2024-2025学年云南省玉溪市峨山一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪市峨山一中高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.阳马P−ABCD中，若PA⊥面ABCD，且PA=AD=2AB，则异面直线PD与AC所成角的余弦值为( )
A. 55B. 2 55C. 105D. 155
2.已知直线x− 3y+6=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点.若|AB|=6，则r=( )
A. 2B. 2 3C. 4D. 3 2
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|：|BF2|：|BF1|=3：2：6，则椭圆的离心率为( )
A. 13B. 23C. 55D. 105
4.当x>0时，x2⋅e4x−2lnx≥ax+1恒成立，则实数a最大值为( )
A. 4eB. 4C. 4e2D. 8
5.已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x−2)f′(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−2)∪(1,+∞)
B. (−∞,−2)∪(1,2)
C. (−∞,1)∪(2,+∞)
D. (−1,1)∪(2,+∞)
6.设随机变量X～B(12,p)，若EX≤4，则DX的最大值为( )
A. 4B. 3C. 83D. 29
7.若函数f(x)=24ax3+4x2−x在区间(−1,1)恰有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. {−16}∪(−18,524)B. {−16}∪[−18,524)C. {−16}∪(−18,524]D. {−16}∪[−18,524]
8.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P是C上一点.若PF2⊥PF1，tan∠PF2F1=34，则C的离心率为( )
A. 57B. 17C. 74D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正项数列{an}满足a1=12，an+1=f(an)，其中f(x)=ln(ex−1)−lnx，则( )
A. {an}为单调递减数列B. a202312anD. a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an≥1−12n
10.如图(a)，边长为2的正方形AP1P2P3中，B，C分别是P1P2，P2P3的中点，AP2交BC于D，现沿AB，AC及BC把这个正方形折成一个四面体，如图(b)，使P1，P2，P3三点重合，重合后的点记为P，则有( )
A. 平面PAD⊥平面PBC
B. 四面体P−ABC的体积为13
C. 点P到平面ABC的距离为13
D. 四面体P−ABC的外接球的体积为 6π
11.下列式子恒成立的有( )
A. 2−0.2>2−2B. 2−0.3>ln0.3C. lg48>tanπ3D. lg0.53=lg213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(9,8,5),b=(2,−1,−1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是 ．
13.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)的左、右焦点相同，分别为F1，F2，C1与C2在第一象限内交于点M，且3|MF2|=|F1F2|，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是 ．
14.如图，曲线f(x)=x2(0≤x≤1)在点M(t,f(t))处的切线为l，直线l与x轴和直线x=1分别交于点P、Q，点N(1,0)，则△PQN的面积取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知f(x)=cs(2x+π6)．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若x∈[−π6,π3]，求f(x)的值域．
16.(本小题12分)
对任意一个非零复数z，定义集合Mz={ω|ω=z2n−1,n∈N}．
(1)设a是方程x+1x= 2的一个根，试用列举法表示集合Ma；
(2)若复数ω∈MZ，求证Mω⊆MZ．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为矩形，AD=PA=PB=2 2，PA⊥PB，平面PAB⊥平面ABCD．
(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；
(2)若M为PC中点，求平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(x3−32x2−3x+a)．
(1)若曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y−2=0，求实数a的值；
(2)若函数f(x)有三个极值点，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
设F为抛物线H：y2=2px(p>0)的焦点，点P在H上，点M(7p2,0)，若|PF|=|PM|=5．
(Ⅰ)求H的方程；
(Ⅱ)过点F作直线l交H于A、B两点，直线AO(O为坐标原点)与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求|GB||GC|的取值范围．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.D
6.C
7.D
8.A
9.ACD
10.ABD
11.ABD
12.(53,−56,−56)
13.(35,3)
14.[0,827]
15.解：(1)∵f(x)=cs(2x+π6)，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；
令2kπ−π≤2x+π6≤2kπ(k∈Z)，
解得kπ−7π12≤x≤kπ−π12，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−7π12,kπ−π12](k∈Z)；
(2)若x∈[−π6,π3]，则2x+π6∈[−π6,5π6]，
∴cs(2x+π6)∈[− 32,1]，
∴f(x)的值域为[− 32,1]．
16.(1)解：由x+1x= 2，得x2− 2x+1=0，
∴a1= 22(1+i)，a2= 22(1−i)，
当a1= 22(1+i)时，∵a12=i，a12n−1=(a12)na1=ina1，
∴Ma1={ia1,−1a1,−ia1,1a1}={ 22(1+i),− 22(1−i),− 22(1+i), 22(1−i)}；
当a2= 22(1−i)时，∵a22=−i，a22n−1=(a22)na2=(−i)na2
∴Ma2={−ia2,−1a2,ia2,1a2}={ 22(1−i),− 22(1+i),− 22(1−i), 22(1+i)}=Ma1．
∴Ma={ 22(1+i),− 22(1−i),− 22(1+i), 22(1−i)}；
(2)证明：∵ω∈MZ，
∴存在m∈N，使得ω=z2m−1．
于是对任意n∈N，ω2n−1=z(2m−1)(2n−1)，
由于(2m−1)(2n−1)是正奇数，ω2n−1∈Mz，
∴Mω⊆MZ．
17.解：(1)证明：∵ABCD为矩形，∴AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
则AD⊥PB，又PA⊥PB，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD
∴PB⊥平面PAD，而PB⊂平面PBC，
∴平面PAD⊥平面PBC．
(2)取AB中点O，分别以OP，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，
则P(2,0,0)，A(0,−2,0)，B(0,2,0)，D(0,−2,2 2)，M(1,1, 2)，
则DA=(0,0,−2 2)，DM=(1,3,− 2)，DB=(0,4,−2 2)，
设平面ADM的法向量为 n=(x,y,z)，
则n⋅DA=−2 2z=0n⋅DM=x+3y− 2z=0,
令y=−1，则x=3，z=0，所以 n=(3,−1,0)．
同理可得，平面BDM的法向量m=(−1,1, 2).
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=−4 10×2=− 105，
由图可知平面AMD与平面BMD的夹角为锐角，
故平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值为 105．
18.解：(Ⅰ)已知函数f(x)=ex(x3−32x2−3x+a)．
则：f′(x)=ex(x3−32x2−3x+a)+ex(3x2−3x−3)
=ex(x3+32x2−6x+a−3)
f′(0)=a−3
由于直线方程为x+y−2=0的斜率为−1，
所以：a−3=−1
解得：a=2．
(Ⅱ)函数f(x)有三个极值点，即f′(x)=ex(x3+32x2−6x+a−3)有三个不同的实数根．
设k(x)=f′(x)=ex(x3+32x2−6x+a−3)
由于ex>0，
所以：只需满足g(x)=(x3+32x2−6x+a−3)有三个不同的实数根即可．
g′(x)=3x2−3x−6=3(x−2)(x+1)
令g′(x)=0，解得：x=2或−1．
①当x0，所以g(x)为增函数．
②当−10g(2)−12a