湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

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单选题
1．某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ）
A．13种B．42种C．种D．种
【答案】B
2．在数列中，，（，），则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
3．数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ）
A．24个B．12C．9个D．6个
【答案】C
4．设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
5．函数（自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
6．已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
7．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
8．已知实数 满足，则 的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
【答案】AD
10．已知数列的通项公式为则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
11．已知为坐标原点，抛物线的方程为，过点且斜率为的直线交于两点，点在第四象限，设直线的斜率分别为，下列结论正确的是（ ）
A．若为正三角形，则B．若为正三角形，则
C．D．
【答案】AC
三、填空题
12．用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答）
【答案】60【分析】直接由排列数即可求解.
13．若，，且函数在处有极值，则的最小值等于 ．
【答案】
14．在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：．类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．已知数列满足：，则 ．
【答案】1
四、解答题
15．设
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若方程有3个不同的实根， 求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
记Sn为数列{αn}的前n项和，已知Sn=2n-1
（1）求{αn}的通项公式
（2）设bn=2n·αn，求数列{bn}的前n项和Tn
17．已知㭻圆：（）经过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
18．已知函数且.
(1)计算，；
(2)求通项公式；
(3)设为数列的前n项和，求；
【答案】(1)；5
(2)
(3)
19．已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）由题可得
因为，所以，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨设，则，
记
所以，所以在上是增函数，所以，
所以方程无解，则满足条件的两点不存在.