2024-2025学年江苏省南通市八年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市八年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析），共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下列各组线段长为边能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．2，4，6C．4，6，8D．5，6，12
2．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠A'B'C'度数是（ ）
A．72°B．60°C．50°D．58°
6．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（CM＝CN），过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
7．（3分）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
8．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．AC∥FD
9．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则BC的长是（ ）
A．6B．4C．3D．2
10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B
点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．26°B．36°C．38°D．40°
11．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72°B．65°C．50°D．36°
12．（3分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中结论正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠ACD＝ ．
15．（3分）如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为 ．
16．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是8和3，则此等腰三角形的周长是 ．
17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积等于 ．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共66分）
19．（6分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周长．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度数．
22．（6分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADE．
23．（6分）已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC∥DF，∠B＝∠DEF，BE＝CF．求证：AB＝DE．
24．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，通过画图直接画出点P．
25．（8分）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．
下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，…
求证：…
26．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为底边AB上一点，延长DC至点E，连接BE，且∠ACD＝∠CBE，试判断△BDE的形状，并证明．
27．（12分）已知△ABC在平面直角坐标系内的位置如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，OA、OC的长满足关系式（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0．
（1）求OA、OC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1．（3分）以下列各组线段长为边能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．2，4，6C．4，6，8D．5，6，12
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
解：A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、2+4＝6，不能组成三角形；
C、4+6＞8，能组成三角形
D、5+6＜12，不能够组成三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
2．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
解：A、图形具有稳定性，符合题意；
B、图形不具有稳定性，不符合题意；
C、图形不具有稳定性，不符合题意；
D、图形不具有稳定性，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
3．（3分）如图标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
4．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：A、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；
B、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；
C、图形中，线段BE是△ABC的高，符合题意；
D、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠A'B'C'度数是（ ）
A．72°B．60°C．50°D．58°
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是a、c边的夹角，然后写出即可．
解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是50°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．
6．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（CM＝CN），过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】由“SSS”可证△OCM≌△OCN，可得∠MOC＝∠NOC，即OC即是∠AOB的平分线．
证明：∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS）
∴∠MOC＝∠NOC，
∴OC即是∠AOB的平分线．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△OCM≌△OCN是本题的关键．
7．（3分）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；
当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则BC的长是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，
∴BC＝2AB＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B
点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．26°B．36°C．38°D．40°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据折叠的性质求出∠CB′D，根据四边形内角和等于360°求出∠BDB′，再根据邻补角的概念计算即可．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
则∠B＝90°﹣∠A＝64°，
由折叠的性质可知：∠CB′D＝∠B＝64°，
∴∠BDB′＝360°﹣90°﹣64°×2＝142°，
∴∠ADB′＝180°﹣∠BDB′＝38°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻转变换，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．
11．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72°B．65°C．50°D．36°
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中结论正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】由∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．可得CD＝DE，继而可得∠ADC＝∠ADE，又由角平分线的性质，证得AE＝AD，由等角的余角相等，可证得∠BDE＝∠BAC，由三角形的面积公式，可证得S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED，①正确；
在Rt△ADE和Rt△ADC中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴∠ADE＝∠ADC，AE＝AC，
即AD平分∠CDE，③正确；
∵AE＝AC，
∴AB＝AE+BE＝AC+BE，②正确；
∵∠BDE+∠B＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，④正确；
∵S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•CD，
∵CD＝ED，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，⑤正确．
结论正确的个数有5个，
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及三角形的面积问题．熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 12：51 ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．
故12：51．
【点评】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠ACD＝ 130° ．
【分析】由∠ACD是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠ACD的度数．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝70°+60°＝130°．
故130°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
15．（3分）如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为 6 ．
【分析】根据正多边形的外角和为360°，即可求解．
解：∵正多边形的一个外角为60°，
∴此正多边形的每个外角都为60°，
∵正多边形的外角和为360°，
∴它的边数为：360°÷60°＝6，
故6．
【点评】本题考查了正多边形外角的性质，熟练掌握和运用正多边形外角的性质是解决本题的关键．
16．（3分）已知等腰三角形的两条边长分别是8和3，则此等腰三角形的周长是 19 ．
【分析】将8和3分别作为腰分类讨论即可．
解：当8为腰时，三边为：8，8，3，
则周长为8+8+3＝19，
当3为腰时，三边为：8，3，3，
根据三角形三边关系：3+3＜8，
故不能构成三角形．
故19．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，相关知识点有：三角形三边关系，准确分类讨论是解题关键．
17．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积等于 12 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质，即可求得DE的长，继而求得三角形面积．
解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3，
∵AB＝8，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×3＝12．
故12．
【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE＝CD是解此题的关键．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的长为 6cm或12cm ．
【分析】分为两种情况，根据全等三角形的性质得出即可．
解：有两种情况：
①根据全等三角形的性质得出AP＝BC＝6cm，②根据全等三角形的性质得出AP＝AC＝12cm，
故6cm或12cm．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
三、解答题（本大题共9小题，共66分）
19．（6分）已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的3倍，则内角和是3×360＝1080度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°＝360°×3，
解得n＝8．
∴此多边形的边数为8．
【点评】根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周长．
【分析】（1）依据垂直平分线的尺规作图方法，即可得到DE；
（2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到AE＝BE，进而得出△ACE的周长＝AC+BC，依据AC＝6cm，CB＝8cm，即可得到△ACE的周长．
解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，
又∵AC＝6cm，CB＝8cm，
∴△ACE的周长＝6+8＝14（cm）．
【点评】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度数．
【分析】先由三角形内角与外角的关系可求∠DBC，再根据三角形的内角和可求∠A，最后由直角三角形AEC可求∠ACE．
解：∵∠ADB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝97°﹣60°＝37°．
∵BD是角平分线，
∴∠ABC＝74°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝46°．
∵CE是高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝44°．
【点评】本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系，利用此可计算其它角的度数，是一道基础题．
22．（6分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADE．
【分析】已知∠1＝∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE＝∠BAC，已知AB＝AD，AC＝AE，从而可以利用SAS来判定△ABC≌△ADE．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：SSS，SAS，AAS，HL等，做题时注意灵活运用．
23．（6分）已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC∥DF，∠B＝∠DEF，BE＝CF．求证：AB＝DE．
【分析】根据AC∥DF，结合平行线的性质，得到∠ACB＝∠F，根据BE＝CF，得到BC＝EF，再结合∠B＝∠DEF，得到△ABC≌△DEF，从而根据全等三角形的性质，即可得到正确答案．
证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即 BC＝EF，
在△ABC和△DEF中：
∠B＝∠DEF，
BC＝EF，
∠ACB＝∠F，
∴△ABC≌△DEF （ASA），
∴AB＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，通过画图直接画出点P．
【分析】（1）根据A，B，C的坐标，作出△ABC，再利用轴对称变换的性质作出△A1B1C1；
（2）三角形的面积＝矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接BA1交x轴于点P，连接AP即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（3，﹣4）；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝3.5；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短问题等知识，解题关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
25．（8分）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．
下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，…
求证：…
【分析】由AAS判定△POM≌△PON（AAS），即可证明PM＝ON．
解：已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
求证：PM＝PN．
证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠PMO＝∠PNO，
在△POM和△PON中，
，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴PM＝PN．
【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定△POM≌△PON（AAS）．
26．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D为底边AB上一点，延长DC至点E，连接BE，且∠ACD＝∠CBE，试判断△BDE的形状，并证明．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角性质推出∠EDB＝∠EBD，根据等腰三角形的判定定理即可得解．
解：△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠EDB＝∠A+∠ACD，∠EBD＝∠ABC+∠CBE，∠ACD＝∠CBE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
27．（12分）已知△ABC在平面直角坐标系内的位置如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，OA、OC的长满足关系式（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0．
（1）求OA、OC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负性得出OA＝4，OC＝3即可；
（2）作BD上x轴于点D，根据AAS证明△AOC≌△CDB，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质解答即可．
解：（1）由（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0，可知，OA﹣4＝0，OC﹣3＝0，
∴OA＝4，OC＝3，
（2）作BD上x轴于点D，
∵∠OCA+∠ACB+∠BCD＝180°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ACO＝∠CBD，
∵AC＝BC，
在△AOC与△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴BD＝OC＝3，CD＝OA＝4，
∴OD＝OC+CD＝3+4＝7，
∴B（7，3）；
（3）存在，
①当点P在x轴的负半轴时，使AP＝AC，则△ACP为等腰三角形，P的坐标为（﹣3，0）；
②当点P在x轴的负半轴时，使CP＝AC，由勾股定理得，CP＝AC＝5，则△ACP为等腰三角形，P的坐标为（﹣2，0）；
③当点P在x轴的正半轴时，使AC＝CP，则△ACP为等腰三角形，CP＝AC＝5∴OP＝OC+CP＝3+5＝8，∴P（8，0）；
所以存在以AC为腰的等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】此题考查三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及坐标的特点解答．
2024-2025学年江苏省南通市八年级上学期期中数学检测试卷（二）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
1．（3分）微信已成为人们的重要交流平台，以下微信表情中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＜0C．x≤2D．x≥2
3．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5B．，3，4C．6，8，10D．1，，3
4．（3分）如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（ ）仍不能证明△DEC≌△ABC
A．∠DEC＝∠BB．∠ACD＝∠BCEC．CE＝CBD．DE＝AB
5．（3分）等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
7．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝70°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
8．（3分）如图，已知△ABC的面积为48，AB＝AC＝6，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝3DE，则DF长为（ ）
A．12B．10C．6D．8
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）16的平方根是 ．
10．（3分）近似数6.17万精确到 位．
11．（3分）比较大小： 3.9（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
13．（3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，若AC＝AD＝DB，且∠C＝50°，则∠BAC＝ ．
14．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝3，点Q是射线OM上一个动点，若PQ＝m，则m的取值范围是 ．
15．（3分）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC＝ 尺．
16．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
17．（3分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．则△ABC的面积为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝68°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ABE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE＝ ．
三、解答题（本大题有10小题，96分，解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）解方程：
（1）4x2＝16；
（2）（x﹣2）3﹣8＝0．
21．（8分）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
22．（8分）如图所示，BE，CF是△ABC的高，D是BC边的中点，求证：DE＝DF．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四边形ABCD的面积．
24．（10分）（1）已知正数5a﹣1的平方根分别是﹣2和2，b﹣9的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一个正数x的两个平方根分别是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
25．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1（点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1）；
（2）在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）直接写出△A1BC的面积为 ．
26．（10分）寻求某些股数的规律．
（1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42＝52，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是62+82＝102和92+122＝152，…若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大若把它扩大n倍（n为正整数），就得到 ；
（2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为32＝52﹣42；
若勾股数为5，12，13，则有52＝12+13；
①若勾股数为7，24，25，则有 ；
②若勾股数为17，a，b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值．
27．（12分）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°．
（1）如图①，当∠B＝90°时，求证：CB＝CD；
（2）如图②，当∠B＜90°时，
①求证：CB＝CD；
②若AB＝13cm，AD＝6cm，∠B＝45°，则点C到AB的距离是 cm．
28．（12分）我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线CD为△ABC的“美丽线”．
（1）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，请利用直尺和量角器在图2中画出△ABC的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在△ABC中，∠A＝α，∠B＝β（α≤β）．若△ABC存在过点C的“美丽线”，试探究α与β的关系．下面是对这个问题的部分探究过程：
设CD为△ABC的“美丽线”，点D在边AB上，则△ACD与△BCD中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当∠ACD＝∠ADC时，因为∠A＝α，所以∠ADC＝ ，且∠ADC为锐角，则∠CDB为钝角，所以在△CDB 中，∠DCB＝∠B＝β．由此可以得到α与β的关系为 ，其中α的取值范围为 ．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出α与β的关系．
2023-2024学年江苏省宿迁市八年级（上）期中数学试卷
答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置）
1．（3分）微信已成为人们的重要交流平台，以下微信表情中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
解：根据轴对称图形的定义，选项A，B，C都是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x＜0C．x≤2D．x≥2
【分析】由二次根式的性质可以得到x﹣2≥0，由此即可求解．
解：依题意得
x﹣2≥0，
∴x≥2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
3．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5B．，3，4C．6，8，10D．1，，3
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
解：A．因为32+42＝52，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
B．因为，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
C．因为62+82＝102，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
D．因为，所以不能作为直角三角形三边长度，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键．
4．（3分）如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（ ）仍不能证明△DEC≌△ABC
A．∠DEC＝∠BB．∠ACD＝∠BCEC．CE＝CBD．DE＝AB
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．∠DEC＝∠B，∠D＝∠A，CD＝CA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
B．∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
条件∠DCE＝∠ACB，CD＝CA，∠D＝∠A，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．CE＝CB，CD＝CA，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
D．DE＝AB，∠D＝∠A，CD＝CA，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
5．（3分）等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
6．（3分）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，A′B′经过点A，∠BAC＝70°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】根据全等三角形的和等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′＝∠BAC＝70°，AC＝A′C，
∴∠A′AC＝∠A′＝70°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠A′﹣∠A′AC＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8．（3分）如图，已知△ABC的面积为48，AB＝AC＝6，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝3DE，则DF长为（ ）
A．12B．10C．6D．8
【分析】连接AD，过点C作CG⊥AB，垂足为G，根据三角形的面积可得CG＝12，然后根据△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积，可得DE+DF＝12，再根据已知DF＝2DE，进行计算即可解答．
解：连接AD，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵△ABC的面积为48，AB＝AC＝6，
∴AB•CG＝48，
∴CG＝16，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积，
∴AB•DE+AC•DF＝AB•CG，
∴DE+DF＝16，
∵DF＝3DE，
∴DF＝12，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4，
故±4．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
10．（3分）近似数6.17万精确到 百 位．
【分析】看最后一个数字7所在位数即可．
解：近似数6.17万中的最后一位数字7位于百位，故该数精确到百位，
故百．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，确定最后一个数字所在的数位．
11．（3分）比较大小： ＜ 3.9（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】通过无理数的估算方法先求出，则，由此可得答案．
解：∵16＜17＜24.01，
∴，
∴，
故＜．
【点评】本题主要考查了实数比较大小，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
12．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
解：∵半径，
∴点A表示的数为，
故．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的正半轴上．
13．（3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，若AC＝AD＝DB，且∠C＝50°，则∠BAC＝ 105° ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝50°，再根据三角形外角的性质和等腰三角形可求∠B的度数，再利用三角形内角和定理即可求解．
解：∵AC＝AD，∠C＝50°，
∴∠ADC＝∠C＝50°，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∴．
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故105°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝3，点Q是射线OM上一个动点，若PQ＝m，则m的取值范围是 m≥3 ．
【分析】过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PE＝PA，即可求出答案．
解：如图，过P作PE⊥OM于E，当Q和E重合时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PE＝PA＝3，
即PQ的最小值是3，
∴m≥3．
故m≥3．
【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．（3分）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC＝ 4 尺．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2．
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故4．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
16．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长＝3+6+6＝15．
故15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
17．（3分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．则△ABC的面积为 24或84 ．
【分析】分两种情况：三角形ABC为锐角三角形；三角形ABC为钝角三角形，根据AD垂直于BC，利用垂直的定义得到三角形ABD与三角形ADC为直角三角形，利用勾股定理分别求出BD与DC，由BD+DC＝BC或BD﹣DC＝BC求出BC，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解：分两种情况考虑：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，
根据勾股定理得：BD＝＝9，
在Rt△ADC中，AC＝13，AD＝12，
根据勾股定理得：DC＝＝5，
∴BC＝BD+DC＝9+5＝14，
则S△ABC＝BC•AD＝84；
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，
根据勾股定理得：BD＝＝9，
在Rt△ADC中，AC＝13，AD＝12，
根据勾股定理得：DC＝＝5，
∴BC＝BD﹣DC＝9﹣5＝4，
则S△ABC＝BC•AD＝24．
综上，△ABC的面积为24或84．
故24或84．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积等知识点的理解和掌握．解答此题的关键是利用勾股定理分别求出BD和DC的长，此题属于基础题，要求学生熟练掌握．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝68°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ABE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE＝ 113°或23° ．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，分当A′在AC上方，A′E∥BC时，当A′在AC下方，A′E∥BC时，两种情况，先利用平行线的性质得到∠A′EA＝90°，再由折叠的性质求出∠AED的度数，再根据三角形内角和定理可得答案．
解：如图，当A′在AC上方，A′E∥BC时，
∴∠A′EA＝∠C＝90°，
∵∠ABC＝68°，
∴∠A＝90°﹣68°＝22°，
由翻折可知：，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣22°﹣45°＝113°．
如图，当A′在AC下方，A′E∥BC时，
∴∠A′EC＝∠C＝90°，
∴∠A′EA＝90°
由翻折可知：，
∴∠ADE＝180°﹣135°﹣22°＝23°．
故113°或23°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（本大题有10小题，96分，解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据算术平方根与立方根进行计算即可求解；
（2）根据算术平方根，立方根与零指数幂进行计算即可求解．
解：（1）原式＝2+3+3
＝8；
（2）原式＝2×（﹣9）+1
＝﹣18+1
＝﹣17．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的法则是解题的关键．
20．（8分）解方程：
（1）4x2＝16；
（2）（x﹣2）3﹣8＝0．
【分析】（1）先方程两边同时除以4，再根据（±）2＝4即可得到答案；
（2）先两边同时加上8，再根据23＝8即可得到答案．
解：（1）∵4x2＝16，
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）∵（x﹣2）3﹣8＝0，
∴（x﹣2）3＝8，
∴x﹣2＝2，
∴x＝4．
【点评】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
【分析】此题只要先证明△ADF≌△BCE即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考．
证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△CBE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE＝BF通过等量加等量和相等得DF＝BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
22．（8分）如图所示，BE，CF是△ABC的高，D是BC边的中点，求证：DE＝DF．
【分析】根据垂直定义可得∠BEC＝∠CFB＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质可得ED＝BC，FD＝BC，从而利用等量代换即可解答．
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BEC＝∠CFB＝90°，
∵D是BC边的中点，
∴ED＝BC，FD＝BC，
∴DE＝DF．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四边形ABCD的面积．
【分析】根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△BCD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相减即为四边形ABCD的面积．
解：∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102，
∴BD＝10，
在△BCD中，
∵DC2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣×6×8＝96（cm2）．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理等逆定理等知识，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．
24．（10分）（1）已知正数5a﹣1的平方根分别是﹣2和2，b﹣9的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一个正数x的两个平方根分别是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
【分析】（1）根据平方根的定义得到5a﹣1＝22，根据立方根的定义得到b﹣9＝23，解方程即可得到答案；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到﹣a+2+2a﹣1＝0，由此求出a＝﹣1，进而求出2a﹣1﹣3，则x＝（2a﹣1）2＝9．
解：（1）∵正数5a﹣1的平方根分别是﹣2和2，
∴5a﹣1＝22，
∴a＝1；
∵b﹣9的立方根是2，
∴b﹣9＝23，
∴b＝17；
（2）∵一个正数x的两个平方根分别是﹣a+2和2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0，
∴a＝﹣1，
∴2a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
【点评】本题主要考查了立方根和平方根，解题的关键在于熟知对于实数a、b，若满足a2＝b，那么a就叫做b的平方根，若满足a3＝b，那么a就叫做b的立方根．
25．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1（点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1）；
（2）在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）直接写出△A1BC的面积为 11 ．
【分析】（1）利用网格特点画出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）利用CA1交直线l于P，则PA＝PA1，则根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1BC的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作；
（3）△A1BC的面积为＝6×4﹣×6×2﹣×2×5﹣×1×4＝11．
故答案为11．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了两点之间线段最短．
26．（10分）寻求某些股数的规律．
（1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32+42＝52，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是62+82＝102和92+122＝152，…若把它扩大11倍，就得到 332+442＝552 ，若把它扩大若把它扩大n倍（n为正整数），就得到 （3n）2+（4n）2＝（5n）2； ；
（2）对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为32＝52﹣42；
若勾股数为5，12，13，则有52＝12+13；
①若勾股数为7，24，25，则有 72＝25+24；② ；
②若勾股数为17，a，b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值．
【分析】（1）先分别求出3，4，（5分）别扩大11倍和扩大n倍后的数，再根据勾股数的定义可得答案；
（2）①仿照题意可得答案；②根据题意找到规律（2n+1）2＝m+m+1，（2n﹣1）2＝（m+1）2﹣m2（m、n都为正整数），则172＝a+b，b＝a+1，据此求解即可．
解：（1）∵3，4，（5分）别扩大11倍得到33，44，55，
∴332+442＝552，
3，4，5别扩大11倍得到3n，4n，5n，
∴（3n）2+（4n）2＝（5n）2，
故332+442＝552，（3n）2+（4n）2＝（5n）2；
（2）解：①由题意得，72＝49＝25+24，
故72＝25+24；
②32＝52﹣42，32＝5+4，
52＝132﹣122，52＝12+13，
72＝252﹣242，72＝49＝25+24，
……，
以此类推，（2n+1）2＝m+m+1，（2n﹣1）2＝（m+1）2﹣m2（m、n都为正整数），
∴172＝a+b，b＝a+1，
∴172＝289＝2a+1，
∴a＝144，
∴b＝a+1＝145．
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
27．（12分）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．
已知：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°．
（1）如图①，当∠B＝90°时，求证：CB＝CD；
（2）如图②，当∠B＜90°时，
①求证：CB＝CD；
②若AB＝13cm，AD＝6cm，∠B＝45°，则点C到AB的距离是 3.5 cm．
【分析】（1）先证明∠B＝∠D＝90°，再由角平分线的性质即可证明结论；
（2）①过点C作CE⊥BA交于点E，过点C作CF⊥AD交于点F，先证明∠B＝∠FDC，再由角平分线的性质得到CF＝CE，通过证明△CDF≌△CBE，即可求解；②证明△ACF≌△ACE，可得AD+BE＝AB﹣BE，再由已知得到CE＝BE＝3.5cm，则点C到AB的距离是3.5cm．
（1）证明：∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CD＝BC；
（2）①证明：过点C作CE⊥BA交于点E，过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F，如图②，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠FDC＝180°，
∴∠B＝∠FDC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥BA，CF⊥AD
∴CF＝CE，
∵∠F＝∠CEB＝90°，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝BC；
②解：由①可知CF＝CE，∠F＝∠CEA＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAF＝∠CAE，
又∵AC＝AC，
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴AF＝AE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，即AD+BE＝AB﹣BE，
∵AB＝13cm，AD＝6cm，
∴BE＝3.5cm，
∵∠B＝45°，
∴∠BCE＝45°＝∠B，
∴CE＝BE＝3.5cm，
∴点C到AB的距离是3.5cm，
故3.5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定及性质，角平分线的性质是解题的关键．
28．（12分）我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线CD为△ABC的“美丽线”．
（1）如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，请利用直尺和量角器在图2中画出△ABC的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在△ABC中，∠A＝α，∠B＝β（α≤β）．若△ABC存在过点C的“美丽线”，试探究α与β的关系．下面是对这个问题的部分探究过程：
设CD为△ABC的“美丽线”，点D在边AB上，则△ACD与△BCD中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当∠ACD＝∠ADC时，因为∠A＝α，所以∠ADC＝ ，且∠ADC为锐角，则∠CDB为钝角，所以在△CDB 中，∠DCB＝∠B＝β．由此可以得到α与β的关系为 α＝180°﹣4β ，其中α的取值范围为 0°＜α≤36° ．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出α与β的关系．
【分析】（1）由“美丽线”的定义画出图形即可；
（2）【探究1】当∠ACD＝∠ADC时，由三角形内角和定理得∠ADC+∠ACD+∠A＝180°，则∠ADC＝，再由∠DCB＝∠B＝β以及三角形的外角性质得＝2β，则α＝180°﹣4β，其中0°＜α≤36°；
【探究2】分三种情况，①∠ACD＝∠A＝α，∠CDB＝∠B＝β时，②∠A＝∠ACD，∠BCD＝∠BDC时，③∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD时，分别由三角形的外角性质好三角形内角和定理即可得出结论．
解：（1）如图2，
AD即为△ABC的“美丽线”；
（2）【探究1】当∠ACD＝∠ADC时，
∵∠A＝α，∠ADC+∠ACD+∠A＝180°，
∴∠ADC＝，且∠ADC为锐角，则∠CDB为钝角，
在△CDB 中，∠DCB＝∠B＝β，
∵∠ADC＝∠DCB+∠B，
∴＝2β，
∴α＝180°﹣4β，其中α的取值范围为0°＜α≤36°，
故，α＝180°﹣4β，0°＜α≤36°；
【探究2】分情况讨论：
①如图4，当∠ACD＝∠A＝α，∠CDB＝∠B＝β时，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴β＝2α，其中α的取值范围为0°＜α＜45°；
②∠A＝∠ACD，∠BCD＝∠BDC时，
则∠BDC＝（180°﹣∠B）＝90°﹣β，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴90°﹣β＝2α，
整理得：4α+β＝180°；
③∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD时，
则∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣2β，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴180°﹣2β＝2α，
整理得：α+β＝90°；
综上所述，α与β的关系为：β＝2α或4α+β＝180°或α+β＝90°．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“美丽线”、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，理解新定义“美丽线”，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．