2025年山东省青岛市中考数学模拟预测试卷解答

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一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．中国空间站离地球的距离约为米，数据用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故选：D．
2．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线）B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线）D．（科赫曲线）
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
3．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，正确理解整式的加减和乘除运算的法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，幂的运算法则即可判断答案．
【详解】选项A，与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意；
选项B，，故选项B错误，不符合题意；
选项C，，故选项C错误，不符合题意；
选项D，计算正确，符合题意．
故选D．
如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧相交于点M，N，连接交AC于点D，交于点E，连接．
若，，则等于（ ）

A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由勾股定理求出的长，再由垂直平分线的性质得到，再得出的长即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
6 .如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，
旋转得到△A'B'C'，则旋转中心的坐标是（ ）

A. (1，1)B. (1，﹣1)C. (0，0)D. (1，﹣2)
【答案】A
【解析】
【分析】对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，然后直接写成坐标即可．
【详解】解：如图点O′即为旋转中心，坐标为O′(1，1) ．
故选：A
7 . 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）

A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：∵矩形中，
∴,
∵，
∴,
∴,
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴．
故选D．

8．如图，扇形AOB的圆心角为142°，点C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是（ ）

A．38°B．120°C．109°D．119°
【答案】C
【详解】如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=142°，∴∠ADB=∠AOB=×142°=71°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°﹣71°=109°．故选C．

9 .已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【答案】B
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴画出示意图如下，
∴当时，，故①正确；
∵
∴，故②错误；
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∵方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．计算 ．
【答案】
【分析】由，、特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：原式
；
故答案：．
11 . 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可,
本题考查了，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是：熟记一元二次方方程成立的条件．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
13．如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，
以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，
连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE ＝ ．

【答案】
【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°，
根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴EA=CE=BC-BE=2-BE，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得，
∴，
解得BE=，
故答案为．
14 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】根据垂径定理可得CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°．
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（ASA），
∴S阴影＝S扇形OCB＝π，
故答案为．
15 .如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
16．如图示，已知等边，．请解答下列问题：
(1)尺规作图：请将补成一个菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求菱形对角线的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，则点D即为所求；
（2）根据菱形的性质，选择适当的三角函数解答即可．
本题考查了基本作图，菱形性质，解直角三角形，
【详解】（1）分别以A，C为圆心，以长为半径，画弧，二弧交于点D，如图，
则点D即为所求．
（2）设菱形的对角线，交于点O．
∵四边形是菱形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴．
在中，
∵，，
∴．
∴．

四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后可得答案；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：解不等式得：
解不等式得：
∴原不等式组的解集是．
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．
报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图
（每组含最小值，不含最大值）如下图

在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．
这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】(1)69，69，70
(2)82分
(3)小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可．
（3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【详解】（1）从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
（2）解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，
如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，
B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果共中一个转盘转出了红色，
另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．
（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）

若转动一次B盘，则转出红色的概率是___________；
若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可计算出红色扇形区域所占的圆心角是，再根据概率公式计算即可；
（2）由题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，即可列出表格表示所有等可能的情况，再找出能配成紫色的情况，最后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴红色扇形区域所占的圆心角是，
∴转动一次B盘，则转出红色的概率是．
故答案为：；
（2）解：根据题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，
∴可列表格如下，
由表格可知共有9种等可能的情况，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，
即可以配成紫色的情况有3种，
∴配成紫色的概率为．
20. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．

(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面的距离约为
(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为
【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；
（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长．
【详解】（1）解：如图3，作于E，
在中，，即，
∴，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；
（2）解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，

∴四边形，四边形是矩形，
由（1）得，
∴，
在中，，即，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
21 .“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱、
某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且
每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
(2)购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，
（1）设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案；
（2）设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，根据题意列不等式，求出的取值范围，令利润为，得到关于的函数关系式，再利用一次函数的增减性，最求最大值，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，
由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
22 . 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
（2）∵点在上，
∴，
∵，都在一次函数的图象上，代入得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
∵直线与x轴交于点C，如图1，
∴，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为，
∴
；
（3）①当时，
∵，
∴，
∴；
②当时，
作轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
同理可求；
③当时
设，
则，
解得，
∴．
同理可求．
综上可知，点P的坐标为．
23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
(1)求证：AB=AF；
(2)若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AGCD是菱形．理由见解析
【分析】（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）求出AF=CF，证△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中，
∵，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF；
（2）解：四边形AGCD是菱形．理由如下：
证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，
∴2AB=AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AF=AF+FC，
∴AF=CF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠FCG，
在△DAF和△GCF中，
，
∴△DAF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，
∵AD∥CG，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∵DG⊥AC，
∴平行四边形AGCD是菱形．
24 . 根据以下素材，探究完成任务．
【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，

设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
25．已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；
（3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=,
【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；
（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；
（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；
（4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴即：，
解得：CM=，
要使点在线段的垂直平分线上，
只需QM=CM=，
∴t=；
（2）如图，∵，，，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cs∠PAH=，sin∠EFB=，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH=，
在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，
在Rt△QNF中，QF=10-t-=，
∴QN=QF·sin∠EFB=()×=，
四边形为矩形，
∴PH=QN，
∴=，
解得：t=3；
（3）如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN=，AH=AP·cs∠PAH=，
∴BH=GC=8-，
∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，
∴
=
=
=，
∴S与t的函数关系式为：；
（4）存在，t=．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BF,BC=BF, ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90º，
∴∠BAC+∠EFB=90º，
∴∠ATE=90º即PT⊥EF，
要使点在的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=，
CT=CE·sin∠BEF =，
PT=10+-2t=，又PH=，
=，
解得：t=．
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
A盘 B盘
红
红
蓝
红
红，红
红，红
红，蓝
蓝
蓝，红
蓝，红
蓝，蓝
黄
黄，红
黄，红
黄，蓝
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．

素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．

问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．