2024-2025学年宁夏青铜峡市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年宁夏青铜峡市高二上学期9月月考数学检测试题合集2套（附解析），共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④若空间向量满足，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
5．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
6．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（ ）
A．B．C．D．
8．如图1所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图2的图像.已知圆柱的轴线在平面内且平行于轴，圆锥与圆柱的高相同.为圆锥底面圆的直径，，且.若到圆所在平面距离为2.若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量坐标是
C．在上的投影向量的模为
D．与夹角的余弦值是
11．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．三棱锥的体积为B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为D．三棱锥外接球的半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则 .
13．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论:

①存在点，存在点，满足∥平面；
②任意点，存在点，满足∥平面；
③任意点，存在点，满足；
④任意点，存在点，满足.
其中所有正确结论的序号是 .
14．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，，.
(1)若直线与平行，求的值；
(2)若为直角三角形，求的值.
16．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点.

(1)证明：；
(2)求；
(3)求FH的长.
17．如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E．
(1)证明：平面PBD平面PBC；
(2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
18．如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，.

(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离；
(3)求点P到直线EF的距离．
19．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
2．【答案】B
【详解】解析：，又因为
所以，
故选：B.
3．【答案】A
【详解】-＝，
.
故选：A．
4．【答案】D
【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
5．【答案】C
【详解】由题意可得，
.
故选：C
6．【答案】B
【详解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故选：B.
7．【答案】A
【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，
，
，
，
故选：A.
8．【答案】C
【详解】如图2所示的空间直角坐标系中，
设，.，，所以，，
由，所以
所以，，由对称性这里取，则，，又，
所以，，，
因此由余弦定理，.
故选：C
9．【答案】AC
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
10．【答案】BD
【详解】由，则，A错；
方向上的单位向量坐标是，B对；
由，则在上的投影向量的模为，C错；
由，则，D对.
故选：BD
11．【答案】BD
【详解】由题意可得，
又平面，
所以平面，
在中，，边上的高为，
所以，故A错误；
对于B，在中，，
csPA,BC=PA⋅BCPABC=PA⋅PC−PB23×4=PA⋅PC−PA⋅PB83
=23×23×1383=36，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设点到平面的距离为，
由，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
又因为平面，
则，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故D正确.
故选：BD.
12．【答案】
【详解】因为的坐标为，则关于轴的对称点，
又B的坐标为，
所以.
故答案为：.
13．【答案】①③
【详解】对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，则根据中位线的性质可得，
又平面，平面，故平面，同理平面，又，平面，故平面平面.
又平面，故平面.故①正确.

对②，当在时，∥平面不成立，故②错误；
对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，.
设，，则，其中，故，
则当时，即.
故对任意的，存在满足条件，即任意点，存在点，满足.故③正确；
当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故④错误.

故答案为：①③
14．【答案】
【详解】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)或12或
【详解】（1）依题意可得，
即，解得.
又，，
所以，所以A、B、C、D四点不共线，
所以.
（2）若A为直角，则，即，
解得.
若为直角，则，即，
解得.
若为直角，则，即，
解得.
综上，的值为或12或.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，

则,
因为，
所以，
所以，
故；
（2）因为，所以
因为，且,
所以；
（3）因为是的中点，所以
又因为，所以,
，即.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)这样的点F存在，为线段BD上靠近点D的一个四等分点
【详解】（1）易得，
所以直二面角的平面角为∠PDA＝90°，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以PD平面ABCD，因为平面ABCD，所以PDBC，
又在平面四边形ABCP中，由已知数据可得，，且，
所以BDBC，而PDBD＝D，PD，BD平面PBD，
故BC平面PBD，
因为BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC；
（2）假设线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC，
则由（1）的分析易知，PDDA，PDDC，DCDA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示．
所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，则PB的中点E(1，1，1)，
因为点F在线段BD上，所以，所以，
则，
又，设平面PBC的法向量为，
所以令则，所以，
因为EF平面PBC，所以，所以，解得，
所以线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

由，
则，
所以，
设平面DEF的一个法向量为，则，取，则．
设PA与平面DEF所成的角为θ，则，
故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
（2）因为，，
所以点P到平面DEF的距离为.
（3）因为，， 在上的投影长为，
所以点P到直线EF的距离为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在；或
【详解】（1）证明：法一：分别取、的中点、，连接、、，
由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，，
因为，所以，所以点、、、四点共面，
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，易知平面的一个法向量，
所以，所以，
又因为平面，所以平面．
（2）解：设平面的法向量，，，
则，取，可得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角余弦值为；
（3）解：假设存在点，使得，其中，
则，
由（2）得平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得．即，
因为，解得或，所以，或．
2024-2025学年宁夏青铜峡市高二上学期9月月考数学检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．在平行六面体中，运算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．如果直线绕坐标原点按顺时针旋转得到直线，且直线的倾斜角为，那么直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．两条平行直线与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（ ）

A．B．C．D．
5．若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（ ）
A．＞＞B．＞＞
C．＞＞D．＞＞
6．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知直线l1：，l2：，l3：，l4：.则（ ）
A．存在实数α，使l1l2，
B．存在实数α，使l2l3；
C．对任意实数α，都有l1⊥l4
D．存在点到四条直线距离相等
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点到平面的距离为
D．点到直线的距离为
三、填空题（本大题共4小题）
12．已知是空间的一个基底，若，若，则 .
13．已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 .
14．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 .
15．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为棱的中点，则 .

四、解答题（本大题共5小题）
16．已知的三个顶点是．
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求的面积；
(3)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程．
17．如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．

(1)证明：；
(2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；
18．如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19．如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】在平行六面体中，，
，故C正确.
故选：C
2．【答案】B
【详解】的倾斜角为，逆时针旋转后得直线，倾斜角为，
故选：B．
3．【答案】C
【详解】由直线平行的充要条件可得：，
结合平行线之间的距离公式可得，
两条平行直线6与间的距离为：
.
本题选择C选项.
4．【答案】D
【详解】如图，连接，
是的中点，，
，，
．
故选：．
5．【答案】B
【详解】
由题意可得，,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，
结合图象可知当时，>>．
故选：B．
6．【答案】C
【详解】当，则，解得或2；
当时，，两直线平行，
当时，，两直线重合，舍去；
则时，；
则“”是“” 的充要条件.
故选：C.
7．【答案】B
【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，故其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
故选：B.
8．【答案】A
【详解】设正四棱台的高为，
所以四边形，是正方形，设其中心分别为，连接，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，且作，
由勾股定理得，所以，
由题意得，，所以四边形是平行四边形，
所以，故，得到，
而，所以，，所以，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故A正确.
故选：A
9．【答案】BC
【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
因为直线过点，代入可得，即；
当所求直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，代入可得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
故选：BC.
10．【答案】ACD
【详解】当时，，故选项A正确；
，所以与不平行，故选项B错误；
恒成立，，故选项C正确；
坐标原点到四条直线距离均为1，故选项D正确.
故选：ACD.
11．【答案】ABD
【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
对于A中，，
因为，
所以，
即，
所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确；
对于B中，，
则与所成角的余弦值为，
所以B正确；
对于C中，，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
取，可得，所以，
则点到平面的距离为，所以C错误；
对于D中，由，直线方
向上的单位向量是，
则到的距离为，所以D正确.
故选：ABD.
12．【答案】3
【详解】，，
因为，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以.
故答案为：3.
13．【答案】
【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得.
故答案为：．
14．【答案】
【详解】由已知，，,，
所以
，
所以,
故答案为：
15．【答案】/
【详解】由题意，可得，，
又由正八面体的棱长都是，且各个面都是等边三角形，
在中，由，可得，所以，
所以
.
故答案为：.

16．【答案】(1)；
(2)
(3)或．
【详解】（1）由已知边的中点坐标为，
所以直线的方程为，化简得；
（2）直线的方程为，即，
点到直线的距离为，又，
所以的面积为；
（3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行，
若直线过线段的中点，
由已知线段的中点为，直线方程为，化简得，
直线与直线平行，则方程为，化简得，
所以直线的方程为或．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)点在平面内，证明见解析
【详解】（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，
则，，则，
所以.
（2）由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
18．【答案】（1）见解析（2）
【详解】（1）如图所示：
分别取，的中点，，连结，，，
则，，
平面与平面都与平面垂直，平面，平面，
由线面垂直的性质定理得，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面．
（2）如图，以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量，
设平面的法向量，
则，取，得．
设二面角的平面角为，由图知为钝角，
．
∴二面角的余弦值为，则正弦值为．
19．【答案】米．
【详解】如图，作于，作于，
由于，，则，
，因此，，
易知，而，，
又，所以，
所以，
所以（米）．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．
在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．
设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量PB的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．