2025届广西壮族自治区柳州市高三三模数学试题（附答案解析）

这是一份2025届广西壮族自治区柳州市高三三模数学试题（附答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A．B．C．D．
3．在等差数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．在展开式中，的系数为（ ）
A．15B．90C．270D．405
6．有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ）
A．10种B．12种C．15种D．20种
7．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．有一组数、、、，这组数的第百分位数是
B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过
C．随机变量，若，，则
D．以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则，
二、多选题
10．已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是2
B．的最大值是
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
11．我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（ ）
A．是奇函数
B．
C．在随的增大而减小，在随的增大而增大
D．的面积随的增大而减小
三、填空题
12．圆被轴截得的弦长为 ．
13．已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 .
14．在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 .
四、解答题
15．记的内角的对边分别为，的面积为.已知.
(1)求；
(2)求函数在上的单调递增区间.
16．已知函数.
(1)若函数在处有极值，求的值；
(2)对任意，在上单调递增，求的最大值.
17．如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值.
18．某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复.
(1)求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率；
(2)求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率；
(3)记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式.
19．已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值.
《2025届广西壮族自治区柳州市高三三模数学试题》参考答案
1．D
【分析】利用集合间的包含关系求解.
【详解】因为，，且，
所以，所以实数的取值范围是，
故选:D.
2．A
【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模.
【详解】由复数对应的向量，则，
所以.
故选：A
3．A
【分析】利用等差数列的通项公式求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，所以，
所以，
故选:A.
4．C
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，
则.
故选：C.
5．B
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的项即可.
【详解】在展开式中，的项为，
所以所求的系数为90.
故选：B
6．C
【分析】先求无限制条件的方法数，再减去不符合题意的方法数即可求解.
【详解】从6人中任选3人，有种选法，
其中，若全选男生或全选学生，有种选法，
所以符合题意的选法为种.
故选：C
7．C
【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求出.
【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，
故有，即，，
所以，所以.
所以的范围为.
故选：C
8．D
【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性、不等式的性质及基本不等式比较大小.
【详解】由，得，即，则，
由，得，即，则，
，则，
因此，所以，即.
故选：D
9．BD
【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用独立性检验可判断B选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断C选项；利用回归分析可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，所以，这组数据的第百分位数是，A错；
对于B选项，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，
可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过，B对；
对于C选项，随机变量，若，，
解得，，C错；
对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，
即，可得，故，，D对.
故选：BD.
10．BCD
【分析】根据椭圆的几何性质可得、、、，结合长轴长的概念判断A，利用两点求距离公式和二次函数的性质判断B，结合三角形面积公式计算判断C，利用判别式法判断直线与椭圆的位置关系可判断D.
【详解】对于A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A错误；
对于B：由，得，则，，由，得，
所以，
又二次函数的对称轴为，
所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值，
因为，所以的最大值为，故B正确；
对于C：由题意得，，
所以，即的面积的最大值为，故C正确；
对于D：由，消去y，得，
因为直线与椭圆相切，只有一个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】A.利用奇偶函数的性质可得；B.将左右两个式子进行化简即可；C求出两条切线方程，再得点坐标，则可计算是关于的函数，研究其单调性即可；D.利用面积公式求得关于的函数即可判断其增减性.
【详解】A：因为偶函数，为奇函数，则是奇函数，故A正确；
B：，
，
故，故B错误；
C：设，，则，，
，，，
曲线在点处的切线方程为，
即；
曲线在点处的切线方程为，
即；
则，
则
令，则，
得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
D：的面积为，故面积随的增大而减小，故D正确.
故选：ACD
12．4
【分析】利用垂径定理可求弦长.
【详解】由题设可得圆心坐标为，半径为，
故所求弦长为，
故答案为：4
13．
【分析】分析可知，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角，再结合线面角的定义求解即可.
【详解】如下图所示：
因为、分别在圆锥的底面上，且为该圆锥的一条母线，
所以，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角，
由圆锥的几何性质可知，与底面垂直，且为底面内的一条直线，则，
所以，异面直线与所成角的最小值为，且，
故.
故答案为：.
14．
【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解.
【详解】

如图，因为，所以以为坐标原点，
方向为轴建立平面直角坐标系，则,
设,则，
过点作轴的垂线，垂足为，则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
则，
，所以，
所以当，即时，有最大值为，
故答案为：.
15．(1)
(2)和
【分析】（1）由三角函数的面积公式和余弦定理可得；
（2）由三角恒等变换结合正弦函数的单调性可得.
【详解】（1）由，
由余弦定理，，
代入即得：，化简得：
因为，所以.
（2）
，
由，解得，
又，所以或，
所以单调递增区间为和.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用导函数与函数的单调性和极值的关系求解；
（2）利用导函数与函数的单调性最值的关系求解.
【详解】（1）因为，
所以，
因为函数在处有极值，所以，，得，.
从而，，即.
解得或，若，则，此时，显然单调递增，不存在极值，矛盾.
所以只可能，.
当，时，.
从而对有，这说明此时确实在处取到极小值.
故所求的为.
（2）①若，则当时，对有.
所以在上单调递减.
而，所以不可能在上递增，不满足条件；
②当时，对任意，有，且等号仅在一点成立.
所以单调递增，故一定在上单调递增，满足条件.
综上，的最大值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，根据三角形的边角关系可得，即可结合线面垂直的判定求解，
（2）由二面角的平面角和线面角知识结合锐角三角函数即可求解.
【详解】（1）由于平面平面故
因为，所以底面为直角梯形，故，
过，且与相交于，
则，
又，
故,所以,
由于平面，，
所以平面，
（2）由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接,
由于平面平面故，
平面，
故平面，平面，故，
故为二面角的平面角，
所以从而.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）记事件第天去餐厅，则，，，利用概率的乘法公式可得出的值；
（2）利用对立事件的概率公式可得出的值，再利用全概率公式可求得的值；
（3）利用全概率公式可得出，再利用构造法可求得的通项公式.
【详解】（1）记事件该同学第天去餐厅，则，，，
由概率乘法公式可得.
（2）由对立事件的概率公式可得，
由全概率公式可得.
（3）记事件该同学第天去餐厅，则，
由题意可知，，，
由全概率公式可得，
即，则，
所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，，故.
19．(1)
(2)，理由见解析；
(3)
【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程即可；
（2）对抛物线 求导，求出过点 的切线方程，从而得，可得，设直线 的方程为 ，求出的表达式，即可比较大小；
（3）设直线，直线的方程，分别与抛物线联立方程组求出韦达定理的表达式，求得，，从而可得直线的方程，得出过定点要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，从而求出最大值.
【详解】（1）已知点 在抛物线 上，
将点 的坐标代入抛物线方程可得：
，即 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ；
（2）抛物线 ，则 ，
当 时，切线斜率 ，
由点斜式可得过点 的切线方程为 ，即 ；
令 ，可得 ，所以 ；
由，可得 ，
所以 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，解得： ， ，
由韦达定理得 ，
根据抛物线的焦半径公式， ，
因为 ，所以 ，同理 ，
则 ，
所以 ；
（3）由题意知直线 的斜率必存在，故设直线，，
联立 ，解得，
由韦达定理得，
设直线方程为，
代入，有，
由，，
所以，同理可得；
所以直线的斜率 ，
由直线的点斜式可得直线：，
结合，化简得，
所以直线 过定点 ，
要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，
从而最大值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
C
B
C
C
D
BD
BCD
题号
11









答案
ACD