西南名校联盟2025届3+3+3高考备考诊断性联考（二）数学试卷（含答案）

这是一份西南名校联盟2025届3+3+3高考备考诊断性联考（二）数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(z−1)i=z+2，则z=( )
A. −12−32iB. 12+32iC. −12+32iD. 12−32i
2.已知tanα，tanβ分别为x2+6x+3=0两个实根，则tan(α+β)=( )
A. 1B. 2C. 3D. −32
3.设在△ABC中，点D为BC边上一点，且BC=2BD，点E为AC边上的中点.若AD=m，AC=n，则BE=( )
A. n−32mB. n−2mC. n+32mD. 32n−2m
4.某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有( )
A. 42种B. 36种C. 6种D. 12种
5.已知“p:− 20且φ∈R)在(5π18,2π3)上单调，且f(π3)+f(5π9)=0，若f(x)在(2π9,π)上恰有2个零点，则ω的取值最准确的范围是( )
A. [2713,6326)B. (95,94]C. (95,185]D. (94,187]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数等于x1+1，x2+1，⋯，xn+1的平均数
B. 样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差
C. 若随机变量ξ服从二项分布ξ~B(9,23),则D(ξ)=2
D. 若随机变量ζ服从正态分布ζ~N(2,σ2),且P(ζ≥4)=0.21,则P(ζ>0)=0.79
10.函数y=f(x)满足f(x+1)=1+f(x)1−f(x)，且f(4−x)=−f(x)，f(1)>0，下列说法正确的有( )
A. T=4为f(x)的一个周期B. f(x)为奇函数
C. f(1)=1D. f(2)=0
11.设函数f(x)=8x4−bx2+c，则( )
A. 若b=0，则x=0为f(x)的唯一的极小值点 B. 函数f(x)不一定有最小值
C. 若方程f(x)−k=0恰有3个实数根，则k=c D. 若|f(x)|≤1在x∈[−1,1]恒成立，则b+c=8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A，点B是双曲线上两点，点C是y轴上一点，O为坐标原点.若四边形AOBC是正方形，且|OC|=|F1F2|，则双曲线的离心率e为 ．
13.数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=14an2+n，an>0，则S100= ．
14.∀x>0，f(x)=(x−a)3[lnx+a(x−1)]≥0，则a的取值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有bsin(A−π3)−asinAcsC−csinAcsA=0．
(1)求角A;
(2)若△ABC的面积为4 3，a=2 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+k−ex−k．
(1)当k=0时，求证：f(x)最大值小于−2;
(2)若f(x)有两个零点，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
中心O在原点，左、右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率e= 104，椭圆上的动点P(不与顶点重合)，满足当∠F1PF2=90∘时，P到左焦点F1的距离为3．
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当|PF1|的最大值小于5时，过点P作椭圆的切线，与x轴交于Q，与y轴交于R，求S△OQR的最小值．
18.(本小题17分)
一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4;若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为pn，qn．
(1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率;
(2)求证：{pn−12}，{qn+53pn−43}均为等比数列;
(3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大?
19.(本小题17分)
如图，半径为2的半球面O底面设为α，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且∠AOC=π6，平面ABC⊥平面α.过点C的平面β与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上.且平面α与β的夹角为π6，点C，D均在平面α的同侧，记α∩β=l，CD∩AB=T．

(1)求证：OD⊥平面α;
(2)点P在圆S上，设∠CSP=θ，θ∈[0,2π].且PQ//OD，Q在平面α上.
(ⅰ)用θ表示PQ的长;
(ⅱ)当DQ与平面ABC所成角最大时，求csθ．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.A
6.B
7.C
8.B
9.BCD
10.ABC
11.AC
12. 5+12
13.10100
14.1
15.解：(1)在△ABC中，由正弦定理，有sinBsin(A−π3)=sinA(sinAcsC+csAsinC)，
也即sinBsin(A−π3)=sinAsin(A+C)，B∈(0,π)，
因此有sin(A−π3)=sinA，从而A−π3=π−A，解得A=2π3;
(2)由余弦定理，得12=b2+c2−2bccs120∘=(b+c)2−bc，
又S△ABC=12bcsin120∘=4 3，所以b+c=2 7,bc=16,
所以△ABC的周长为2 7+2 3．
16.解：(1)当k=0时，f(x)=lnx−ex⇒f′(x)=1x−ex，
易知f′(x)在(0,+∞)上单调递减，
在x→+∞，f′(x)0
⇒存在唯一的点x0使得f′(x0)=0，
所以y=f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，
则f(x)max=f(x0)=lnx0−ex0，
其中x0满足ex0=1x0，则lnx0=−x0，
所以f(x)max=f(x0)=−(x0+1x0)≤−2，
(“=”成立的条件为x0=1，事实上x0≠1)，
所以f(x)max0，x→+∞时，f′(x)0，
令ℎ(x)=2lnx+x−1x，
易知ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
且ℎ(1)=0⇒f(x1)>0⇒x1>1，
又k=x1+lnx1，当x1>1时，k>1．
即实数k的取值范围为(1,+∞)．
17.解：(1)PF1=3，PF2=2a−3，∠F1PF2=90∘
则(2a−3)2+9=4c2，e= (2a−3)2+92a= 104，解得a=2或6．
当a=2时，x24+2y23=1;
当a=6时，x236+2y227=1．
(2)当PF1的最大值小于5时，椭圆的方程为x24+2y23=1，设P(x0,y0)，
则在P(x0,y0)的切线方程为l:y−y0=k(x−x0)⇒y=kx+y0−kx0，记y0−kx0=n，
则切线方程为l:y=kx+n，
则联立l:y=kx+n与x24+2y23=1，
得到x2(3+8k2)+16km+8n2−12=0，
由Δ=0⇒8k2−2n2+3=0⇒k2(8−2x02)+4kx0y0+3−2y02=0．
因为x024+2y023=1⇒8−2x02=163y02，3−2y02=34x02，
代入上式得到64y02k2+48kx0y0+9x02=0⇒k=−3x08y0，
所以切线方程为xx04+2yy03=1，
所以Q(4x0,0)，R(0,32y0)，
所以S△OQR=3|x0y0|=3|x0y0|(x024+2y023)=34|x0y0|+2|y0x0|⩾ 6，
在x02=2，y02=34取得等号．
所以S△OQR的最小值为 6．
18.(1)解：第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间．
设ti,j为第1分钟时，猫在i号房间，老鼠在j号房间的概率，则t0,0=0.4×0.5=0.2，t0,1=0.4×0.5=0.2，t1,0=0.6×0.5=0.3，t1,1=0.6×0.5=0.3．
设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则P(X=1)=t0,1+t1,0=0.5，所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率为0.5．
(2)证明：易知p0=1，q0=0，且由(1)得p1=25，q1=12．
当n≥1时，猫在第n分钟时位于0号房间包含2种情形：
①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为25pn−1，
②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为35(1−pn−1)，
则由全概率公式，pn=25pn−1+35(1−pn−1)=35−15pn−1，进而pn−12=−15(pn−1−12)，
结合p1−12=−110，故{pn−12}是首项为−110，公比为−15的等比数列，即pn−12=(−110)(−15)n−1，注意到当n=0时也满足题意，
因此pn=12(−15)n+12．
老鼠第n分钟在0号房间包含3种情形：
①上一分钟描和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为(1−pn−1)(1−qn−1)，
②上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为pn−1(1−qn−1)×12，
③上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠转移到0号房间的概率为qn−1(1−pn−1)×12．
故由全概率公式，qn=(1−pn−1)(1−qn−1)+pn−1(−qn−1)×12+qn−1(1−pn−1)×12，即qn=1−pn−12−qn−12．
要证{qn+53pn−43}为等比数列，即证qn−12−16(−15)n−1为等比数列，
而qn=1−pn−12−qn−12=34−14(−15)n−1−qn−12，
故qn−12−16(−15)n−1=−12[qn−1−12−16(−15)n−2]，结合q1−12−16=−16，
故{qn−12−16(−15)n−1}为首项−16，公比为−12的等比数列，即qn−12−16(−15)n−1=−16(−12)n−1，注意到n=0时也满足题意，
因此qn=12+16(−15)n−1+13(−12)n．
(3)解：由(2)，qn=12+16(−15)n−1+13(−12)n=12+16[(−15)n−1−(−12)n−1]，
显然q0=0不是其最大值，设an=(−15)n−1−(−12)n−1，
①当n为奇数时，an=(15)n−1−(12)n−1≤0，当且仅当n=1时取等，故an的最大值为0;
②当n为偶数且n≥2时，a2=12−15=310，当n≥4时，an