中考数学一轮复习备考专题4：二次根式 综合测试(含答案)

这是一份中考数学一轮复习备考专题4：二次根式 综合测试(含答案)，共18页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
2.当时,化简的结果是( )
A.B.bC.bD.
3.若，，则( )
A.2B.4C.D.
4.若与可以合并成一项,则m可以是( )
A.50B.15C.0.5D.
5.化简二次根式得( )
A.B.C.D.
6.对于任意的正数m，n，定义运算※：计算的结果为( )
A.B.2C.D.20
7.下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
8.下列说法中，正确的是( )
A.与互为倒数
B.若则
C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等
D.若，则
9.下列命题的逆命题成立的是( )
A.二次根式是负数
B.若最简二次根式与能合并成一项，则
C.若，则
D.当时，
10.若，则关于a的说法正确的是( ).
A.是正整数，而且是偶数B.是正整数，而且是奇数
C.不是正整数，而是无理数D.无法确定
11.已知，那么等于( )
A.B.C.D.0
12.若a和b都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为( )
①只存在一组a和b使得；
②只存在两组a和b使得；
③不存在a和b使得；
④若只存在三组a和b使得，则的值为49或64
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.对于任意正数，，定义运算“”如下：，计算结果为______.
14.已知，那么的值等于_____.
15.已知，，则_____.
16.已知，且，则____________.
17.小明在解方程时采用了下面的方法：
由,又有,可得,将这两式相加可得,将两边平方可解得,经检验是原方程的解,请你学习小明的方法,解方程,则______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）计算：
(1)；
(2).
19.（8分）【发现问题】
在数学活动课上,李老师给出如下一列式子：
;;;；…
爱思考的小辉同学发现,任意一个奇数,都可以写成相邻两个整数的平方差.
【提出问题】
小辉同学根据上述式子的规律,结合本学期学习的二次根式,提出这样一个问题：如果与是两个相邻的整数,其中,则.
【分析问题】
小辉同学利用换元法,设,因为与是两个相邻的整数,,则,从而得出.
【解决问题】
(1)按照李老师给出那列式子的书写格式,请直接写出______；
(2)如果与是两个相邻的整数,其中,求证：；
(3)如果与是两个相邻的整数,求t的值.
20.（8分）观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）_________；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_________；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）.
21.（10分）【观察发现】
∵.
∴；
∵,
∴.
【初步探索】
(1)化简：________；
(2)形如可以化简为,即,且a,b,m,n均为正整数,用含a,b的式子分别表示m,n,得________,________；
(3)若,且x,y均为正整数,求x的值；
【解决问题】
(4)某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出.甲、乙两个饰品盒都是正方体,底面积分别为和.快递公司现有三款包装纸箱,纸箱内部规格如下表(纸箱厚度不计)：
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑,应选择哪种型号的纸箱？
22.（12分）我们知道：，这一化简变形过程叫做分母有理化，类似地：，
式子也可以这样化简：，这样化简变形也是分母有理化.
利用以上信息解答下列问题：
(1)直接写出化简结果：___，___；
(2)用两种不同的方法化简：；
(3)化简：.
23.（13分）阅读材料,完成下列小题.
集合,简称集,是数学中一个基本概念,也是集合论的主要研究对象.集合论的基本理论创立于19世纪,关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论(最原始的集合论)中的定义,即集合是“确定的一堆东西”,集合里的“东西”则称为元素.现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体.
我们把这个抽象的概念具体化：关于______这个算式答案的集合,我们表示为{2}.
交集指的是两个集合的共同部分,用“∩”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的交集就是{3}
并集指的是把两个集合合并在一起,用“∪”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的并集就是
【开胃小菜】请表示不等式组的解集.
【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和,定义和集,用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合,,,若,求的值；
(2)记集合,,,为中所有元素之和,n是正整数,求证：；
(3)若A与B都是由个整数构成的集合,且,证明：若按一定顺序排列,集合A与B中的元素是两个公差相等的等差数列.
【知识卡片】“∈”的意思是属于,的意思是正整数.
答案以及解析
1.答案：A
解析：二次根式在实数范围内有意义，
，解得.
故选：A.
2.答案：A
解析：∵,
∴a,b异号,
∵的,且,
∴,,
则化简的结果是,
故选：A.
3.答案：A
解析：，，
，
故选：A.
4.答案：D
解析：A、把50代入化简得：,故A选项不符合题意；
B、把15代入化简得:,故B选项不符合题意;
C、把0.5代入化简得：,故C选项不符合题意;
D、把代入化简得:,故D选项符合题意;
故选:D.
5.答案：C
解析：∵二次根式有意义,
∴,
故选C.
6.答案：B
解析：由题意可知，
，，
故选B.
7.答案：C
解析：A.，故A选项错误，不符合题意；
B.，故B选项错误，不符合题意；
C.，故C选项正确，符合题意；
D.，故D选项错误，不符合题意；
故选：C.
8.答案：C
解析：A.，不是互为倒数，选项错误；
B.若，由于，则，选项错误；
C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；
D.由可得，结合可得，，则，选项错误；
故选：C.
9.答案：C
解析：A、“二次根式是负数”的逆命题是“如果是负数，那么是二次根式”是假命题，不符合题意；
B、“若最简二次根式与能合并成一项，则”的逆命题为：“若，则最简二次根式与能合并成一项”，是假命题，不符合题意；
C、“若，则”的逆命题为“若，则”，是真命题，符合题意；
D、“当时，”的逆命题为“当时，则”，是假命题，不符合题意；
故选：C.
10.答案：B
解析：设，
是偶数，
是奇数，选项B符合题意，
故选：B.
11.答案：A
解析：
，
将代入
，
故选：A.
12.答案：C
解析：①a和b都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，
故该选项①正确；
②，
当，则
当则.
故选项②正确；
③，
当时，
，所以不存在，
故该选项③正确；
④，
，
当时，，
，
，
有无数a和b满足等式，故该选项④错误.
故选：C.
13.答案：
解析：


.
故答案为：.
14.答案：
解析：，
，
，
.
故答案为：.
15.答案：
解析：∵，，
∴
，
，
∴，
故答案为：.
16.答案：
解析：，且，，，.
17.答案：39
解析：∵
,
而,
∴,
两式相减得,即,
两边平方得到,
∴,经检验是原方程的解,
故答案为：39.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
19.答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：(1)根据题意得,；
故答案为：
(2)证明：设
与是两个相邻的整数,,
,
,
,
,
；
(3)与是两个相邻的整数,,
根据(2)得出的关系,,
,
.
20.答案：（1）
（2）；
（3）
解析：（1）
，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
21.答案：(1)
(2),
(3)
(4),两种型号的包装纸箱符合条件.应选择C型号包装纸箱.
解析：(1),
故答案为：；
(2)∵,
∴,
∵a,b,m,n均为正整数,
∴,,
故答案为：,；
(3)∵,
∴,
∴,
∴,
∴；
(4)底面积的饰品盒底面边长为,
底面积的饰品盒底面边长为,
∵,,
∴B,C两种型号的包装纸箱符合条件.
B型号的包装纸箱的体积为：,
C型号的包装纸箱的体积为：,
∵,
所以应选择C型号包装纸箱.
22.答案：(1)；
(2)
(3)
解析：(1)，
，
故答案：；；
(2)解法1：；
解法2：；
(3)原式
.
23.答案：(1)
(2)见解析
(3)见解析
解析：(1)∵,,
∴；
∵,
∴,
又∵,,,,,是中的元素,
∴,,分别是5,7,9,
∴,
∴,
(2)证明：由题意得,
,
,
∴
∴
,
∵当n无穷大时,趋近于0,
∴,
∴,
∴；
(3)证明：设,
设,,
∴,
∴这里有个元素,
∵,
∴上面为集合的所有元素,
同理：,
∴这里有个元素,
∴上面为集合的所有元素,
∴,
∴,
由上得,,
同理：,
∴,
∴,
∴若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
型号
长
宽
高
A型
B型
C型