初中数学人教版（2024）八年级上册14.3 因式分解综合与测试精品第4课时随堂练习题

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知识点一：因式分解的概念：
把一个多项式写成几个整式的 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 ，也叫做把这个多项式 。与整式的乘法互为逆运算。
特别提示：因式分解的三个条件：
①变形后的式子是乘积的形式。加减号必须在括号里面。
②每一个乘积的因式都必须是整式。
③必须分解完全。
【类型一：判断式子变形是不是因式分解】
1．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．ab﹣a2＝a（b﹣2a）B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x+1＝x（1+）D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）D．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）
3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
知识点一：提公因式分解因式：
公因式的概念：
多项式中各项都有的 叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项
都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。
求公因式的方法：
公因式＝系数的 ×相同字母（式子）的 。
特别提示：当多项式的首项为负时。公因式也为负。
每一项剩余部分的求法：
每一项的剩余部分＝多项式的每一项÷ 。
提公因式分解因式：
一般地，如果多项式的各项都有 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式
写成 与另一个因式的 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
【类型一：判断式子的公因式】
4．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（ ）
A．a2bB．﹣4a2b2C．4a2bD．﹣a2b
5．把10a2（x+y）2﹣5a（x+y）3因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．5aB．（x+y）2C．5（x+y）2D．5a（x+y）2
6．多项式3ma2+12mab的公因式是 ．
7．多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是 ．
【类型二：利用公因式法分解因式】
8．把下列各式进行因式分解：
（1）x2+x y； （2）﹣4b2+2ab；
（3）3ax﹣12bx+3x； （4）6ab3﹣2a2b2+4a3b．
9．把下列多项式因式分解：
（1）x2﹣x y+x； （2）m2n﹣mn2+m n；
（3）9x3y3﹣21x3y2+12x2y2； （4）x2（x﹣y）+y2（x﹣y）．
知识点一：逆用平方差公式分解因式：
因式分解的平方差公式内容：
两个数的平方差等于这两个数的 乘以这两个数的 。
即： 。
可以用平方差公式分解的式子特点与结果：
①式子特点：多项式是 项，符号 ，每一项的绝对值都可以写成 的形式。
②结果：等于底数的 乘底数的 。底数的差时用正项底数减负项底数。
【类型一：判断多项式能否用平方差公式分解】
10．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．3x2﹣4yC．﹣+D．﹣﹣
11．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2B．﹣（a2+b2）C．﹣b2+a2D．﹣a2﹣b2
12．下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（ ）
A．﹣x2+y2B．4a2﹣（a+b）2C．a2﹣8b2D．x2y2﹣1
【类型二：利用平方差公式分解因式】
13．把下列各式进行因式分解：
（1）x2﹣； （2）4m2﹣n2；
（3）25﹣4x2y2； （4）49x2﹣36y2
14．把下列各式因式分解：
（1）a2b2﹣m2； （2）（m﹣a）2﹣（n+b）2
（3）x2﹣（a+b﹣c）2 （4）﹣16x4+81y4
知识点一：逆用完全平方公式分解因式：
因式分解的完全平方公式内容：
。
可以用完全平方式分解的式子特点与结果：
①式子特点：多项式是 ，且其中两项的绝对值可以写成 的形
式且这两项符号 ，第三项是平方两项底数乘积的 倍。
②结果：等于 的平方（第三项与平方两项符号相同时）或 的平方（第三项与平方两项符号不同时）。
特别说明：若平方两项是负的，则需要在整体前面加负号。
【类型一：判断多项式能否用完全平方公式分解】
15．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．4x2﹣1B．4x2+4x﹣1C．x2﹣x y+y2D．x2﹣x+
16．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1B．x2+2x+4C．x2﹣2x+1D．x2+x+1
17．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②a2+ab+b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【类型二：利用平方差公式分解因式】
18．把下列各式进行因式分解：
（1）a2+8a+16； （2）m2﹣m+
（3）25m2+30mm+9n2； （4）4x2﹣12xy+9y2．
19．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣12xy+36y2； （2）16a4+24a2b2+9b4；
（3）﹣2xy﹣x2﹣y2； （4）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
知识点一：十字相乘法分解二次三项式：
1. 对于一个二次三项式，若存在，，且，那么二次三项式可以分解为：
举例说明：
。∴
2. 对于初中所用的十字相乘法，二次项系数都是等于1的，即。若存在有
，且，则可分解为：
举例说明：
∵且
∴
【类型一：利用十字相乘法分解因式】
20．十字相乘法分解因式：
（1）x2+3x+2 （2）x2﹣3x+2 （3）x2+2x﹣3
x2﹣2x﹣3 （5）x2+5x+6 （6）x2﹣5x﹣6
x2+x﹣6 （8）x2﹣x﹣6 （9）x2﹣5x﹣36
（10）x2+3x﹣18
知识点一：因式分解综合：
因式分解具体步骤：
第一步：观察式子是否有公因式可提。若有公因式，则先用公因式进行因式分解。
第二步：观察式子项数：
①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分解，若不具有则不能分解。
②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平方公式分解。若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解。
注意：在进行因式分解时一定要分解完全。即分解到不能再用任何方法分解为止。
分组分解法：
分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分
组后能出现 ，二是分组后能应用 。
举例说明：
①
②
实数范围内分解因式：
一些式子在有理数范围内无法分解，但是可以分解到实数范围，用无理数表示。
【类型一：因式分解】
21．把下列各式进行因式分解：
（1）a3﹣6a2+5a； （2）（x2+x）2﹣（x+1）2； （3）4x2﹣16xy+16y2．
22．因式分解：
（1）x2﹣x﹣6； （2）﹣3ma2+12ma﹣12m．
【类型二：分组因式分解】
23．教你一招：把a2+2ab+b2﹣c2因式分解．
解：原式＝（a2+2ab+b2）﹣c2
＝（a+b）2﹣c2
＝（a+b+c）（a+b﹣c）
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
①x2+4xy+4y2﹣a2；
②1﹣a2+2ab﹣b2；
③a2﹣2ab+b2﹣m2﹣6mn﹣9n2．
24．先阅读下列材料，然后回答后面问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：
ax+ay+bx+by
＝（ax+ay）+（bx+by）
＝a（x+y）+b（x+y）
＝（x+y）（a+b）
如“3+1”分法：
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；
（2）分解因式：45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2；
（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．
25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【类型三：在实数范围内分解因式】
26．在实数范围内分解下列因式：
（1）y4﹣6y2+5； （2）x2﹣11；
（3）a2﹣2a+3； （4）5x2﹣2．
【类型四：因式分解的应用】
27．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱定西B．爱定西C．我爱学D．定西数学
28．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，a2+b2≠c2，是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
29．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣b c﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若a＝2011，b＝2012，c＝2013，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
30．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．