2024-2025学年吉林省长春市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的斜率为（ ）
A．B．2C．−2D．
2．若点到直线l：的距离为，则（ ）
A．5B．C．5或D．或15
3．已知空间向量，，且，则（ ）
A．B．−8C．2D．
4．已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．在空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．在如图所示的多面体中，平面，平面平面，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面α，β内，且它们都垂直于l．若，，，，则平面与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线l过点，，则（ ）
A．直线l的倾斜角为150°
B．直线l的两点式方程为
C．直线l的一个方向向量为
D．直线l的截距式方程为
10．对于直线l：，下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
C．若直线l不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线l的距离的最大值为
11．已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C．若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D．若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线l垂直于直线，且过点，则直线l的倾斜角为 ，在x轴上的截距为 ．
13．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 ．（用坐标表示）
14．已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线，直线．
(1)若，求，之间的距离；
(2)若，求，及轴围成的三角形的面积．
16．如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.

(1)用基底表示向量.
(2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由.
17．在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，．

(1)证明：平面平面．
(2)求直线DF与平面BEF所成角的大小．
18．已知的顶点，，直线l：过定点．
(1)若是的重心，求三边所在直线的方程；
(2)若，且，求顶点的坐标．
19．如图，平面，，，，，．

(1)证明：平面．
(2)若三棱锥的体积为1，求平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】直线的斜率为．
故选：A.
2．【答案】C
【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或．
故选：C.
3．【答案】C
【详解】因为，
所以，
解得．
故选：C.
4．【答案】D
【详解】设直线l的倾斜角为α，则．因为，且，
所以．
故选：D
5．【答案】B
【详解】．
故选：B.
6．【答案】A
【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF的距离为．
故选：A
7．【答案】A
【详解】如图，将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以．
故选：A
8．【答案】B
【详解】因为，所以.
因为，，，，，，
所以，
所以．
因为，所以，
故平面与夹角为60°．

故选：B.
9．【答案】ABD
【详解】因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确；
直线l的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以B，D正确．
故选：ABD.
10．【答案】ABD
【详解】可变形为，由得所以直线l恒过点，故A正确；
当时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；
当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确；
因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD
11．【答案】BCD
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则A3,0,0，B（0，1，0），C（0，-1，0），
，，．
因为，所以，
所以，
所以．
当，时，，所以A错误；
因为，
所以，
因为平面ABC的法向量为，
所以点P到平面ABC的距离为为定值，
即三棱锥P-ABC的体积为定值，所以B正确；
因为，
平面ABC的一个法向量为，设AP与平面ABC所成的角为θ，
所以，，
当时，，所以C正确；
因为，所以，
由图可知平面PBC截三棱柱所得的截面为，
，所以D正确．

故选：BCD.
12．【答案】
【详解】因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为．
因为直线l过点，所以直线l的方程为，
令得出,故直线l在x轴上的截距为．
故答案为：2π3；.
13．【答案】
【详解】因为，所以，所以．
因为，所以在上的投影向量为．
故答案为：
14．【答案】
【详解】设关于的对称点为，
则解得，即．
因为，
所以的最小值为．
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，，，重合；
当时，，，符合题意．故，
则，之间的距离为．
（2）因为，所以，解得．
，的方程分别为，．
联立方程组，得．
因为，与轴的交点分别为，，
所以，及轴围成的三角形的面积为．
16．【答案】(1)
(2)不存在一点G，理由见解析
【详解】（1）因为，，
所以．
（2）假设棱BC上存在点G，使得，设．
因为，
所以．
因为，所以，化简得，
得，所以棱BC上不存在一点G，使得.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直．
以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则．
设平面BEF的法向量为，因为，，
所以，解得，令，得，故．
设平面DEF的法向量为，因为，，
所以令，得．
因为，所以，所以平面平面．

（2）设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知，
平面BEF的一个法向量为，
则，
所以，
即直线DF与平面BEF所成的角为．
18．【答案】(1)，，
(2)或
【详解】（1）将l：整理得，
由，得，所以，
设，因为是的重心，
所以，解得，所以，
故所在直线的方程为，整理得，
所在直线的方程为，整理得，
所在直线的方程为，整理得；
（2）因为点到直线的距离，
又，所以点C到直线的距离为，
因为，所以点C在的垂直平分线上，
中点坐标为，即，
则的垂直平分线的方程为，即，
所以，解得或，
所以或．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）证明：因为平面，，所以两两垂直．
如图，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则．
设，因为平面ADE的一个法向量为，，
所以．因为平面，所以平面．

（2）解：设为平面BDE的法向量，点F到平面BDE的距离为h，
因，，
所以令，得．
因为，解得：，
所以，即点F到平面BDE的距离为2，
所以，所以，即．
设平面BDF的法向量为，因为，，
所以，令，得．
因为，
所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为．
2024-2025学年吉林省长春市高二上学期9月月考数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数x的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线，若，则实数（ ）
A．或B．C．或D．
3．在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
4．若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．(－∞，2)B．
C．(－∞，－3)D．
5．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
7．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
8．如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ）
A．线段是异面直线与的公垂线段
B．异面直线与的距离为
C．点到直线的距离为
D．点到平面的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是 ．
13．已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
14．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.
(1)斜率是，且经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是和；
(3)经过点，且一个方向向量为.
16．如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
18．已知直线：，.
(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是正三角形，平面，为的中点，，，分别是，，上的点，且满足．

(1)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以，
又，
所以，所以.
故选：C.
2．【答案】C
【详解】因为且
所以
解得：或
故选：C
3．【答案】B
【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，
即O，A，B，C四点不共面，
所以A、C、D选项说法正确，B错误．
故选：B
4．【答案】D
【详解】联立，解得，
因为交点在第四象限，
所以，解得，
故选：D
5．【答案】B
【详解】，
直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，
故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.
故选：B
6．【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】如图
所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选：A
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.
7．【答案】B
【详解】如图所示：
由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，
三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则，解得，即，
对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确；
对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；
对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；
对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误.
故选：B.
8．【答案】A
【详解】
设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角.
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
又底面的一个法向量为，
所以，因为，
则，
当时，，
当时，，当，，
则，，则，
则当时，分母取到最小值，此时，
当，时，则，此时，
综上，
故选：A.
9．【答案】AD
【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率，
，又，
直线的倾斜角的取值范围是.
故选：AD.
10．【答案】BD
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：BD
11．【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，，，，，
，.
对于A，，，，
，，即，，
所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确；
对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为，
又，所以异面直线与的距离为.故B错误；
对于C，，，
所以在方向的投影向量的模为，
所以点到直线的距离为.故C正确；
对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，
，又，
所以点到平面的距离为.故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解.
12．【答案】(2,3)
【详解】由点N在直线x－y＋1＝0上可设点N的坐标为，
∴．
又直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，
∴，
解得，
∴点N的坐标为．
故答案为
13．【答案】
【详解】由，得，得，
所以：，即，又：，
所以与间的距离.
故答案为：
14．【答案】/1.2
【详解】如图所示，
正方体中，，
，
，A，，四点共面，，，，四点共面，
，解得，；
．
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：根据点斜式可得直线方程为，
化简可得；
（2）解：根据截距式可得：，
化简可得；
（3）解：由直线的方向向量为可得直线的斜率，
所以所求直线方程为即.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得A0,0,0，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面.
（2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【详解】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
18．【答案】(1)证明见解析，点的坐标为
(2)或
(3)
【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，
所以直线过直线与的交点，
联立方程组，
解得，
所以直线过定点，点的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，
解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以
解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，
的取值范围是：.
19．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）是正三角形， 为的中点，，
又平面，平面， ，
又平面，平面，且，
平面.

取的中点，连接，又平面，且底面是的正方形，
所以以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到如下点的坐标，
又，，分别是，，上的点，且满足，
，
，，
由平面，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，即，解得，，
设平面与平面所成锐二面角为，
，又为锐角，所以，
所以平面与平面所成锐二面角的大小.
（2）设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，且，
，
，
，
整理可得: ，，方程无解，
不存在这样的点.