湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3.为了得到函数y=sin⁡(x+π6)的图像，只需把余弦函数上所有点（ ）
A. 向左平行移动π6个单位长度 B．向左平行移动π3个单位长度
C．向右平行移动π6个单位长度 D．向右平行移动π3个单位长度
4．若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C．D．
5．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．－4和B．C．－4D．1
6．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8.若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ）
A．
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．若关于的方程有解，则
D．若为锐角的一个内角，且，则
11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ）

A．
B．点第一次到达最高点需要的时间为
C．在转动的一个周期内，点在水中的时间是
D．若在上的值域为，则的取值范围是
三、填空题
12．= .
13．已知函数在区间上单调递减，则 .
14．设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．已知为锐角，.
(1)求的值；
(2)求的值.
16已知函数的最大值为1，
求常数的值；
求函数的单调递减区间；
求使成立的的取值集合.
如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.
P
Q
D
C
A
B
当时，求的面积最小值（）；
求当的周长为2时，求的大小.
18．已知函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)设，若对于任意，都有，求的取值范围.
19．若函数和的零点相同，则称和是“函数对”.
(1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由；
(2)设，若与为“函数对”，求的取值范围；
(3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值.
参考答案
1．D
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案.
【详解】.
故选：D
2．A
【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，即.
故选：A
D
D
【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得的范围．
【详解】解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
要使函数在上单调，
，或，解得，或，即，
故选：．
5．B
【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可.
【详解】由三角函数的定义可得，则，
整理可得，因为，解得，
故选：B.
6．D
【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解.
【详解】由于，且，
则，
整理得，
则，
整理得，
所以.
故选：D.
7．C
【分析】构造定义在上的函数，由函数的奇偶性和单调性将题设不等式转换为，再由函数的定义域、奇偶性和单调性列出不等式组计算即可得解.
【详解】令，
则函数定义域为关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以不等式
，
因为函数和在上均为增函数，
所以函数为定义在上的增函数，
所以，
所以不等式的解集是.
故选：C.
8.A
9．ACD
【分析】利用“五点法”求得的解析式，从而判断A，利用三角函数的平移规则可判断B，利用代入检验法可判断C，利用三角函数的最值性质可判断D，从而得解.
【详解】依题意可得，，
所以，又，解得，所以，
对于A：由图象知过点，即，
所以，则，
又，所以，所以，故A正确；
对于B：由的图象向左平移个单位长度
得到的图象，故B错误；
对于C：因为，
所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：若，
则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】将三角函数的解析式化为一般式，再根据三角函数周期，对称轴，值域的求解方法，以及三角函数给值求值问题的处理办法，对每个选项进行逐一分析即可.
【详解】；
对A：的最小正周期为，故A正确；
对B：，又是的最大值，则的图象关于对称，故B正确；
对C：若关于的方程有解，则的取值范围为的值域，
又，故，故C错误；
对D：，故可得，
为锐角三角形的一个内角，
，，
，故D正确.
故选：ABD.
11.ABD
【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D.
【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
则依题意，满足，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，
则，由可得，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为，
所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确；
对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动，
则所需要的时间是，故C错误；
对于D，若在上的值域为，
则在上的值域为，
因为，所以，
作出函数的图象，依题意需使
即，解得，故D正确.

故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案.
4
2
【分析】依题意可得为的一个对称中心，可得满足，再由单调区间可求解.
【详解】易知，
由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心；
所以，即；
又在区间上单调递减，所以，解得；
当时，此时，满足题意.
故答案为：2
14．
【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有四个零点．
则方程化为，
设的两根为，
因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内．
令
所以，解得：，
综上：实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
15．(1)2；
(2).
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可.
（2）利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法及差角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）由为锐角，，得，，
而，所以.
（2）由（1）得，
，，
所以．
（1）
17（1）
（2）
18．(1)
(2)函数为奇函数，理由见解析
(3)
【分析】（1）由已知求得，代入即可得；
（2）函数为奇函数，利用奇函数的定义即可证明.
（3）由题意可得，进而得的最大值可能是或，作差法可得，结合题意可得，令，进而求解可求得的取值范围.
【详解】（1）函数的图象过点
所以，解得
所以函数的解析式为.
（2）判断：函数为奇函数.
理由如下：由（1）知，，
.
由，解得函数的定义域为
定义域关于原点对称
函数为奇函数.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
所以，
所以对于任意，都有成立，
只需，即，
设，易知在上单调递增，且，
，即，所以，
所以的取值范围是
【点睛】关键点点睛：对于函数不等式恒成立问题，常常通过构造函数，通过求得函数的最值解决问题.
19．(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可；
（2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可.
【详解】（1）由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数，
因为，所以函数在上有唯一零点，
当时，函数是单调递减函数，
，即，
所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”；
（2）由得，，
，所以的零点是的零点，
由得，，
当时，，所以为的零点
而当时，必须使得无解，
否则的一些零点不能使得，
所以对成立，
所以，得，此时的零点也全是的零点，综上.
（3）由，
因为函数与为“函数对”，
所以，取对得，
由，
因为函数与为“函数对”，
所以有，
因为在上单调递增，所以，即.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
D
D
B
D
C
A
ACD
ABD
ABD