2024-2025学年江苏省苏州市某校高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市某校高三（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−3x−48}，则A∩B等于( )
A. (3,4)B. (−1,3)C. (−1,4)D. (3,+∞)
2.复数z=2−i1+2i(i为虚数单位)的虚部是( )
A. −1B. 1C. −iD. i
3.已知向量a=(1,m)，b=(2,−1)，且a⊥b，则m=( )
A. −12B. 12C. 2D. −2
4.函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)是( )
A. 奇函数B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a5=12，S5=25，则a7的值为( )
A. 11B. 13C. 15D. 17
6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且过点(2,1)，则椭圆的方程为( )
A. x28+y22=1B. x24+y2=1C. x212+y23=1D. x216+y24=1
7.设函数f(x)=x3−3x，则f(x)在[−2,2]上最大值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，且当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，若关于x的方程f(x)=k在区间[−2,4]上有6个不同的实数根，则k的取值范围是( )
A. (−1,0)B. (−1,1)C. (0,2)D. (0,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，点A在x轴上方，点B在x轴下方.若直线AB的倾斜角为θ，sinθ=2 23且△AOB的面积为3 22.设点M是抛物线在第一象限部分上的动点，过M作l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，△MON的重心为G，直线MG与抛物线的另一个交点为Q.则下列说法正确的是( )
A. p=2
B. 直线MQ的斜率kMQ的取值范围是(0, 22]
C. 当|MN|=4时，△MQF的面积为4 23
D. 若D为y轴上一点，且∠ADB为钝角，则点D纵坐标的取值范围是(− 2+ 142, 2+ 142)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex，若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y−1=0垂直，则实数a= ______．
13.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之和为偶数，记满足条件的取法种数为m；从0，1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，记满足条件的取法种数为n.若从m个取法和n个取法各随机选一种，这两种取法的数字完全不同的概率是______．
14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0,b>0)的离心率为2，双曲线过点(2,3)，直线l与C的右支交于M，N两点，且经过点P(4,6)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l的斜率为k，求k的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax2−1，其中a∈R，
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若当x≥0时，f(x)≥12x3+x，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
设数列{an}满足a1=1,an+1= an2+2an+4．
(1)证明：数列{an}单调递增且趋向无穷大；
(2)记bn=1an，探究：是否存在正整数m，使得bm>13且bm+1≤13？说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.D
5.B
6.A
7.C
8.A
9.ACD
10.BCD
11.ABD
12.1
13.12
14.2+ 3
15.解：(1)由2sinCcsB=2sinA− 3sinB，
可得：2sinCcsB=2sin(B+C)− 3sinB，
化简得2sinBcsC− 3sinB=0，
又sinB≠0，所以csC= 32，
因此C=π6；
(2)若c= 7，a+b=5，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−(2+ 3)ab，
∴7=25−( 3+2)ab，
∴ab=18(2− 3)，
所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×18(2− 3)×12=9(2− 3)2．
16.(1)证明：由题意得底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，连接AC，PC，CE，
因为PA=AB=2，AD=4，所以C(2,4,0)，D(0,4,0)，
则DC=(2,0,0)，易得平面PAB的法向量为n=(0,1,0)，
则DC⋅n=0，故CD/​/平面PAB；
(2)解：由题意得A(0,0,0)，C(2,4,0)，P(0,0,2)，D(0,4,0)，
因为E为PD的中点，所以E(0,2,1)，
则AE=(0,2,1)，AC=(2,4,0)，AP=(0,0,2)，
设平面AEC的法向量为m=(x,y,z)，
则由AE⋅m=0，得到2y+z=0，①
则由AC⋅m=0，得到2x+4y=0，②
联立①②，令y=1，解得x=−2，z=−2，
故平面AEC的一个法向量为m=(−2,1,−2)，
设平面ACP的法向量为p=(a,b,c)，
则由AC⋅p=0，得到2a+4b=0，③
则由AP⋅p=0，得到2c=0，④
联立③④，令a=−2，解得b=1，c=0，
故平面ACP的一个法向量为p=(−2,1,0)，
则cs=m⋅n|m||n|=|(−2)×(−2)+1×1| (−2)2+12× (−2)2+12+(−2)2=53 5= 53，
易得二面角E−AC−P为锐二面角，
则二面角E−AC−P的余弦值为 53．
17.解：(1)设双曲线的半焦距为c，
由于x2a2−y2b2=1的离心率为2，
因此e=ca=2，因此b2a2=c2a2−1=3，
所以x2a2−y23a2=1，由于双曲线过点(2,3)，
因此4a2−93a2=1，
因此a2=1，b2=3，
因此x2−y23=1；
(2)设直线l为y−6=k(x−4)，
联立双曲线方程和直线l可得x2−y23=1y−6=k(x−4)，化简可得3x2−(kx−4k+6)2=3，
因此(3−k2)x2−2k(6−4k)x−(6−4k)2−3=0，
根据已知，[−2k(6−4k)]2−4(3−k2)[−(6−4k)2−3]>0，且2k(6−4k)3−k2>0，−(6−4k)2−33−k2>0，
因此5k2−16k+15>0，3−k20，
因此k> 3或k0，令g′(x)=0，得x=ln(2a)，
当x0，g(x)在(ln(2a),+∞)上单调递增；
则g(x)min=g(ln(2a))=2a(1−ln2a)，即f′(x)≥2a(1−ln2a)．
当2a(1−ln(2a))≥0，即00，
则n(x)在(1,+∞)单调递增，则n(x)>n(1)=1>0，即x−lnx>0，所以有2a>ln(2a)；
构造函数ℎ(x)=ex−x2，x>1，则ℎ′(x)=ex−2x，
令ℎ′(x)=p(x)=ex−2x，则p′(x)=ex−2>0，
所以p(x)在(1,+∞)上单调递增，则p(x)>p(1)=e−2>0，
即ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，故ℎ(2a)>ℎ(1)=e−1>0，
所以有e2a>(2a)2，即f′(2a)>0，又f′(ln(2a))0，f′(x)>0，则f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递增；
当x10，
则t′(x)=ex−1>0，故t(x)在(0,+∞)单调递增；
所以t(x)>t(0)=0，即q′(x)>0，则q(x)在(0,+∞)单调递增；
所以q(x)>q(0)=0，即ex−12x2−x−1>0，
故令m′(x)=0，解得x=2，
当0an+1，
所以an+1−an>1，故数列{an}单调递增且趋向无穷大．
(2)存在m=2，使得bm>13且bm+1≤13.理由如下：
由(1)可知，an+1−an>1，且a1=1，
所以an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+...+(a2−a1)+a1≥n(当n=1时等号成立)，
又因为an+1= an2+2an+4< (an+2)2