2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考三模数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年陕西省西安市陕西师范大学附属中学中考三模数学试卷（原卷版+解析版），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果零上记作，那么零下记作（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是一个几何体展开图，则这个几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆柱D. 圆
3. 如图，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，，，平分．与交于点．若，则的长度为（ ）
A. 1B. 3C. D.
7. 如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A B. C. 2D. 1
8. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
若在，，这三个数中，只有一个是正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 如图，均为正方形，若的面积为，的面积为1，则的边长可以是______．（写出一个答案即可）

10. 在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
11. 如图，是正八边形的两条对角线，则的值为______．
12. 如图，已知线段的中点为，点、点都在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则点的坐标为_____．
13. 如图，已知，，，若，则的长度为_____．
三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程）
14 计算：．
15 先化简，再求值：．其中，．
16. 解方程：．
17. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．
18. 已知：如图，四边形是矩形（），点在上，且，，垂足为，求证：．
19. 某数学小组经调查发现：走路快的人平均每步的步长与走路慢的人平均每步的步长相等，走路快的人走100步的时间里，走路慢的人只能走60步，现在走路慢的甲和走路快的乙准备在同一条步道的同一地点向同一方向行走，甲先出发，走了50步后，乙再出发去追他，追上后两人同时停止行走．求乙走多少步才能够追上甲．
20. 某校准备开展阳光体育运动，计划开设以下五个球类项目；（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），（足球），要求每位学生必须参加．且只能参加其中的一个项目．小明和小颖对以上的五个项目都很感兴趣，决定采用随机摸球的方式确定最终参加的项目．他们在一个不透明的袋子中放入5个小球，这些小球上分别写有字母，，，，（分别对应以上的五个项目），小球上除写的字母外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回，记作随机摸球1次．
（1）小明随机摸球1次，摸出（乒乓球）的概率是 ．
（2）小明和小颖分别随机摸球1次，求小明和小颖中至少有一人摸出（乒乓球）的概率．
21. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”的研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，大楼对面有一观景平台，通向观景平台的斜坡的长是25米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为75米，在观景平台边沿地面上的路灯的高度是米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．求大楼的高度．（点，，，，在同一平面内．参考数据：，，，，，）
22. 近年来，中国传统服饰唐装备受大家的青睐．某服装店直接从工厂购进一批唐装进行销售，其中A、B两款的进货价和销售价如下表：
（1）该服装店第一次购进A款唐装30件，B款唐装40件，求服装店销售完这些唐装获得的利润．
（2）第一次购进的两款唐装售完后，该服装店计划再次购进A、B两款唐装共100件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总费用不高于8600元．服装店这次应如何设计进货方案，才能在销售完这些唐装后获得的利润最大，最大利润是多少？
23. 人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为；所调查学生的喜欢项目的众数是；
（3）若该校初三年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数．
24. 如图，在中，，，以直径作，与交于点，点在上，且．
（1）求劣弧的长度；
（2）当与相切时，求的长度．
25. 某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯，图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围，的度数可以调节．以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，点均在此抛物线型拱门上．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）根据设计要求，点的横坐标为，点的横坐标为，的一边需要与轴平行．问，是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出点的坐标及此时的度数；若不存在，请说明理由．
26. 综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“图形到图形的最近距离”进行研究．定义：平面内，为图形上任意一点，为图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形到图形的最近距离，记作．例如：在平面上有、两点，且，将点记为图形，点记为图形，则．
数学理解：
（1）在平面内有、两点，将点记为图形，以点为圆心，5为半径作，将记为图形，若，则__________．
（2）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，将记为图形，的坐标为，的半径为2，将记为图形，若，则的值为__________．
推广运用：
（3）如图，正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，将绕点逆时针旋转得到，将点记为图形，将满足条件的点构成的图形记为图形，求的值．
陕西师大附中2024-2025学年度初三年级第三次适应性训练数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题义的）
1. 如果零上记作，那么零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查正数与负数， 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：如果零上记作，那么零下记作，
故选：B．
2. 如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A 三棱柱B. 四棱柱C. 圆柱D. 圆
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱．
故选：A．
3. 如图，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，求得，再利用平角求得．
【详解】解：如图所示：
，，
故选：D．
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先去括号，然后移项，合并同类项，即可求出不等式的解集．
【详解】解：
，
故选：C
5. 点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了判断一次函数图象经过的象限，根据一次函数的增减性求参数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由时，，可知随着的增大而减小，得到的取值范围，然后结合，可知的取值范围，从而判断可能的图象．
【详解】解：时，，
即时，，
随着增大而减小，
，
又，
，
一次函数的图象会经过一、二、四象限．
故选：A．
6. 如图，在中，，，平分．与交于点．若，则的长度为（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用等腰三角形以及三角形内角和，求得，再利用角平分线，求得，然后计算出，推出，最后证明，然后利用对应边成比例求得答案．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去负值）
故选：D．
7. 如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形．根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
8. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
若在，，这三个数中，只有一个是正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据题意可求得，，由，得出，则二次函数为，得出，求解即可．
【详解】解：二次函数经过点，
，
又和时的函数值都是1，
抛物线的对称轴为直线，
是顶点，和关于对称轴对称，
若在，，这三个数中，只有一个是正数，则抛物线向下，且，
，
，
二次函数为，
，
，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 如图，均为正方形，若的面积为，的面积为1，则的边长可以是______．（写出一个答案即可）

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据正方形的面积公式得到正方形A的边长为2，正方形C的边长为1，得到B的边长，于是得到结论．
【详解】解：∵，，
∴正方形A的边长为2，正方形C的边长为1，
∴B的边长，
正方形B的边长可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
10. 在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
【答案】##78度
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质求得，然后根据，得到，最后利用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：根据题意，如图，
四边形是菱形，
，
又以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，
，
，
．
故答案为：．
11. 如图，是正八边形的两条对角线，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案．
【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图，
∵多边形为正八边形，
∴中心角，
设，
∴
∴，
故答案为：．
12. 如图，已知线段的中点为，点、点都在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数点的坐标特征，线段的中点表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设点，借助线段的中点为，，可知，，，从而得到，，表示出，将其代入反比例函数，得到，由题意可知，然后解得、，最后求得点．
【详解】解：设点，
线段的中点为，，
，
，
，
点、点都在反比例函数的图象上，
，即，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
13. 如图，已知，，，若，则的长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】延长、交于点，延长至点，使得，连接，由等边对等角可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，进而可得，由线段之间的和差关系可得，于是可得，由可得，再结合，于是可得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，由三线合一可得，则，再结合，于是可得，由内错角相等两直线平行可得，由此可证得，于是可得，进而可得，然后根据即可求出的长度．
【详解】解：如图，延长、交于点，延长至点，使得，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是的垂直平分线，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
即：的长度为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三线合一，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，内错角相等两直线平行等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简，负指数幂，化简绝对值，熟练掌握相关运算规则是解题的关键．先化简二次根式，绝对值，以及负指数幂，然后先算乘法，最后从左到右进行计算即可．
【详解】解：原式
15. 先化简，再求值：．其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式，再合并同类项即可化简，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
当，时，
原式．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是注意解分式方程时要检验．先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得．
【详解】解：
经检验，是原方程的根．
17. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可；
（2）利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形；
【小问2详解】
如图，即为所求作的点；
【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．
18. 已知：如图，四边形是矩形（），点在上，且，，垂足为，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形性质得出，，求出，≌，根据全等得出即可．
【详解】证明：四边形是矩形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的每个角都是直角，矩形的对边平行．
19. 某数学小组经调查发现：走路快的人平均每步的步长与走路慢的人平均每步的步长相等，走路快的人走100步的时间里，走路慢的人只能走60步，现在走路慢的甲和走路快的乙准备在同一条步道的同一地点向同一方向行走，甲先出发，走了50步后，乙再出发去追他，追上后两人同时停止行走．求乙走多少步才能够追上甲．
【答案】125
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程与行程问题，熟练掌握路程，时间，速度三者的关系是解题的关键．设乙走步才能够追上甲，那么可知设乙走步的时间等于甲走步的时间，列出方程，求解即可．
【详解】解：设乙走步才能够追上甲．
解得
答：乙走步才能够追上甲．
20. 某校准备开展阳光体育运动，计划开设以下五个球类项目；（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），（足球），要求每位学生必须参加．且只能参加其中的一个项目．小明和小颖对以上的五个项目都很感兴趣，决定采用随机摸球的方式确定最终参加的项目．他们在一个不透明的袋子中放入5个小球，这些小球上分别写有字母，，，，（分别对应以上的五个项目），小球上除写的字母外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回，记作随机摸球1次．
（1）小明随机摸球1次，摸出（乒乓球）的概率是 ．
（2）小明和小颖分别随机摸球1次，求小明和小颖中至少有一人摸出（乒乓球）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据题意，利用概率公式直接计算即可；
（2）采用列表法，共有25种等可能的结果，其中小明和小颖中至少有一人摸出有9种结果，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：共有5种等可能的结果，其中摸出（乒乓球）有1种结果，
小明随机摸球1次，摸出（乒乓球）的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：小明和小颖分别随机摸球1次，列表如下，
共有25种等可能的结果，其中小明和小颖中至少有一人摸出的结果有9种，
小明和小颖中至少有一人摸出B的概率．
21. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”的研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，大楼对面有一观景平台，通向观景平台的斜坡的长是25米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为75米，在观景平台边沿地面上的路灯的高度是米，从楼顶测得路灯顶端处的俯角是．求大楼的高度．（点，，，，在同一平面内．参考数据：，，，，，）
【答案】104米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握以上知识点并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．延长交延长线于，过作于，则四边形是矩形，得，，再由锐角三角函数定义求出、的长，得出的长，然后由锐角三角函数求出的长，即可求解．
【详解】解：延长交延长线于，过作于，如图，
根据题意，，，，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，，（米），
（米），（米），
（米），
（米），
在中，，
，
（米），
（米）
（米），
答：大楼的高度约为104米．
22. 近年来，中国传统服饰唐装备受大家的青睐．某服装店直接从工厂购进一批唐装进行销售，其中A、B两款的进货价和销售价如下表：
（1）该服装店第一次购进A款唐装30件，B款唐装40件，求服装店销售完这些唐装获得的利润．
（2）第一次购进的两款唐装售完后，该服装店计划再次购进A、B两款唐装共100件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总费用不高于8600元．服装店这次应如何设计进货方案，才能在销售完这些唐装后获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）1800元
（2）该服装店再次购进A款唐装40件，B款唐装60件时，才能在销售完这些唐装后获得的利润最大，最大利润是2600元
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用．
（1）根据利润等于每件的利润乘以件数求解即可．
（2）设该服装店计划再次购进A款唐装x件，B款唐装件，根据第二次进货总费用不高于8600元列出关于x的一元一次不等式求出x的取值范围，再设销售完第二批唐装后获得的利润为W，得出W关于x的一次函数，结合x的取值范围以及一次函数的性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意可得出：（元）
则销售完这些唐装获得的利润1800元．
【小问2详解】
解：设该服装店计划再次购进A款唐装x件，B款唐装件，
根据题意可得出：，
解得：，
设销售完第二批唐装后获得的利润为W，
则，
∵
∴W随x的增大而减小，
∴当时，即该服装店再次购进A款唐装40件，B款唐装60件时，才能在销售完这些唐装后获得的利润最大，最大利润是元．
23. 人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为；所调查学生的喜欢项目的众数是；
（3）若该校初三年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数．
【答案】（1）见解析 （2）；（图像识别）
（3）150
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图的应用以及用样本估计总体，解题的关键是能从两种统计图中获取有效信息，并进行相关计算．
（1）根据项目的人数和占比求出总人数，进而求出项目人数以补充条形统计图；
（2）根据圆心角公式求出项目对应的圆心角度数，根据众数定义找出众数；
（3）根据样本中喜欢模块的比例来估计总体中喜欢模块的学生人数．
【小问1详解】
解：已知项目人数为9人，占比，则总人数为（人），
项目人数为（人），
补全条形统计图如图：
【小问2详解】
解：项目对应的圆心角的度数为，
项目的人数最多，所以所调查学生的喜欢项目的众数是（图像识别），
故答案为：；（图像识别）；
【小问3详解】
解：样本中喜欢（图像识别）模块的比例为，
该校初三年级共有500名学生，所以估计喜欢模块的学生人数为人，
答：喜欢B（图像识别）模块的学生人数是150人．
24. 如图，在中，，，以为直径作，与交于点，点在上，且．
（1）求劣弧的长度；
（2）当与相切时，求的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，再求得，再通过求得答案；
（2）连接，，，通过直径所对的圆周角等于，可知，利用勾股定理求得，再计算出，求得，作交于点，可得，，不妨设，，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，，通过求得，最后利用求得答案．
【小问1详解】
解：连接，如图，
是所对的圆心角，是所对的圆周角，且，
，
又，
，
，以为直径作，
劣弧的长度为；
【小问2详解】
解：连接，，，作交于点，
是直径，，
，，
，
，
，
与相切时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
不妨设，，
那么，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
25. 某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯，图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围，的度数可以调节．以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，点均在此抛物线型拱门上．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）根据设计要求，点的横坐标为，点的横坐标为，的一边需要与轴平行．问，是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出点的坐标及此时的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，，
【解析】
【分析】（1）根据题意得到顶点，，再利用顶点式求解析式即可；
（2）表示出，，在分别根据轴和轴列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，
∴顶点，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，
当轴时，，解得或（不合题意，舍去），此时，，则，，此时是等腰直角三角形，；
当轴时，，解得或（不合题意，舍去），此时，，则在下方，不合题意；
综上所述，，，．
26 综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“图形到图形的最近距离”进行研究．定义：平面内，为图形上任意一点，为图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形到图形的最近距离，记作．例如：在平面上有、两点，且，将点记为图形，点记为图形，则．
数学理解：
（1）在平面内有、两点，将点记为图形，以点为圆心，5为半径作，将记为图形，若，则__________．
（2）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，将记为图形，的坐标为，的半径为2，将记为图形，若，则的值为__________．
推广运用：
（3）如图，正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，将绕点逆时针旋转得到，将点记为图形，将满足条件的点构成的图形记为图形，求的值．
【答案】（1）3或7 （2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分当点在内和点在外两种情况讨论即可；
（2）当在外且在右侧时，，结合图形，求得；当在外且在左侧时，，结合半径可求得答案；当在内时，交轴于、，作于，交于点，当时，可求得，此时与有交点，故矛盾；当时，可求得点在原点， 此时与有交点，故矛盾；
（3）以点为圆心，半径为画圆，交于，交于，由题意可知，点在（不包括和）上运动，绕点逆时针旋转得到，，可推出，，推出点在延长线上，绕点逆时针旋转得到，同理可证点在延长线上，
绕点逆时针旋转得到，可知点在延长线上以点为圆心，半径为1画圆，交于点，交于点，可知在扇形（不包括和）运动，连接交于点，那么，通过可求得答案．
【小问1详解】
解：当点在内，连接并延长交于，如图所示：
，
，
，
，
；
当点在外，连接交于，如图所示：
，
，
，
，
；
故答案为：3或7；
【小问2详解】
解：①当在外且在右侧时，如图所示：
由题意可知，，，的坐标为，的半径为2，，，
，
，
，
，
，
，
；
②当在外且在左侧时，如图所示：
，
，
，
，
，
；
③当在内时，交轴于、，作于，交于点
当时，
，
，，
，
，
，
，
，
此时与有交点，
，
故矛盾；
当时，如图所示：
此时，
在原点，
此时与有交点，
，
故矛盾；
故答案为：或；
【小问3详解】
解：以点为圆心，半径为画圆，交于，交于，
正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，
点在（不包括和）上运动，
如图所示：
绕点逆时针旋转得到，
，
，，
点在延长线上，
绕点逆时针旋转得到，
，
，，
点在延长线上，
，
绕点逆时针旋转得到，
，
，，，
点在延长线上，
连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
以点为圆心，半径为1画圆，交于点，交于点，
将绕点逆时针旋转得到，在（不包括和）上运动，
在（不包括和）运动，
连接交于点，，
，，
，
，
的值为．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，“图形到图形的最近距离”的定义，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
…
0
1
2
3
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1
1
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价格/类别
A款
B款
进货价（元/件）
80
90
销售价（元/件）
100
120
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2
3
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1
1
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小明
小颖
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
价格/类别
A款
B款
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80
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