2025年山西省吕梁市中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年山西省吕梁市中考数学一模试卷附答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）−13的相反数是（ ）
A．13B．3C．−13D．﹣3
2．（3分）2024年上半年数据显示，北斗系统的全球服务用户总数已达15亿，日服务请求量高达4500亿次，数据4500亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×108B．4.500×108C．4.5×1011D．4.5×1012
3．（3分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）当a=2+1，b=2−1时，a3b﹣ab3的值为（ ）
A．1B．22C．42D．4
5．（3分）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（ ）
A．分析法B．相似法C．反证法D．等面积法
6．（3分）如图，点P是△ABC的重心，AB＝6，连接AP，BP并延长，分别交BC，AC于点D，E，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（3分）在反比例函数y=k+2x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜﹣2D．k＞﹣2
8．（3分）晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱，正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（ ）
A．23B．13C．59D．49
9．（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：2≈1.414）（ ）
A．20.3%B．25.2%C．29.3%D．50%
10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝1，以点B为圆心，BC的长为半径画弧与AC交于点D，则AD的长为（ ）
A．5+12B．5−12C．12D．23
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个能与12合并的实数： ．
12．（3分）若点P(12m+1，6−2m)在第四象限，则m的取值范围是 ．
13．（3分）如图，这是一次函数y＝kx+b的图象，则关于x的方程kx+b＝0的解是 ．
14．（3分）在手工课上，小明用半径为12cm、圆心角为120°的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为 cm．
15．（3分）如图，将AB沿矩形ABCD中过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点B'落在矩形的对角线BD上，AP与BD交于点O，连接PB'．若AB＝3，BC＝4，则BB'的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：|3−3|−(12)−2+2sin60°．
（2）解方程：1x2−3x+1x=0．
17．（7分）山西红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进A，B两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．A品牌红富士苹果的价格为38元/箱，B品牌红富士苹果的价格为30元/箱．若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进A品牌红富士苹果多少箱？
18．（10分）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
（1）在以上成绩统计表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
19．（7分）某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%．已知该企业去年的利润（利润＝总产值﹣总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出．
20．（7分）亭是我国最具代表性的传统建筑形式之一，我国汉代便有十里一亭，十亭一乡的建制．如图，某小区的一凉亭可看作由等腰三角形和矩形构成，其中AB＝AC，横梁BC的长为6m，数学小组的同学用自制的测角仪在点D处测量，发现凉亭顶端点A、檐角点C和点D正好在同一条直线上，此时测得檐角点C的仰角为30°，将测角仪往前移至点E处，测得檐角点C的仰角为60°，已知点E到AF的距离EF＝5m．求凉亭AF的高度（精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）．
21．（9分）阅读与思考
请阅读以下材料并完成相应的任务．
（1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母．
（2）任务二：请你完成引理结论的证明过程．
22．（12分）综合与实践
【主题】大棚苗木种植方案设计
【素材1】图1是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为18m、宽为1m的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面5m．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）．
【解决问题】
（1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量x的取值范围）．
（2）探究种植范围．在图2的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（y＞1.76），确定种植点的横坐标x的取值范围．
（3）拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
23．（13分）综合与探究
综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．
【初步研究】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在线段BC，CD上，且AM⊥BN，则AMBN的值为 ．
【知识迁移】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E，F，G，H分别在线段AB，CD，AD，BC上，且GH⊥EF，求GHEF的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝DC＝6，当BDAC=12时，请直接写出边AB的长．
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．【答案】A
【解答】解：−13的相反数是13，
故选：A．
2．【答案】C．
【解答】解：4500亿＝450000000000＝4.5×1011．
故选：C．
3．【答案】A
【解答】解：选项B、C、D的甲骨文均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项A的甲骨文能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．
故选：A．
4．【答案】C
【解答】解：∵a=2+1，b=2−1，
ab＝（2+1）（2−1）＝1，a+b=2+1+2−1＝22，a﹣b＝（2+1）﹣（2−1）＝2，
a3b﹣ab3
＝ab（a2﹣b2），
＝ab（a+b）（a﹣b），
当a=2+1，b=2−1时，
原式=1×22×2=42，
故选：C．
5．【答案】D
【解答】解：如图，
由题意得，c2−(b−a)2=4×12ab，
整理得a2+b2＝c2，
∴他所用的方法是等面积法，
故选：D．
6．【答案】B
【解答】解：由题知，
因为点P是△ABC的重心，
则AD，BE是△ABC的两条中线，
所以E点为AC的中点，D为BC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
又因为AB＝6，
所以DE=12AB=3，
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴k+2＞0，
解得k＞﹣2，
∴k的取值范围k＞﹣2，
故选：D．
8．【答案】D
【解答】解：1名男性角色记为A，2名女性角色分别记为B、C，
画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中B、B；B、C；C、B；C、C四种结果为女性，
∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为49．
故选：D．
9．【答案】C
【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x，
（1﹣x）2=12，
解得x1=2−22，x2=2+22（不合题意，舍去），
∵2−22≈0.293，
∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%．
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：设AD的长为x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x．
∵∠A＝36°，AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB＝72°．
由作图可知，BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝72°．
∵∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠A，
∴BD＝AD＝BC＝x，
∵∠C＝∠C．∠CBD＝∠A．
∴△ABC∽△BDC，
∴ABBD=BCCD，
即1x=x1−x，
∴AD=x=5−12（负值已舍去）．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】3（答案不唯一）．
【解答】解：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式才能合并．
∵12=23，
∴能与12合并的实数可以为3，
故答案为：3（答案不唯一）．
12．【答案】m＞3．
【解答】解：∵点P(12m+1，6−2m)在第四象限，第四象限内的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴12m+1＞06−2m＜0，
解得：m＞3，
即m的取值范围是m＞3．
故答案为：m＞3．
13．【答案】x＝﹣2．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
14．【答案】82．
【解答】解：由题知，
因为扇形的圆心角为120°，且半径为12cm，
所以扇形的弧长为：120⋅π⋅12180=8π（cm）．
令圆锥底面圆的半径为r cm，
则2πr＝8π，
解得r＝4（cm），
则圆锥的高为：122−42=82（cm）．
故答案为：82．
15．【答案】185．
【解答】解：由题意可得：BD=AB2+AD2=5，
由折叠的性质可知BB′⊥AP，BB′＝2OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BAP+∠ABD＝∠BDA+∠ABD．
∴∠BAP＝∠ADB，
∵sin∠BAP=OBAB，sin∠ADB=ABBD，
∴OBAB=ABBD，即OB3=35，
∴OB=95，
∴BB′=2OB=185．
故答案为：185．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤）
16．【答案】（1）﹣1；（2）x＝2．
【解答】解：（1）|3−3|−(12)−2+2sin60°
=3−3−4+2×32
=3−3−4+3
＝﹣1．
（2）1x2−3x+1x=0，
去分母，得：1+（x﹣3）＝0．
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x2﹣3x≠0．
∴x＝2是原方程的解．
17．【答案】30箱．
【解答】解：设购进A品牌红富士苹果m箱，
∴38m+30（50﹣m）≤1740．
解得m≤30．
答：最多可购进A品牌红富士苹果30箱．
18．【答案】（1）6；7；7；
（2）小明是甲组的学生，理由见解析；
（3）选乙组参加决赛，理由见解析．
【解答】解：（1）∵甲组数据从小到大排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，
∴中位数a=6+62=66；
∵乙组数据从小到大排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
∴平均数b=110×(5+6+6+6+7+7+7+7+9+10)=7，
∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，
∴众数c＝7．
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
所以在小组中属中游略偏上，
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
S乙2=110[(5−7)2+3×(6−7)2+4×(7−7)2+(9−7)2+(10−7)2]=2，
∵甲、乙两组学生平均数相同，而S甲2=2.6＞S乙2=2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
19．【答案】去年的总产值为600万元，总支出为400万元．
【解答】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为（1+20%）x万元，总支出为（1﹣20%）y万元，
根据题意得，x−y=200(1+20%)x−(1−20%)y=200×2，
解得x=600y=400，
所以去年的总产值为600万元，总支出为400万元，
答：去年的总产值为600万元，总支出为400万元．
20．【答案】5.2米．
【解答】解：如图，设AF与BC的交点为H，过点C作CG⊥DF于点G，
∵四边形CGFH是矩形，
∴AH⊥BC，CH＝FG，HF＝CG，
∵△ABC为等腰三角形，
∴CH=BH=12BC=3(m)，
由题意可知，BC∥DF，
∴∠ACB＝∠CDE＝30°，
AH=CH⋅tan30°=3×33=3≈1.73(m)，
∵EF＝5m，
∴GE＝EF﹣FG＝EF﹣CH＝5﹣3＝2（m），
CG=GE⋅tan60°=2×3≈3.46(m)，
∴HF＝CG＝3.46m，
∴AF＝AH+HF＝1.73+3.46＝5.19≈5.2（m）．
答：高度约为5.2米．
21．【答案】（1）图见解析；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵DE垂直且平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD．
∴∠BCD＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠DAC＝∠BFD．
∵AD＝DF，
∴CD＝DF，∠ABD＝∠DBF，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴BC＝BF．
22．【答案】（1）y=−481x2+5；
（2）﹣8.1＜x＜8.1；
（3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为16棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为﹣7.5．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为点A（0，5），
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+5．
把点B（9，1）代入可得81a+5＝1，
解得：a=−481，
∴y=−481x2+5；
（2）∵种植苗木时，每棵苗木高1.76m，
∴当−481x2+5=1.76时．
解得：x1＝﹣8.1，x2＝8.1．
∵苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，
∴﹣8.1＜x＜8.1．
（3）∵种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，
∴在距离y轴0.5m的两侧开始种植，最前排可种植8×2＝16（棵），
则最左边一棵苗木种植点的横坐标为﹣0.5﹣7＝﹣7.5．
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为16棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为﹣7.5．
23．【答案】（1）1；（2）GHEF=mn；（3）AB=12−63或12+63
【解答】解：（1）∵四边形正方形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠BAM+∠AMB＝90°，
∵AM⊥BN，
∴∠AMB+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴AM＝BN；
∴AMBN=1，
故答案为：1；
（2）作EM⊥DC于点M，作GN⊥BC于点N，记GN、EF的交点为K，
则EM∥AD∥BC，GN∥AB∥DC，
∴EM⊥GN，EM＝AD＝BC，GN＝AB＝DC，
又∵EF⊥HG，∠GKF＝∠EKN，
∴∠HGN＝∠MEF，
∴Rt△EMF∽Rt△GNH，
∴GHEF=GNEM=ABBC，
即GHEF=mn；
（3）当CB＜AB时，如图，过B作AD的平行线交DC的延长线于S，过A作AR⊥SB于R，
∴∠S＝∠ADC＝90°＝∠R，
∴四边形ARSD为矩形，
∴AR＝SD，
∵CB＝CD＝6，AC＝AC，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴AB＝AD，
∴AC⊥BD，
同（2）可得：△DBS∽△ACD，
∴BSCD=BDAC=12，
∴BS＝3，cs∠CBS=BSBC=12，CS=62−32=33，
∴∠CBS＝60°，AR=DS=6+33，
∵∠CBS+∠ABR＝90°＝∠ABR+∠BAR，
∴∠BAR＝∠CBS＝60°，
∴AB=ARcs60°=2×(6+33)=12+63；
如图，当CB＞AB时，过D作BC的平行线交BA的延长线于T，过C作CH⊥TD于H，
同理可得：AB＝AD，四边形TBCH为矩形，TD=12AD=12AB，∠ADT＝60°＝∠DCH，
∴CH=12CD=3=BT，
设AB＝AD＝x，则AT=32x，DT=12x，
∴x+32x=3，
解得AB=x=12−63；
综上：AB为12−63或12+63．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/24 19:26:30；用户：陈庄镇中学；邮箱：[email protected]；学号：62602464组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
s乙2
伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下：
①如图，已知AB，C是弦AB上一点，作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D，AC于点E，连接AD，CD．
②以点D为圆心，DA的长为半径作弧，交AB于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
引理的结论：BC＝BF．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C．
A
C
D
B
D
D
C
B