云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三下学期高考适应性月考（六）数学试卷（含答案）

这是一份云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三下学期高考适应性月考（六）数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0, b>0的离心率为2，则C的渐近线方程是( )
A. y=± 33xB. y=±xC. y=± 2xD. y=± 3x
2.已知集合M, N为全集U的非空真子集，且M与N不相等，若M∩N=M，则下列关系中正确的是( )
A. (∁UM)∩N=⌀B. M∩(∁UN)=⌀
C. (∁UM)∩(∁UN)=⌀D. (∁U(M∪N))∩(∁UM)=⌀
3.已知数列an，满足an+2+an+1+an=1, a1=2, a2=1，则a300=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.若两平行直线l1:ax+8y=0与l2:3x+4y+b=0之间的距离是1，则a+b=( )
A. −4或11B. −4或16C. 1或11D. 1或16
5.在x+1x−2x+3x−4x+5x−a展开式中，含x5的项的系数是6，则a=( )
A. −6B. −3C. 3D. 6
6.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心， 21为半径作一个球，则该球球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为( )
A. 21πB. 2 3πC. 212πD. 3π
7.在某次数学月考中，有三个多选小题，每个小题的正确答案要么是两个选项，要么是三个选项，且每个小题都是6分，在每个小题给出的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分(正确答案是三个选项的，则每个选项2分；正确答案是两个选项的，则每个选项为3分，有错选的得0分).已知这次考试中，第一个小题的正确答案是两个选项；小明同学在这三个多选小题中，第一个小题仅能确定一个选项是正确的，由于是多选题他随机又选了一个选项；而第二个小题他随机地选了两个选项，第三个小题他随机地选了一个选项，则小明同学这三个多选小题所有可能的总得分(相同总分只记录一次)的中位数为( )
A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5
8.若ex+x−lny−ey=1，则xy的最小值为( )
A. −1eB. −1e2C. −2e3D. 0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件A, B, C，则下列说法正确的是( )
A. 若PAB=PAPB，则事件A与事件B相互独立
B. 若PA+PB=1，则事件A与事件B互为对立
C. 若事件A,B,C两两独立，则PABC=PAPBPC
D. 若事件A,B,C两两互斥，则PA∪B∪C=PA+PB+PC
10.设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式rcsθ+isinθ，其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角(也被称为z的辐角).利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθn∈N∗，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数z满足z5=32，则z可能的取值为( )
A. 2csπ10+isinπ10B. 2cs2π5+isin2π5
C. 2csπ2+isinπ2D. 2cs6π5+isin6π5
11.如图，小明同学发现家里的两个射灯在墙上投影出两个相同的椭圆，其外轮廓曲线形如心形，经过他进一步的探究发现曲线C:3x2+3y2=2xy+12也表示心形曲线，设Ax0,y0为曲线C上一点，O为坐标原点，则下列小明关于曲线C的说法正确的是( )
A. 曲线C只经过4个整数点(即横、纵坐标均为整数的点)
B. x0∈−3 22,3 22,y0∈−3 22,3 22
C. OA∈ 3, 6
D. 设曲线C上一点B，且OA⋅OB=0，则▵OAB的面积的最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.通过对某校高三年级A, B两个班的排球比赛成绩分析可知，A班的成绩X∼Nμ1,σ12，B班的成绩Y∼Nμ2,σ22，X, Y的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大．
13.已知在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PB=2，CP与平面PAB所成角为π4，则三棱锥P−ABC的体积的最大值为 ．
14.定义域为−1, +∞的函数fx满足fx+4−fx=0，当x∈−1, 3时，fx= 1−x2,x∈−1,1,1−x−2,x∈1,3.若gx=fx−ax在−1, +∞上有9个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c，已知2b+csinC=2csinAcsC．
(1)求A；
(2)若BC边上的高为2，且∠BAC的平分线交BC边于D，CD=4BD，求AD．
16.(本小题12分)
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数λλ>0,λ≠1的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点A到M−8,0的距离是点A到N−83,0的距离的3倍．记点A的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与x轴的负半轴交于点B, O为坐标原点，若点A不在x轴上，直线AB, AO分别与直线l:x=12交于D, E两点，探究以DE为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
17.(本小题12分)
如图甲，在平面五边形ABCDE中，AB//CD，∠ADC=π2，AB=AE=DE=2DC=4，AD=2 3，G为BC的中点，以AD为折痕将图甲中的△ADE折起，使点E到达如图乙中的点S的位置，且SA⊥DG．
(1)证明：平面SAC⊥平面ABCD；
(2)若过点A作平面SBC的垂线，垂足为H，求点H到平面SAC的距离．
18.(本小题12分)
已知函数fx=x+1lnx−m+1x+2,m∈R．
(1)当m=1时，求fx的单调区间；
(2)若对任意x∈1,+∞，都有fx+5>0恒成立，求m的最大整数值；
(3)对于任意的n∈N∗，证明：13+17+⋯+14n−10，则g′x=1x−1x2=x−1x2，
所以当x∈0,1时，g′x0，
所以gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，又g1=0即f′1=0，
所以gx≥0即f′x≥0在0,+∞上恒成立，当且仅当x=1时，f′1=0，
所以fx在0,+∞上单调递增，即fx的单调递增区间为0,+∞，无单调递减区间．
(2)
因为对任意x∈1,+∞，都有fx+5>0恒成立，
所以对任意x∈1,+∞，x+1lnx−m+1x+7>0恒成立，
即对任意x∈1,+∞，m+10，
所以存在x0∈8,172，使得tx0=0即x0−lnx0−6=0，
所以当x∈1,x0时，tx0，
所以ℎx在1,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，
所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=(1+1x0)ln x0+7x0=(1+1x0)(x0−6)+7x0=x0+1x0−5，
所以m+10在8,172上恒成立，所以函数sx在8,172上单调递增，
又s8=3+18∈3,4,s172=72+217=12334∈3,4，
所以m+1的最大整数值为3，即m的最大整数值为2．
(3)
证明：由(1)知fx=x+1lnx−2x+2在1,+∞上单调递增，
则函数fx=x+1lnx−2x+2>f1=0，所以lnx>2x−1x+1,x>1，
故ln (4n+1)−ln (4n−3)=ln 4n+14n−3
=ln (1+44n−3)>2×44n−344n−3+2=44n−1(n∈N∗)，
所以ln 5−ln 1>43,ln 9−ln 5>47,ln 13−ln 9>411,...,ln (4n+1)−ln (4n−3)>44n−1(n∈N∗)，
累加得ln4n+1−ln1>43+47+411+...++44n−1n∈N∗，
所以13+17+111+...+14n−1