30.18．
(1)这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量；
(2)若变量yi与i存在线性关系，记yi=a i+b ，求回归系数a​的值；
(3)在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有X对相邻序号的零件.求X的数学期望．
示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件．
参考公式：
(1)线性回归方程：y=a x+b ，其中a =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，b =y−−a x−．
(2)期望的线性性质：E[∑Xi]=∑E[Xi]，其中Xi是若干随机变量．
20.(本小题16分)
如图，已知椭圆E1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆E2：x212+y24=1有相同的离心率，点P( 3,1)在椭圆E1上.过点P的两条不重合直线l1，l2与椭圆E1相交于Q，H两点，与椭圆E2相交于A，B和C，D四点．
(1)求椭圆E1的标准方程；
(2)求证：S△APD=S△BQD；
(3)若|BQ||DH|=|DP||BP|，设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，求证：α+β为定值．
21.(本小题18分)
已知f(x)=2ax3−(3a+1)x2+2x，若对于给定的a∈R及平面上一点M，函数y=f(x)的图像上存在与M不同的一点Q(q,f(q))，使得直线MQ为函数y=f(x)在Q点的切线，则称点M具有“性质Pa”.
(1)判断点M(1,2)是否具有“性质P1”，并说明理由；
(2)证明：“点M(x,y)具有‘性质P0’”的充分必要条件是“y>2x−x2”；
(3)若对于任意的非零实数a，直线x=c上的所有点均具有“性质Pa”，求实数c的值．
参考答案
1.A 2.A 3.D 4.B
5.−1 6.−12 7.[−1,2) 8.2 9.12R2 10.4 11.43 12.20
13.{x|x3}
14. 312
15.[4 39,+∞)
16.3 57
17.
18.解：(1)设圆锥的母线长为l，则由题意，
可得πl=12×4π，故l=2，
则圆锥的高ℎ= 22−12= 3，
则该几何体的体积为：
V=π×12×2+13×π×12× 3=6+ 33π；
(2)由题意，C是圆弧AB的中点，则OC⊥AB，
则可以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，C(1,0,0)，P(0,0,3)，B1(0,1,2)，
AC=(1,1,0)，AP=(0,1,3)，PB1=(0,1,−1)，
设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅AC=x+y=0n⋅AP=y+3z=0，令z=1，可得x=3，y=−3，
则平面PAC的一个法向量为n=(3,−3,1)，
设直线PB1与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|n⋅PB1||n||PB1|=4 19× 2=2 3819，
故直线PB1与平面PAC所成角的大小为arcsin2 3819．
19.解：(1)因为在这100个零件中，合格的零件为60个，
故质量合格的零件所占样本比例为60100=35，
而在这1000个零件中，质量合格的零件数为35×1000=600(个)；
(2)由a =i=1100(xi−x−)(yi−y−)i=1100(xi−x−)2可得，a =i=1100yii−100y−i−i=1100i2−100i−2，
又因为i=1100yi=52，i=1100iyi=2428，i=1100yi2=30.18，
所以y−=i=1100yi100=0.52，i−=1+2+⋯+100100=50.5，
所以a =2428−100×0.52×50.5338350−100×(50.5)2=−62525；
(3)用Xi表示抽查的结果，若第i个零件与第i+1个零件被选中，则记Xi=1，
若结果是其余情况，记Xi=0，
则X=X1+X2+⋯+Xn，
由线性期望的性质可得：
E[X]=i=199E[Xi]=i=199P(Xi=1)=99×C9818C10020=3.8(个)．
20.(1)解：由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有b2a2=412,a2=3b2，
又点P( 3,1)在椭圆E1上，
有3a2+1b2=1，解得a2=6，b2=2，
所以椭圆E1的标准方程为x26+y22=1；
(2)证明：要证S△APD=S△BQD，即证|AP|=|BQ|，
设A(xA,yA)，B(xB,yB)，P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，
当直线l1斜率不存在时，由椭圆对称性可知|AP|=|BQ|成立，
当直线l1斜率存在时，设斜率为k1，则AB方程为y−1=k1(x− 3)，
由y−1=k1(x− 3)x26+y22=1，得(3k12+1)x2+(6k1−6 3k12)x+3(1− 3k1)2−6=0，
则xp+xQ=6 3k12−6k13k12+1,xPxQ=3(1− 3k1)2−63k12+1，
由y−1=k1(x− 3)x212+y24=1，得(3k12+1)x2+(6k1−6 3k12)x+3(1− 3k1)2−12=0，
则xA+xB=6 3k12−6k13k12+1,xAxB=3(1− 3k1)2−123k12+1，
得xP+xQ=xA+xB，所以xP−xA=xB−xQ，
又|AP|= 1+k12⋅|xP−xA|,|BQ|= 1+k12⋅|xB−xQ|，
则有|AP|=|BQ|，
所以△APD与△BQD等底等高，则S△APD=S△BQD；
(3)证明：由(2)可知|AP|=|BQ|，同理有|CP|=|DH|，
由|BQ||DH|=|DP||BP|，可得|AP||CP|=|DP||BP|，
则有|AP|⋅|BP|=|CP|⋅|DP|，
设直线CD的斜率为k2，直线CD方程为y−1=k2(x− 3)，
设C(xC,yC)，D(xD,yD)，
由y−1=k2(x− 3)x212+y24=1，可得(3k22+1)x2+(6k2−6 3k22)x+3(1− 3k2)2−12=0，
所以xC+xD=6 3k22−6k23k22+1,xCxD=3(1− 3k2)2−123k22+1，
则|CP|⋅|DP|= 1+k22⋅|xC−xP|⋅ 1+k22⋅|xD−xP|，
|AP|⋅|BP|= 1+k12⋅|xA−xP|⋅ 1+k12⋅|xB−xP|，
所以(1+k22)⋅|xC−xP|⋅|xD−xP|=(1+k12)⋅|xA−xP|⋅|xB−xP|，
即(1+k22)⋅|xCxD−xP(xC+xD)+xP2|=(1+k12)⋅|xAxB−xP(xA+xB)+xP2|，
化简得1+k223k22+1=1+k123k12+1，即k22=k12，
由题意k2≠k1，所以k1+k2=0，故α+β=π．
21.