2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中压轴题专练（含答案）

这是一份2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中压轴题专练（含答案），共25页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）（2024春•宜兴市期中）已知3a＝2，3b＝7，3c＝392，则34b﹣2c+6a的值为（ ）
A．1B．3C．729D．9
2．（3分）（2024春•梁溪区校级期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
3．（3分）（2024春•天宁区校级期中）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了B．变大了C．没有变化D．无法确定
4．（3分）（2024春•兴化市期中）若无论x取何值时，关于x的方程（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4总成立，则m2+n2的值是（ ）
A．46B．56C．72D．81
5．（3分）（2024春•泗阳县期中）若 2024＝2nmk，其中 m、n、k均为正整数，则 m+n+k 的最大值与最小值的差是（ ）
A．1768B．455C．252D．757
6．（3分）（2024春•仪征市期中）小刚把（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．4049D．﹣4049
7．（3分）（2024春•句容市期中）有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）（2023春•吴江区期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048B．1024C．512D．256
9．（3分）（2023春•兴化市期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知4x+m，则m的值是（ ）
A．40B．﹣70C．﹣40D．﹣20
10．（3分）（2024春•西峡县期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春•姑苏区校级期中）已知2x+5y﹣3＝0，则44x+y•8y﹣2x＝ ．
12．（3分）（2024春•新吴区校级期中）已知 x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，则4x+2y×8z＝ ．
13．（3分）（2024春•鼓楼区校级月考）课本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出的．已知（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，则（a﹣b）4＝ ．
14．（3分）（2023春•江都区期中）已知a2+ab+b2＝7，a2﹣ab+b2＝9，则（a+b）2＝ ．
15．（3分）（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最小值为 ．
16．（3分）（2024春•亭湖区校级期中）在数学学习中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．如图，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝3，CN＝1，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为20，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2024春•东台市期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题：
（1）若9x＝36，求x的值；
（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；
（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n．
18．（8分）（2024春•建湖县期中）如果xn＝y，那么我们规定[x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以[3，9]＝2．
（1）[﹣3，81]＝ ；若[2，y]＝6，则y＝ ；
（2）已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a﹣b＝c，则m＝ ；
（3）若[4，28]＝x，[7，28]＝y，令．①求的值；②求t的值．
19．（8分）（2024春•秦淮区期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（ ）
A．数形结合
B．分类讨论
C．类比推理
D．转化
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝ ；
【类比应用】
（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值；
【知识迁移】
（4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，则CE的长度为 ．
20．（8分）（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝ 时，x2+6x﹣15有最小值是 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 （填“大”或“小”）值，该值为 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值
（4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
21．（10分）（2024春•沭阳县校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
22．（10分）（2024春•江都区校级期中）阅读：
在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）[归纳]由此可得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝ （2）[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝ （3）计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1
23．（10分）（2024春•新吴区校级期中）数学课上，张老师准备了图①中A、B、C三种型号的卡片做拼图游戏，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b（b＜a）的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．
（1）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取 张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为 （用含a，b的代数式表示）；
（2）选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为 ．
（3）现有A，B，C型号卡片各8张，且a＝4b，从中选取x张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，x的最大值为 ；
（4）选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形MNPQ内（如图③），当NP的长度不变，MN的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由．
24．（10分）（2024春•淮安区校级期中）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【活动猜想】
（1）写出由图2所表示的数学等式： ；
【类比探究】
（2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），则（结果化简）；
②若，求的值．
【拓展运用】
（3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，且a﹣b＝2k+1，求k的值．
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）（2024春•宜兴市期中）已知3a＝2，3b＝7，3c＝392，则34b﹣2c+6a的值为（ ）
A．1B．3C．729D．9
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：34b﹣2c+6a＝34b÷32c×36a
＝（3b）4÷（3c）2×（3a）6
＝74÷3922×26
＝492×82÷3922
＝（49×8）2÷3922
＝3922÷3922
＝1．
故选：A．
2．（3分）（2024春•梁溪区校级期中）若a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122．
则a＞b＞c．
故选：A．
3．（3分）（2024春•天宁区校级期中）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了B．变大了C．没有变化D．无法确定
【分析】原面积可列式为ab，第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10），又a＞b，通过计算可知租地面积变小了．
【解答】解：由题意可知：原面积为ab（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为（a+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米，
∵a＞b，
∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab，
∴面积变小了，
故选：A．
4．（3分）（2024春•兴化市期中）若无论x取何值时，关于x的方程（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4总成立，则m2+n2的值是（ ）
A．46B．56C．72D．81
【分析】将方程坐标展开，对比两边各项的系数，得出关于m，n的等式，利用整体思想即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为（x+m）（x+n）＝x2﹣2mnx+4，
所以x2+（m+n）x+mn＝x2﹣2mnx+4，
则m+n＝﹣2mn，mn＝4．
所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4（mn）2﹣mn＝4×42﹣2×4＝56．
故选：B．
5．（3分）（2024春•泗阳县期中）若 2024＝2nmk，其中 m、n、k均为正整数，则 m+n+k 的最大值与最小值的差是（ ）
A．1768B．455C．252D．757
【分析】将2024写成幂的乘积的形式后，求得m+n+k 的最大值与最小值即可得出结论．
【解答】解：∵2024＝23×2531，
∴此时m+n+k取得最小值为253+1+1＝257；
∵2024＝21×10121，
∴m+n+k取得最大值为1+1012+1＝1014，
∵1014﹣257＝757，
∴m+n+k 的最大值与最小值的差是757．
故选：D．
6．（3分）（2024春•仪征市期中）小刚把（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．4049D．﹣4049
【分析】根据完全平方公式分别展开，即可求出a、m的值，然后根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（2025x+2022）2
＝20252x2+2×2025x×2022+20222，
∵（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c，
∴a＝20252，
（2024x+2023）2
＝20242x2+2×2024x×2023+20232，
∵（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q，
∴m＝20242，
∴a﹣m
＝20252﹣20242
＝（2025+2024）×（2025﹣2024）
＝4049×1
＝4049，
故选：C．
7．（3分）（2024春•句容市期中）有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与30，则正方形B的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出b2，即正方形B的面积．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝12，（a+b）2﹣a2﹣b2＝30，
即ab﹣b2＝12，ab＝15，
∴b2＝15﹣12＝3，
即正方形B的面积为3，
故选：A．
8．（3分）（2023春•吴江区期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048B．1024C．512D．256
【分析】根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n，求出系数之和即可．
【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
…
由此可知（a+b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a+b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，
故选：B．
9．（3分）（2023春•兴化市期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知4x+m，则m的值是（ ）
A．40B．﹣70C．﹣40D．﹣20
【分析】由x2项的系数可知n＝5，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答．
【解答】解：∵x2项的系数是4，
∴n＝5，
∴（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）+（x+4）（x﹣3）+（x+5）（x﹣4）
＝（x2+x﹣2）+（x2+x﹣6）+（x2+x﹣12）+（x2+x﹣20）
＝4x2+4x﹣40，
∵[（x+k）（x﹣k+1）]＝4x2+4x+m，
∴m＝﹣40．
故选：C．
10．（3分）（2024春•西峡县期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
【分析】根据△ABC的平移过程，分点B在BC上和点B在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥A′B′，根据平行线的性质得到∠ACA′和∠CA′B′和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
【解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB∥A′B′，
∵CG∥AB，AB∥A′B′，
∴CG∥A′B′，
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，
∴2x+x＝54°，
解得：x＝18°，
∴∠ACA′＝2x＝36°，
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，
∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′x，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，
∴xx＝54°，
解得：x＝36°，
∴∠ACA′x＝18°，
第二种情况：当点B′在△ABC外时，过点C作CG∥AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB∥A′B′，
∵CG∥AB，AB∥A′B′，
∴CG∥A′B′，
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACG+∠A′1CG，
∴2x＝x+54°，
解得：x＝54°，
∴∠ACA′＝2x＝108°，
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在这种情况，
综上所述，∠ACA′＝18°或36°或108°，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春•姑苏区校级期中）已知2x+5y﹣3＝0，则44x+y•8y﹣2x＝ 8 ．
【分析】将原式变形为28x+2y×23y﹣6x，再根据同底幂的乘法法则计算，最后代入求值即可．
【解答】解：∵2x+5y﹣3＝0，
∴2x+5y＝3，
∴44x+y•8y﹣2x
＝（22）4x+y•（23）y﹣2x
＝28x+2y×23y﹣6x
＝22x+5y
＝23
＝8，
故答案为：8．
12．（3分）（2024春•新吴区校级期中）已知 x﹣y＝4，xy+z2﹣2z+5＝0，则4x+2y×8z＝ 18 ．
【分析】根据已知可得（y+2）2+（z﹣1）2＝0，根据非负数性质得到y＝﹣2，z＝1，x＝2代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵x﹣y＝4，
∴x＝4+y，
∴y（4+y）+z2﹣2z+5＝0，
∴y2+4y+4+z2﹣2z+1＝0，
∴（y+2）2+（z﹣1）2＝0，
∴y＝﹣2，z＝1，x＝2，
∴4x+2y×8z＝42+2﹣2×8＝1616+2＝18．
故答案为：18．
13．（3分）（2024春•鼓楼区校级月考）课本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出的．已知（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，则（a﹣b）4＝ a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4 ．
【分析】先变成加法，再根据（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4求出即可．
【解答】解：∵（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴（a﹣b）4
＝[a+（﹣b）]4
＝a4+4a3（﹣b）+6a2（﹣b）2+4a（﹣b）3+（﹣b）4
＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4，
故答案为：a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．
14．（3分）（2023春•江都区期中）已知a2+ab+b2＝7，a2﹣ab+b2＝9，则（a+b）2＝ 6 ．
【分析】已知两等式相加减求出a2+b2与ab的值，原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2+ab+b2＝7①，a2﹣ab+b2＝9②，
∴①+②得：2（a2+b2）＝16，即a2+b2＝8，
①﹣②得：2ab＝﹣2，即ab＝﹣1，
则原式＝a2+b2+2ab＝8﹣2＝6，
故答案为：6
15．（3分）（2023春•泗阳县期中）由完全平方公式：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可得a2+b2≥2ab，若a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最小值为 0 ．
【分析】根据偶次方的非负性以及完全平方公式解决此题．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0，
∴a2+b2≥2ab．
∴4≥2ab．
∴ab≤2．
∴﹣ab≥﹣2．
∴﹣2ab≥﹣4．a2+b2≥2ab
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4﹣2ab≥0．
∴（a﹣b）2的最小值为0．
故答案为：0．
16．（3分）（2024春•亭湖区校级期中）在数学学习中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．如图，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝3，CN＝1，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为20，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为 8 ．
【分析】设BN＝a，BM＝b，则得a2+b2＝20，由正方形的边长相等得：a+1＝b+3，得a﹣b＝2；由完全平方公式即可求得ab的值，从而求解．
【解答】解：设BN＝a，BM＝b，
由于阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为20，
即a2+b2＝20，
∵BC＝BN+CN＝a+1，AB＝BM+AM＝b+3，且四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，
即a+1＝b+3，
得a﹣b＝2，
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4，
∴2ab＝a2+b2﹣4＝16，
∴ab＝8，
即S长方形BMHN＝BN•BM＝ab＝8；
故答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2024春•东台市期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题：
（1）若9x＝36，求x的值；
（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；
（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n．
【分析】（1）利用幂的乘方的法则进行运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（3）利用幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）∵9x＝36，
∴32x＝36，
∴2x＝6，
解得：x＝3；
（2）∵3x+2﹣3x+1＝18，
∴3x+1×3﹣3x+1＝18，
2×3x+1＝2×32，
∴x+1＝2，
解得：x＝1；
（3）∵m＝2x+1，n＝4x+2x，
∴n＝（2x）2+2x
＝2x（2x+1）
＝m2x
＝m（m﹣1）
＝m2﹣m．
18．（8分）（2024春•建湖县期中）如果xn＝y，那么我们规定[x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以[3，9]＝2．
（1）[﹣3，81]＝ 4 ；若[2，y]＝6，则y＝ 64 ；
（2）已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a﹣b＝c，则m＝ 15 ；
（3）若[4，28]＝x，[7，28]＝y，令．①求的值；②求t的值．
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，求出答案即可；
（2）根据已知条件中的新定义，把m表示出来，再利用同底数幂相除法则求出3a﹣b，3c的值，从而求出答案；
（3）①根据已知条件中的新定义，把49写成72，64写成43，逆用幂的乘方法则求出答案即可；
②根据已知条件逆用同底数幂相乘法则把28x+y写成28x•28y的形式，然后把28写成7y，4x的形式，通过计算得到x+y与xy的关系，然后进行约分即可．
【解答】解：（1）∵34＝81，
∴[3，81]＝4，
∵[2，y]＝6，
∴y＝26＝64，
故答案为：4，64；
（2）∵[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，
∴3a＝60，3b＝4，3c＝m，
∴3a÷3b＝60÷4＝15，
3a﹣b＝15，
∵a﹣b＝c，
∴3c＝15，
∴m＝15，
故答案为：15；
（3）①∵[4，28]＝x，[7，28]＝y，
∴4x＝7y＝28，
∴



；
②∵由①得：4x＝7y＝28，
∴28x+y
＝28x•28y
＝（7y）x•（4x）y
＝7xy•4xy
＝（7×4）xy
＝28xy，
∴x+y＝xy，
∴．
19．（8分）（2024春•秦淮区期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（ A ）
A．数形结合
B．分类讨论
C．类比推理
D．转化
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝ 28 ；
【类比应用】
（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值；
【知识迁移】
（4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，则CE的长度为 8 ．
【分析】（1）图①中大正方形的面积可用“边长的平方”和“各部分面积之和”两种不同的方法来表示，通过数形结合的数学思想验证一个乘法公式；
（2）根据（1）中得到的等式计算即可；
（3）设x﹣2024＝m，2025﹣x＝n，则m+n＝1，m2+n2＝2026，（x﹣2024）（2025﹣x）＝mn，根据（1）中得到的等式计算mn的值即可；
（4）设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，则CE＝a+b．根据阴影部分的面积得a2﹣ab+b2＝22，根据△CDG的面积得ab＝14，计算出（a+b）2，从而求出a+b的值．
【解答】解：（1）图①中大正方形的面积用“边长的平方”表示为（a+b）2，用“各部分面积之和”表示为a2+2ab+b2，利用数形结合的数学思想验证了公式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，A．
（2）∵xy＝4，x+y＝6，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝36，即x2+y2+8＝36，
∴x2+y2＝28．
故答案为：28．
（3）设x﹣2024＝m，2025﹣x＝n，则m+n＝1，m2+n2＝2026，（x﹣2024）（2025﹣x）＝mn，
∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝1，即2026+2mn＝1，
∴mn，
∴（x﹣2024）（2025﹣x）．
（4）设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，则CE＝a+b．
∵S△ABGAG•AB（a﹣b）a，S△EFGEF•FGb2，
∴S阴影＝S△ABG+S△EFG（a﹣b）ab2＝11，经整理，得a2﹣ab+b2＝22，
∵S△CDGCD•DGab＝7，
∴ab＝14，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2
＝a2﹣ab+b2+3ab
＝22+3×14
＝64，
∴a+b＝8或﹣8（舍去），
∴CE＝8．
故答案为：8．
20．（8分）（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝ ﹣3 时，x2+6x﹣15有最小值是 ﹣24 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 大 （填“大”或“小”）值，该值为 19 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值
（4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（3）把原式化成y＝x2﹣5x﹣20再利用完全平方公式计算y+x即可；
（4）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可．
【解答】解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0，
∴（x+3）2﹣24≥﹣24，
∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24，
∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24；
故答案为：﹣3，﹣24；
（2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19，
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0，
∴﹣（x﹣1）2+19≤19，
∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19；
故答案为：大，19；
（3）∵﹣x2+5x+y+20＝0，
∴y＝x2﹣5x﹣20，
∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24，
∵（x﹣2）2≥0，
∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0，
∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24，
∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24；
∴y+x的最小值是﹣24；
（4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，
∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1．
∵a，b，c都是正整数，
∴边长c的值为4，
∴△ABC的周长为1+4+4＝9．
21．（10分）（2024春•沭阳县校级期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值；
②计算：．
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；
（2）①根据平方差公式将x2﹣4y2＝12化为（x+2y）（x﹣2y）＝12，再整体代入计算即可；
②利用平方差公式将原式化为（1）（1）（1）（1）（1）（1）……（1）（1）（1）（1），进而得出，进行计算即可．
【解答】解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝12，
∴（x+2y）（x﹣2y）＝12，
又∵x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3，
答：x﹣2y的值为3；
②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）……（1）（1）（1）（1）

．
22．（10分）（2024春•江都区校级期中）阅读：
在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）[归纳]由此可得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝ xn+1﹣1 （2）[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝ 22025﹣1 （3）计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1
【分析】（1）根据题意得到规律即可；
（2）由（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1即可得到答案；
（3）设S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1①，则2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2②，①+②后即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝xn+1﹣1
故答案为：xn+1﹣1；
（2）由题意可得，（2﹣1）（22024+22023+22022+22021+…+2+1）＝22025﹣1，
∴22024+22023+22022+22021+…+2+1＝22025﹣1
故答案为：22025﹣1；
（3）设S＝220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1①
则2S＝221﹣220+219﹣218+…﹣24+23﹣22+2②
①+②得，3S＝221+1
∴．
23．（10分）（2024春•新吴区校级期中）数学课上，张老师准备了图①中A、B、C三种型号的卡片做拼图游戏，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b（b＜a）的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．
（1）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取 4 张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为 a+2b （用含a，b的代数式表示）；
（2）选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为 （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； ．
（3）现有A，B，C型号卡片各8张，且a＝4b，从中选取x张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，x的最大值为 ，21 ；
（4）选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形MNPQ内（如图③），当NP的长度不变，MN的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由．
【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算；
（2）根据正方形的性质即可解决问题；
（3）利用正方形的面积即可解决问题；
（4）设MN＝x，根据题意可得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，根据S1﹣S2＝3b2，列出等式，整理后得 a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，进而可以解决问题．．
【解答】解：（1）（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取4张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为a+2b，
故答案为：4，a+2b；
（2）根据题意可知：
（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）1张A型卡片的面积为16b2，1张B型卡片的面积为4b2，1张C型卡片的面积为b2，因此这8×3＝24张卡片的面积为8×（16b2+4b2+b2）＝168b2，
而144b2≤168b2≤169b2，144＝122，
因此可以拼成一个边长为12b的正方形，而BC卡片一共只有8×（4b2+b2）＝40b2，
144b2﹣40b2＝104b2，104b2÷16b2＝，
至少选7张A型卡片，要使x最大，则8张C型卡全用上，
112b2+8b2＝120b2，（144b2﹣120b2）÷4b2＝6，
因此x的值为7+8+6＝21，
故答案为：21；
（4）设MN＝x，根据题意，得
S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，
（4）设MN＝x，根据题意，得
S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，
S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，
∵根据S1﹣S2＝362，
∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2，
∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，
∴（a﹣4b）x﹣（a2+5ab+4b2）＝0，
∴（a﹣4b）x﹣（a﹣4b） （a﹣b）＝0，
∴（a﹣4b）[x﹣（a﹣b）]＝0．
∴（x﹣a+b） （a﹣4b）＝0，
∴．a＝4b或x＝a﹣b，
∴a与b的关系为a＝4b．
24．（10分）（2024春•淮安区校级期中）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【活动猜想】
（1）写出由图2所表示的数学等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
【类比探究】
（2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），则（结果化简）；
②若，求的值．
【拓展运用】
（3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，且a﹣b＝2k+1，求k的值．
【分析】（1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式；
（2）灵活运用公式，尤其是符号变换；
（3）灵活运用公式，可得（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0，再结合a﹣b＝2k+1，可求出k的值．
【解答】解：（1）大正方形面积＝（a+b+c）2，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），
则，
②由题意得：（n）2＝n22，
∵n211，
∴9，
∴n3或3，
∴（n1）2＝4或16；
（3）∵a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，
∴运用公式可得：（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0，
∴a+b﹣2c＝0，a﹣2b+c＝0，
∴a﹣2b+c＝0等号两边同时乘2得：2a﹣4b+2c＝0，
与a+b﹣2c＝0相加得：3a﹣3b＝0，
即a﹣b＝0，又∵a﹣b＝2k+1，∴2k+1＝0，
解得：k．