安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二下学期第二次考试数学试题 (教师用卷)

这是一份安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二下学期第二次考试数学试题 (教师用卷)，共9页。试卷主要包含了已知P是曲线C等内容，欢迎下载使用。
1.如图函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的极值问题，导数的应用，属于基础题．
根据当f'(x)>0时函数f(x)严格增，f'(x)0时，y=lnx−x2，则y'=1x−2x=1−2x2x，当x∈0, 22时，y'>0，y=lnx−x2单调递增，排除C，
所以只有B项满足．故选：B．
3.已知P是曲线C：y=e2x上一点，直线l：x+2y+c=0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为( )
A. −4−ln2B. −4−ln22C. −2D. −1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题．
先设P(x0,y0)，由已知切线与直线 l垂直可得切线斜率，利用在点P处的切线斜率为该点导函数值，得到P坐标，代入直线l方程即可得出结果．
【解答】
解：设P(x0,y0)，
因为直线l：x+2y+c=0与曲线C在P点处的切线垂直，
所以切线斜率k=2，
因为 y'=2e2x，
所以 2e2x0=2，解得x0=0，所以y0=e2x0=1，
即P(0,1)，代入直线l:x+2y+c=0，
所以c=−2．
故选：C．
4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )
A. ∃x0∈R，f(x0)=0
B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减
D. 若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算法则、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．属于中档题．
由函数f(x)的值域为R判断A项正确;假设函数是中心对称图形，利用待定系数法求出对称中心，，判断B项正确;求导判断函数的单调性从而判断C项错误；根据导数的意义判断D项正确．
【解答】
解：由函数f(x)的值域为R知f(x)=0有解，所以A项正确;
由f(x)−c=x3+ax2+bx．
假设函数g(x)=x3+ax2+bx是中心对称图形，其对称中心为(m,n)，
则g(m+x)+g(m−x)=2n，
∴(m+x)3+a(m+x)2+b(m+x)+(m−x)3+a(m−x)2+b(m−x)=2n
整理得(6m+2a)x2+2m3+2am2+2bm=2n
，对任意的x∈R恒成立，
∴6m+2a=02m3+2am2+2bm=2n，解得
m=−13an=227a3−13ab
∴函数g(x)=x3+ax2+bx的对称中心为(−13a,227a3−13ab)，
∴f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(−13a,227a3−13ab+c)，即B正确;
若f(x)有极小值点，则f'(x)=0有两个不等实根x1，x2(x10时，g'(x)0，从而f(x)>0;
当x∈(1,+∞)时，g(x)f( π)
D. 若f(x)e
【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，考查分离参数法处理恒成立问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于较难题．
对于A，先利用单数求函数f(x)单调性，进而求最值；对于B，直接求方程f(x)=0的解得个数即f(x)的零点个数；对于C，结合单调性可判断；对于D，f(x)1+2lnxx2，令g(x)=1+2lnxx2，利用导数求函数g(x)的最值即可求k的取值范围．
【解答】
解：对于A，函数f(x)=2lnxx2的定义域为(0,+∞),f'(x)=2(1−2lnx)x3，
当x∈(0, e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈( e,+∞)时，f'(x)0，g(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，g'(x)1，故D错误．
故选：AB．
填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
10.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极大值，则c=__________．
【答案】9
【解析】【分析】
本题考查函数的极值问题，属于基础题．
由已知函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极大值，则必有f'(3)=0，且在x=3的左侧附近f'(x)>0，右侧附近f'(x)0,f(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时,f'(x)