2024-2025学年湖北省问津教育联合体高二下学期3月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省问津教育联合体高二下学期3月联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.物体运动方程为s(t)=3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v=limΔt→0s(3+Δt)−s(3)Δt=18m/s，则下列说法中正确的是( )
A. 18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B. 18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的速度
C. 18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
D. 18m/s是物体从3s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度
2.an是等比数列，a3,a7是方程x2+4x+3=0的两根，则a5=( )
A. ± 3B. 3C. − 3D. − 2
3.已知数列an满足：a1=9，an+1=an3,当an为3的倍数时,2an+1,当an不为3的倍数时.则a4=( )
A. 1B. 3C. 7D. 9
4.已知等差数列an中，a3+a5=a4+7，a10=19，则数列ancsnπ的前2025项和为( )
A. 1012B. 1013C. 2025D. −2025
5.设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若a8+a9>0，a90成立的最大自然数n是15
6.如图，已知平行四边形ABCD，AB= 3，AD= 7且AB⊥BD，沿对角线BD将▵ABD折起，当二面角A−BD−C的余弦值为−13时，则A与C之间距离为( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 10
7.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai,j，例如a3,2=9，a4,2=15，a5,4=23，若ai,j=2025，则i+j=( )
A. 64B. 65C. 68D. 72
8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P，且∠PA1A2=π3，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 33B. 2C. 213D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. 1lnx′=−1xln2xB. x2ex′=2x+ex
C. cs2x−π3′=−sin2x−π3D. x−1x′=1+1x2
10.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l:y=x−1与C相交于A，B两点，O为坐标原点，则( )
A. p=2B. OA⊥OBC. |AB|=8D. FA⋅FB=−8
11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2,AB⊥AC，点E为B1C1的中点，则下列说法正确的是( )
A. AE=12AB+12AC+AA1
B. AB1//平面A1CE
C. 异面直线AE与A1C所成的角的余弦值为 312
D. 直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为12π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知fx=2xlnx−f′1x，则f1= ．
13.在等差数列an中，an=3n−31，记bn=an，则数列bn的前30项和为 ．
14.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数y=2sin 36x一个周期的图像，且其对应的椭圆曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等比数列an的公比q>1，a3−a1=60，a2=16．
(1)求an；
(2)设bn=10+lg2an，若b1+b2+⋯+bk=242，求k．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠APB=π2，∠ABC=π3，PB=2 3，2PA=AD=PC=4，点M是AB的中点，点N是线段BC上的动点．
(1)求证：平面PCM⊥平面PAB;
(2)若点N到平面PCM的距离为3 34，求BNNC的值．
17.(本小题15分)
已知直线l:ax−4y+3=0是曲线C1:y=3 x和C2:y=kx2的一条公切线．
(1)求实数a，k的值；
(2)过点0,m可作曲线f(x)=x−k−mx2+a6的三条不同的切线，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=254S2，a2n=2an+1，．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2n−1+1，令cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点F为抛物线N:y2=4x的焦点，过点F的直线交椭圆M于A,B两点，当直线AB垂直于x轴时，AB=3．
(1)求椭圆M的方程；
(2)当直线AB不垂直于x轴时，过A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为C,D，记直线AD与BC的交点为P．
(i)证明：点P在定直线l上，并求出l的方程；
(ii)若▵PAB的面积为1813，设直线AB与抛物线N:y2=4x交于Q､T两点，求QF⋅TF．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.D
5.D
6.C
7.C
8.D
9.AD
10.ACD
11.ABD
12.−1
13.755
14.12/0.5
15.(1)由题意得a1q2−1=60a1q=16q>1⇒a1=4q=4,
所以an=4×4n−1=4n．
(2)由(1)得bn=10+lg2an=10+lg24n=10+2n，
所以b1+b2+⋯+bk=10k+21+2+...+k=10k+2×k1+k2=k2+11k=242，
解得k=11或k=−22(舍去)．

16.(1)证明：在△PAB中，因为∠APB=π2，PB=2 3，PA=2，
所以AB=4，
因为点M是AB的中点，
所以BM=PM=2，
在△BMC中，∠MBC=π3，得CM=2 3，
所以BM2+CM2=BC2，
所以AB⊥CM，
在△PMC中，PM=2，CM=2 3，PC=4，
满足PM2+CM2=PC2，
所以PM⊥CM．
而AB∩PM=M，AB⊂平面PAB，PM⊂平面PAB，
所以CM⊥平面PAB，
因为CM⊂平面PCM，
所以平面PCM⊥平面PAB．
(2)解：过点P作PO⊥AB，垂足为O，
由(1)可知CM⊥平面PAB，
因为CM⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，
所以PO⊥平面ABCD．
由VP−MNC=VN−PMC，
得13·S△MNC·PO=13·S△PMC·d，
易求得S△PMC=12PM⋅CM=2 3，PO= 3，
因为d=3 34，
所以S△MNC⋅ 3=2 3×3 34，
所以S△MNC=3 32，
又S△BMC=12×2×2 3=2 3，
所以NCBC=S△MNCS△BMC=34，
又BC=4，所以NC=3，
所以BNNC=13．

17.解：(1)设直线ax−4y+3=0与曲线y=3 x的切点坐标为M(x0,y0)，
∵y=3 x，∴y′=32 x，
又∵直线l的斜率为a4，∴32 x0=a4 ①，
且点M(x0,y0)同时在直线ax−4y+3=0和曲线y=3 x上，
∴满足ax0−4y0+3=0y0=3 x0 ②，联立以上两式可得a=12，
故直线l的方程为12x−4y+3=0，
联立12x−4y+3=0y=kx2，可得kx2−3x−34=0．
又∵直线与曲线相切，∴△=9+3k=0，解得k=−3．
(2)由(1)得f(x)=x3−mx2+2，f′(x)=3x2−2mx，
设切点为P(x1,y1)，则曲线在点P(x1,y1)的切线方程为
y−(x13−mx12+2)=(3x12−2mx1)(x−x1)，
又∵切线过点(0,m)，∴(x1−1)[2x12+(2−m)x1+(2−m)]=0，
即方程2x2+(2−m)x+2−m=0有两个不相等的实数根，且x≠1
，∴Δ=(2−m)2−4×2×(2−m)>06−2m≠0.解得m