2024-2025学年上海师大学附宝山分校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海师大学附宝山分校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆C1：(x−1)2+y2=1，圆C2：(x−3)2+y2=9，则两个圆的位置关系为( )
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
2.如果直线l经过双曲线9x2−4y2=36的中心，且与该双曲线不相交，则l的斜率的取值范围是( )
A. [−32,32]B. (−∞,−32]∪[32,+∞)
C. [0,32]D. [−32,0]
3.已知点A(1,0)，直线l：x=−1，两个动圆均过点A且与l相切，其圆心分别为C1、Cp，若动点M满足2C2M=C2C1+C2A，则M的轨迹方程为( )
A. y2=2x−1B. y2=2x+1C. y2=4x+1D. y2=4x−1
4.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到两个定点F1(0,−1)，F2(0,1)的距离之积等于4，则下列命题中正确的个数是( )
①曲线C关于x轴对称；
②x的最大值为2；
③|PF1|+|PF2|的最小值为4 3；
④|OP|的最大值为 5．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.椭圆x24+y2=1的离心率为______．
6.抛物线y2=2px(p>0)过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为______．
7.已知直线l1：(m−2)x−3y−1=0与直线l2：mx−2y+1=0相互平行，则实数m的值是______．
8.参数方程x=4ty=4t2(t为参数)的普通方程是______．
9.直线2x−3y+1=0与x+5y−10=0的夹角为______．
10.已知双曲线C1过点( 5,4)，且与双曲线C2：x25−y22=1有相同的渐近线，则双曲线C1的方程为______．
11.已知F1，F2是椭圆的两焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则椭圆的离心率是______．
12.若动直线l1：mx−y−m+3=0，圆C：(x−2)2+(y−4)2=3，则直线l1与圆C相交的最短弦长为______．
13.设P是以F为焦点的抛物线y2=4x上的动点，Q是圆(x−4)2+y2=1上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为______．
14.如图，已知F是椭圆x24+y23=1的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为直径作圆N，射线ON与圆N交于点Q，则|AQ|的取值范围为_________．
15.已知点P在椭圆ω：x24+y23=1上运动，ω的左、右焦点分别为F1、F2.以P为圆心，半径为12n的圆交线段PF1、PF2于M、N两点(其中n为正整数).设MF1⋅NF2的最大值为s，最小值为m，则n→∞lim(s+m)=______．
16.在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点O重合，称射线OM与x2+y2=4的交点N为点M的“中心投影点”，曲线y2−x23=1所有点的“中心投影点“构成的曲线长度是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx−4．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|=2 3，求直线l的方程．
18.(本小题14分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆x24+y2=1的焦点重合，其渐近线方程为y=± 2x．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点N(1,1)作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由．
19.(本小题14分)
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图).考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域．
(1)求考察区域边界曲线的方程：
(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中S△ABC=3 32．
(1)求椭圆Γ方程；
(2)记椭圆Γ的左右焦点分别为F1、F2，M为椭圆Γ上的点，若△MF1F2的面积为S1，△MOB的面积为S2，若S1≤S2，求|OM|的取值范围；
(3)过点(0,−32)的动直线与椭圆Γ有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得TP⋅TQ≤0恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
矩阵乘法运算abcdxy=ax+bycx+dy的几何意义为平面上的点P(x,y)在矩阵M=abcd的作用下变换成点P′(ax+by,cx+dy)．
(1)若平面上的点A在矩阵2−1−23的作用下变换成点A′(3,−1)，求点A的坐标；
(2)双曲线Γ：x23−y2=1在矩阵M作用下变换成新的双曲线Γ1，且双曲线Γ1可以成为函数f(x)的图象，求出一个满足条件的矩阵M，并写出对应转化后函数f(x)的方程．
(3)圆锥曲线25x2+14xy+25y2=288经过矩阵M变换成标准方程，求出变化矩阵M，并判断该曲线的形状．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.B
5. 32
6.52
7.−4
8.x2=4y
9.π4
10.y214−x235=1
11. 33
12.2
13.4
14.[2− 3,2+ 3]
15.5
16.83π
17.解：(1)由直线l：y=kx−4，整理得kx−y−4=0.因为直线l与圆C相切，
所以|−4| k2+1=2，
解得k=± 3，
所以此时直线l的方程为 3x−y−4=0或 3x+y+4=0．
(2)由直线l与圆C相交时．
因为|AB|=2 3，结合相交弦弦长公式|AB|=2 r2−d2，
可得d=1，
因为圆心到直线l的距离d=|−4| k2+1=1，
解得k=± 15．
所以直线l的方程为 15x−y−4=0或 15x+y+4=0．
18.解：(1)因为双曲线C的焦点与椭圆x24+y2=1的焦点重合，其渐近线方程为y=± 2x，
所以c= 4−1ba= 2a2+b2=c2，
解得a=1，b= 2，c= 3，
则双曲线C的标准方程为x2−y22=1；
(2)假设N是线段PQ的中点，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
可得x1+x2=2，y1+y2=2，
因为P，Q两点均在双曲线C上，
所以x12−y122=1x22−y222=1，
两式相减得x12−x22=y12−y222，
所以y12−y22x12−x22=2，
即y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=2，
所以y1−y2x1−x2=2，
则kPQ=2，
可得直线PQ的方程为y−1=2(x−1)，
即y=2x−1，
联立y=2x−1x2−y22=1，消去y并整理得2x2−4x+3=0，
此时Δ=(−4)2−4×2×3=−8