2025年山东省济南市中考数学模拟试卷附答案

这是一份2025年山东省济南市中考数学模拟试卷附答案，共26页。试卷主要包含了−12的相反数是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．−12的相反数是（ ）
A．2B．12C．12或−12D．﹣2
2．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.47×105B．4.7×104C．4.7×103D．47×103
4．如果一个正多边形的每个外角都等于40°，那么它是（ ）边形．
A．七B．八C．九D．十
5．如图，已知△ABC≌△CDA，∠B＝120°，∠CAD＝35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．下列运算正确的是（ ）
A．（ab）2＝a2b2B．a3+a2＝a5
C．a3•a2＝a6D．2（a﹣b）＝2a﹣b
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≤1C．k＜1且k≠0D．k≤1且k≠0
8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A．18B．16C．13D．12
9．已知在正方形ABCD中，AB长为6，分别以A，B为圆心，以大于AB长度的一半为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，交CD于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点F、G，那么四边形AFGB的面积为（ ）
A．18B．272C．458D．452
10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
二．填空题（共5小题）
11．若分式x+2x−1的值为0，则x的值为 ．
12．如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ．
13．如图，直线m∥n，一块∠B＝60°的直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1＝70°，则∠2的度数为 ．
14．中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发 小时后与轿车相遇．
15．如图，在矩形ABCD中的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使得C恰好落在AD边上点F处，在AF上取一点G，使得AG＝DF，连接BG并延长交直线EF于点H，当△BHE为等腰三角形时，则GFAD的值为 ．
三．解答题（共10小题）
16．计算：−12025+(π−3.14)0+(−13)−2+2sin45°+|2−2|．
17．解不等式组：3(x+1)≥x−1x+152＞3x，并写出它的所有正整数解．
18．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）连接AC，若AB＝2，AE⊥AB，求AC的长．
19．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BE=13AB，试管倾斜角α为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度．
（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18）
20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若BF=2，sin∠AFE=45，求BC的长．
21．学校为调查学生对疫情防控知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图，其中“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的圆心角为 ；
（3）抽取的样本中学生成绩的中位数为 分；
（4）成绩在“80～100”的为优秀等次，估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有多少人？
22．为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如表：
（1）《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？
（2）若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
23．如图1，反比例函数y=mx(m≠0)与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、D(1，a+22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
25．平行线是研究三角形相似的基本工具．
【初步尝试】
（1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，BDDC=12，在AB边上求作点E，使DEAC=13．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）
【深入研究】
（2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，BDCD=B′D′C′D′，求证△ABC∽△A′B′C′．
【应用拓展】
（3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3．
①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．）
②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 ．
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】B．
【解答】解：−12的相反数是12．
故选：B．
2．【答案】A
【解答】解：从正面看，可得它的主视图是．
故选：A．
3．【答案】B
【解答】解：47000＝4.7×104．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：
40n＝360，
解得：n＝9，
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∠CAD＝35°
∴∠ACB＝∠CAD＝35°
∵∠B＝120°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°．
故选：A．
6．【答案】A
【解答】解：∵（ab）2＝a2b2，
选项A符合题意；
∵a3+a2≠a5，
选项B不符合题意；
∵a3•a2＝a5≠a6，
选项C不符合题意；
∵2（a﹣b）＝2a﹣2b≠2a﹣b，
选项D不符合题意；
故选：A．
7．【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，
解得k≤1且k≠0，
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）=212=16，
故选：B．
9．【答案】B
【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于点H．则四边形CDFH是矩形，设AE交BF于点J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠ADE＝90°，
由作图可知MN垂直平分AB，FG垂直平分线段AE，
∴MN是正方形ABCD的对称轴，
∴DE＝EC＝3，
在Rt△ADE中，AE=DE2+AD2=32+62=35，
∴AJ＝JE=352，
∵cs∠DAE=AJAF=ADAE，
∴352AF=635，
∴AF=154，
∵∠DAE+∠AFJ＝90°，∠HFG+∠AFJ＝90°，
∴∠DAE＝∠HFG，
∵∠ADE＝∠FHG＝90°，FH＝CD＝AD，
∴△ADE≌△FHG（ASA），
∴DE＝GH＝3，
∵AF＝BH=154，
∴BG＝BH＝GH=154−3=34，
∴四边形AFGB的面积=12×（154+34）×6=272．
故选：B．
10．【答案】D
【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时，y＝12，即AD＝12，故B正确，不符合题意；
∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确，不符合题意；
当x＝15时，点P在BD中点处，如图，
此时y＝S△ADP＝S△ABD，
作BH⊥AD，
∵AB＝BD＝10，
∴AH＝DH＝6，
∴BH=AB2−AH2=8，
∴S△ABD=12×12×8＝48，
∴y=12×48＝24，故D错误，符合题意．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【答案】﹣2．
【解答】解：由条件可知x+2=0x−1≠0，
解得x=−2x≠1，
∴x的值为﹣2，
故答案为：﹣2．
12．【答案】14．
【解答】解：这只青蛙跳入阴影部分的概率=1222=14．
故答案为：14．
13．【答案】40°．
【解答】解：如图：
∵m∥n，
∴∠3＝∠1＝70°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝110°，
∴∠5＝180°﹣∠A﹣∠4＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
∴∠2＝∠5＝40°．
14．【答案】1.8．
【解答】解：设线段OM的函数关系式为y1＝k1x（k1为常数，且k1≠0）．
将坐标M（4，240）代入y1＝k1x，
得4k1＝240，
解得k1＝60，
∴y1＝60x（0≤x≤4）；
设线段AN的函数关系式为y2＝k2x+b（k2、b为常数，且k2、b≠0）．
将坐标B（1.5，75）和N（3，240）代入y2＝k2x+b，
得1.5k2+b=753k2+b=240，
解得k2=110b=−90，
∴y2＝110x﹣90，
当y2＝0时，得110x﹣90＝0，解得x=911，
∴线段AN的函数关系式为y2＝110x﹣90（911≤x≤3）．
当两车相遇时，y1＝y2，得60x＝110x﹣90，解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇．
故答案为：1.8．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：分三种情况讨论：
①若△BHE为等腰三角形，且BE＝BH时，如图1，
∵△BEF是由△BEC折叠得到，
∴∠BFE＝∠BCD＝90°，∠CBE＝∠FBE，
∵BE＝BH，
∴∠HBF＝∠FBE，
∴∠CBE＝∠FBE＝∠HBE，
连接CF，
则，CF⊥BE，
∴∠DCF+∠BCF＝∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠DCF＝∠CBE，
又∵AG＝DF，AB＝CD，∠A＝∠D，
∴△ABG≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠FBE＝∠HBF＝∠ABH=14×90°＝22.5°，
∴∠GFM＝∠FBC＝2×22.5°＝45°，
过点G作GM⊥BF于点M，
∵∠EBH＝∠ABH，∠A＝90°，
∴GM＝AG，
又∵AG＝DF，
设AG＝DF＝GM＝a，GF＝b，
在RT△GMF中，∠GFM＝45°，
∴GF=2GM，
即b=2a，
∴AD＝AG+GF+FD＝a+b+a＝2a+2a＝（2+2）a，
∴GFAD=2a(2+2)a=12+1=2−1；
②若△BHE为等腰三角形，且HB＝HE时，如图2，
∵HB＝HE，
∴∠HBE＝∠HEB，
∵△BEF是由△BEC折叠得到，
∴∠HEB＝∠CEB，
∴∠HBE＝∠CEB，
∴BG∥CD，
与题意不符，
∴此种情况不可能；
③若△BHE为等腰三角形，且EB＝EH时，如图3，
∵EB＝EH，
∴∠H＝∠HBE，
∵△BEF是由△BEC折叠得到，
∴∠BFE＝∠BCD＝90°，BC＝BF，
∴∠H+∠HBF＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠HBE+∠ABG+∠CBE＝90°，
∴∠HBF＝∠ABG+∠CBE，
连接FC，
由①知∠FCD＝∠CBE＝∠ABG＝∠FBE，
设∠FCD＝∠CBE＝∠ABG＝∠FBE＝α，
∴∠HBF＝∠ABG+∠CBE＝2α，
∴∠ABG+∠HBF+∠FBE+∠CBE＝α+2α+α+α＝5α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠HBF＝2α＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠GFB＝∠FBC＝2α＝36°，
∴∠HBF＝∠GFB＝36°，
∴△GBF是黄金三角形，
∴GFBF=5−12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝BF，
∴GFAD=5−12，
故答案为：2−1或5−12．
三．解答题（共10小题）
16．【答案】11．
【解答】解：原式=−1+1+9+2×22+2−2
=−1+1+9+2+2−2
＝11．
17．【答案】﹣2≤x＜3，正整数解有：1、2．
【解答】解：3(x+1)≥x−1①x+152＞3x②，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
所有正整数解有：1、2．
18．【答案】（1）证明见解答；
（2）AC的长为2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DA，BC∥DA，
∴∠F＝∠DAE，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，
在△FCE和△ADE中，
∠F=∠DAE∠FEC=∠AEDCE=DE，
∴△FCE≌△ADE（AAS），
∴CF＝DA，
∴BC＝CF．
（2）解：∵AE⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∵BC＝CF＝AB＝2，
∴AC＝BC=12BF＝2，
∴AC的长为2．
19．【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm；
（2）线段DN的长度为21.8cm．
【解答】解：（1）过点E作EG⊥AC于点G，
∵AB＝30cm，BE=13AB，
∴BE＝10cm，AE＝20cm，
∵∠AEG＝α＝10°，
∴GE＝AE•csα＝20×cs10°≈19.6（cm），
∴CD＝GE＝19.6cm，
答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm；
（2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，
则BP＝BE•csα＝10×cs10°≈9.8（cm），
EP＝BE•sinα＝10×sin10°≈1.7（cm），
∵DE＝21.7cm，
∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.7＝20（cm），
∴BH＝20cm，
∵MN＝8cm，
∴QH＝8cm，
∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm），
∵∠ABM＝145°，
∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10﹣90°＝45°，
∴QM＝BQ＝12cm，
∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.8+12＝21.8（cm），
答：线段DN的长度为21.8cm．
20．【答案】（1）证明见解答；
（2）2452．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，
∵∠CAB＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠FOE，
又∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，
∴∠OEF＝∠ACB＝90°，
即OE⊥EF，
∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+2，
在Rt△EOF中，
∵sin∠AFE=45=OEOF=rr+2，
∴r＝42，
∴AB＝2r＝82，
在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，AB＝82，
∴AC=45×82=3252，
∴BC=AB2−AC2=2452．
21．【答案】（1）详见解答；
（2）64.8°；
（3）85.5；
（4）600人．
【解答】解：（1）8÷16%＝50（人），
50﹣3﹣8﹣9﹣12＝18（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（2）“70～80”这组的圆心角为：
950×360°=64.8°．
故答案为：64.8°；
（3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为：85+862=85.5（分），
因此中位数是85.5分．
故答案为：85.5；
（4）1000×12+1850=600（人），
答：估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有600人．
22．【答案】（1）每本《论语》的价格为20元，每本《弟子规》的价格为15元；
（2）当购买《论语》34本，《弟子规》66本时，总费用最少，最少总费用为1670元．
【解答】解：（1）设每本《论语》的价格为x元，每本《弟子规》的价格为y元，
依题意得：40x+30y=125050x+20y=1300，
解得：x=20y=15．
答：每本《论语》的价格为20元，每本《弟子规》的价格为15元．
（2）设购买《论语》m本，则购买《弟子规》（100﹣m）本，
依题意得：100﹣m≤2m，
解得：m≥1003．
设学校购买《论语》和《弟子规》的总费用为w元，则w＝20m+15（100﹣m）＝5m+1500．
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥1003且m为正整数，
∴当m＝34时，w取得最小值，最小值＝5×34+1500＝1670，此时100﹣m＝100﹣34＝66．
答：当购买《论语》34本，《弟子规》66本时，总费用最少，最少总费用为1670元．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数y=mx(m≠0)上，
∴m＝1×3＝n×1，
∴m＝3，n＝3，
∴反比例函数为y=3x，点B（3，1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
∴一次函数为：y＝﹣x+4；
（2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（0，4），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC=12×4×(3−1)=4；
（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，
设E（a，3a）（a＞1），
∵A（1，3），
∴AD＝a﹣1，DE＝3−3a，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠EAD+∠CAF＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CAF＝∠AED，
在△ACF和△EDA中，
∠CAF=∠AED∠ACF=∠EDA=90°AF=EA，
∴△ACF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3−3a，
∴F（3a−2，4﹣a），
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴（3a−2）（4﹣a）＝3，
解得a＝6或a＝1（舍去），
∴E（6，12）．
24．【答案】（1）y=14x2−34x−1；
（2）见解答；
（3）﹣3．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中，
得a−b−1=016a+4b−1=0，
解得a=14b=−34，
∴抛物线对应的函数表达式为y=14x2−34x−1．
（2）证明：连接CN，如图，
∵b＝1，
∴y＝ax2+x﹣1，
当x＝﹣1时，y＝a﹣2，
∴M（﹣1，a﹣2），
当x＝1时，y＝a，
∴N（1，a），
∵C（﹣1，a），N（1，a），
∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，
∴MN=CM2+CN2=22，
∵DN=a+22−a=22，
∴DN＝MN，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵DN∥CM，
∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN．
（3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，
当a＝1时，y＝x2+bx﹣1，
∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，
令x2+bx﹣1＝x﹣1，
解得x1＝0，x2＝1﹣b．
∵b≤﹣2，
∴x2＝1﹣b≥3，
点G在H的上方，如图，
设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m，
其对称轴为m=1−b2，且1−b2≥32，
①当32≤1−b2≤3时，即﹣5≤b≤﹣2，
由图可知，
当m=1−b2时，t取得最大值(1−b)24=4，
解得b＝﹣3或b＝5（舍去），
②当1−b2＞3时，得b＜﹣5，
由图可知，
当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4，
解得b=−103（舍去），
综上所述，b的值为﹣3．
25．【答案】（1）图见解答；
（2）证明见解答；
（3）①图见解答；
②839．
【解答】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求．
（2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′．
∵DE∥AC，D′E′∥A′C′，
∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′，
∵∠CAD＝∠C′A′D′，
∴∠ADE＝∠A′D′E，
又∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ADE∽△A′D′E′，
∴DED′E′=AEA′E′，
∵BDCD=B′D′C′D′，
∴CDBC=C′D′B′C′，BDBC=B′D′B′C′，
∵DE∥AC，D′E∥A′C′，
∴CDBC=AEAB，C′D′B′C′=A′E′A′B′，
∴AEBE=A′E′B′E′，
即AEA′E′=ABA′B′，
∵DE∥AC，D′E′∥A′C′，
∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′，
∴DEAC=BDBC，D′E′A′C′=B′D′B′C′，
∴DEAC=D′E′A′C′，
即DED′E′=ACA′C′，
∴ABA′B′=ACA′C′，
又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′，
∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'，
即∠BAC＝∠B'A'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'．
（3）解：①如图，△A′B′C′即为所求；
作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P；
第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN；
第3步：连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ；
第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′；
第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求．
②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°，
∵l2∥l3，
∴△A′D′B′∽△A′C′Q，
∴B′D′C′Q=13，
∴B′D′=13C′Q，
∴求出C′Qmin即可求得B′D′min，
当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值，
过点B′作B′H⊥C′Q于点H，
∵l2，l3之间的距离为4，
∴B′H＝4，
∴C′Qmin=4×23=833，
∴B′D′min=839，
故答案为：839．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/25 15:41:32；用户：陈庄镇中学；邮箱：czz001@xyh.cm；学号：62602464《论语》数量/本
《弟子规》数量/本
总费用（元）
40
30
1250
50
20
1300
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B．
A
B
C
A
A
D
B
B
D