2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期10月月考数学检测试题合集2套（附解析），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数，则（ ）
A.B.C.3D.5
2.无论为何值，直线过定点（ ）
A.B.C.D.
3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.已知，则（ ）
A.B.C.D.
5.直线关于对称的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
6.已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A.B.或C.8或2D.8
7.已知实数满足，则的范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A.若圆关于直线对称，则
B.点到直线的距离的最大值为
C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切
D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为
10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线的方程为
B.曲线的方程为
C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为
D.曲线上的点到直线的距离的最大值为
11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A.与所成角的余弦值为
B.过，，三点的正方体的截面面积为3
C.当在线段上运动时，的最小值为3
D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.通过科学研究发现：地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.
13.直线的倾斜角的取值范围是______
14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知两圆和.求：
（1）m取何值时两圆外切？
（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
16.（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.
18.（17分）某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
19.（17分）已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积，其中为坐标原点.
（1）证明：和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在三点D，E，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.
数学参考答案
一、二、选择题
1.B 【解析】∵，∴. .故选B.
2.A 【解析】由得：，
由得
∴直线恒过定点.故选A.
3.A 【解析】设，则，，得.故选A.
4.A 【解析】，
又，
所以.故选A.
5.C 【解析】取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.
6.C 【解析】椭圆：的离心率为，
可得或，解得或.故选C.
7.A 【解析】表示函数图象上的点与的连线的斜率，
结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，
所以的范围是.故选A.
8.D 【解析】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使得，此时直线为点的“相关直线”，
对于A，，即，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于B，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于C，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；
对于D，，点到直线的距离，该直线不是点的“相关直线”.故选D.
9.ABD 【解析】直线：过定点，
圆：，圆心，半径，
对选项A：直线过圆心，则，解得，故选项A正确；
对选项B：点O到直线l的距离的最大值为，故选项B正确；
对选项C：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
解得，故选项C错误；
对选项D：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，
解得，故选项D正确.故选ABD.
10.BCD 【解析】对A选项与B选项，由题意知圆与圆交于点，
则，，所以，
所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，
所以，所以曲线的方程为，故A选项错误，B选项正确；
对C选项，通径的长度为，故C选项正确；
对D选项，设与直线平行的直线为，，
将与联立得，
令，解得，此时直线与椭圆相切，
当时，切点到直线的距离最大，
直线的方程为，此时两平行线的距离为，
故曲线上的点到直线的距离的最大值为，故D选项正确.故选BCD.
11.AC 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
∴，
∴与所成角的余弦值为，故A正确；
取的中点，连接，，，
则，
故梯形为过点，，的该正方体的截面，
∵，，，
∴梯形的高为，
∴梯形的面积为，故B错误；
由对称性可知，，故，
又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确，
设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，
最小，
过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误.故选AC.
三、填空题
12.1000 【解析】由题知，.
13. 【解析】设直线的倾斜角为，
当时，直线为，；
当时，，当且仅当时取等号， ∴；
当时，，
当且仅当时取等号， ∴，综上可得.
14. 【解析】连接，，由点在以为直径的圆上，故.
又，在椭圆上，故有，.
设，则，，，.
在中，由勾股定理得，
解得，于是，，故.
四、解答题
15.【解析】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，
，
则圆心分别为，，半径分别为和，
当两圆外切时，满足，解得.
（2）当时，有，
则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦所在直线的方程为：，
即，
圆心到直线的距离，
所以公共弦长.
16.【解析】（1）由正弦定理得，
所以，
所以，
化简得，
又，所以，因此.
（2）由，得，由余弦定理及，
又，得，解得，从而.
又因为，且，所以.
因此.
17.【解析】（1）因为平面，，平面，
所以，，又，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，
因为点为中点，所以，，
又，，
所以，
所以，，为共面向量，
则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.
（2）设，，，，
依题意可知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则令，则.
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，即，
解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.
18.【解析】（1）由题意得：，解得，
设第60百分位数为，则，
解得，即第60百分位数为85.
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，，
在的有人，设为a，b，c.
则样本空间为，.
设事件“两人分别来自和”，
则，，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为.
（3）由题得：①；
②略
19.【解析】（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，
因为在椭圆上，所以，①
又因为，所以，②
由①②得，，此时，.
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意知，将其代入得，
其中，即，（*）
又，，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以，
又，整理得，且符合（*）式，
此时，，
综上所述，，，结论成立。
（2）解法一：（ⅰ）当直线的斜率不存在时，由（1）知，，
因此，，
（ⅱ）当直线的斜率存在时，由（1）知：，
，
，
，
所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
综上可得，的最大值为.
解法二：，
所以，，即，
当且仅当时等号成立.因此的最大值为.
（3）椭圆上不存在三点，，，使得.
证明：假设存在，，满足，
由（1）得，，，，，，
解得，，
因此，，只能从中选取，，，只能从中选取，
因此，，只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾.
所以椭圆上不存在满足条件的三点，，.
2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期10月月考数学检测试题（二）
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)．若 AP→∥ BC→，且| AP→|＝ 14，则点P的坐标为( )
A. (4，－2，2) B. (－2，2，4)
C. (4，－2，2)或(－2，2，4) D. (－4，2，－2)或(2，－2，4)
2. 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A. 5－4 B. －1 C. 6－2 D.
3. 直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A. [2,6] B. [4,8] C. [，3] D. [2，3]
4. 在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A. B. C. D.
5. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 已知直线与直线互相垂直，垂足为则( )
A. B. C. D.
7. 已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则下列命题中正确的个数为( )
①面积的最小值为4；
②以为直径的圆与x轴相切；
③记，，的斜率分别为，，，则；
④过焦点F作y轴的垂线与直线，分别交于点M，N，则以为直径的圆恒过定点.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. (2023·四川省成都市树德中学期中)点是圆上的动点，则下面正确的有( )
A. 圆的半径为3 B. 既没有最大值，也没有最小值
C. 的范围是 D. 的最大值为72
10. 在棱长为1正方体中，点P为线段上异于端点的动点，（ ）
A. 三角形面积的最小值为
B. 直线与DP所成角的余弦值的取值范围为
C. 二面角的正弦值的取值范围为
D. 过点P做平面，使得正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的取值范围为
11. 已知直线与直线，下列说法正确的是（）
A. 当a=8时，直线的倾斜角为
B. 直线恒过点
C. 若，则
D. 若，则
12. 正方体棱长为4，动点、分别满足，其中，n∈R且，；在上，点在平面内，则（ ）
A. 对于任意的，且，都有平面平面
B. 当时，三棱锥的体积不为定值
C. 若直线到平面的距离为，则直线与直线所成角正弦值最小为．
D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 直线(1＋λ)x－(1－2λ)y＋3－6λ＝0(λ∈R)被圆x2＋y2＝25截得的弦长的最小值是________．
14. 若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ．
15. 如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆(包括A，B两点)上的一个动点，，则的最小值为 .
16. 已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是 .
四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题。
17. 已知直线 l：y＝x和两个定点A(1,1)，B(2,2)，问直线l上是否存在一点P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值？若存在，求出点P的坐标和|PA|2＋|PB|2的最小值；若不存在，说明理由．
18. 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
19. 如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3)，B(1,2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
20. (2023·安徽省淮北市树人高级中学期中)如图，在三棱锥中，，，为棱的中点
(1)证明：平面⊥平面；
(2)若点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小
21. (2023·四川省绵阳市南山中学实验学校期中)如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
(1)证明：面面；
(2)若为上的一点，点到面的距离为，求的值及平面和平面夹角的余弦值.
22. 已知直线.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
参考答案
1. 【答案】C
【解析】∵ AP→∥ BC→，
∴可设 AP→＝λ BC→.
易知 BC→＝(3，－2，－1)，
则 AP→＝(3λ，－2λ，－λ)．
又| AP→|＝ 14，
∴ (3λ)2+(−2λ)2+(−λ)2＝ 14，
解得λ＝±1，
∴ AP→＝(3，－2，－1)或 AP→＝(－3，2，1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，
则 AP→＝(x－1，y，z－3)，
∴ x－1＝3，y＝－2，z－3＝－1或 x－1＝－3，y＝2，z－3＝1，
解得 x＝4，y＝－2，z＝2或 x＝－2，y＝2，z＝4.
故点P的坐标为(4，－2，2)或(－2，2，4)．
2. 【答案】A
【解析】由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
3. 【答案】A
【解析】由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以(|AB|·(d－r))≤S△ABP≤|AB|·(d＋r)，即2≤S△ABP≤6.故S△ABP的取值范围为[2,6].
4. 【答案】C
【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接,
因为平面，平面，设，则，
又平面，所以平面，故K为与平面的交点，
又因为与平面交于点F，所以F与K重合，
又E为的中点，G为平面的重心，
因为点A，F，G三点共线，则
又因为点E，F，H三点共线，则，
,
所以，解得，即，故.
故选：C.
5. 【答案】C
【解析】因为，所以，
可化简为：，即，
由于，，，四点共面，则，解得：；
故选：C.
6. 【答案】D
【解析】因为直线与直线互相垂直，则，可得，
由题意可知，点为两直线的公共点，则，解得，
再将点的坐标代入直线的方程可得，解得，
因此，.
故选：D.
7. 【答案】A
【解析】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
作关于x轴的对称点，如图所示，

，当共线时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
8. 【答案】C
【解析】当的斜率为0时，，所以①错误.
设的中点为E，作轴交x轴于点G，作准线交准线于点D，交x轴于点C，则，又，
所以，所以②正确.
直线的方程为，联立，得.设，，则，，所以，所以③正确.
直线，所以.同理可得.所以以为直径的圆的方程为，即.
令，得或3，所以④正确.
故选：Ｃ.
9. 【答案】BC
【解析】圆转化为，
则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.
设，则直线与圆有交点，即，
整理得，解得或.
既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设，，
则，其中.
则的取值范围为，选项C正确.
又，则，
因此
其中.
则的最大值为，选项D错误.
故选：BC
10. 【答案】AB
【解析】对于A，要使三角形面积的最小，即要使得到直线距离最小，这最小距离就是异面直线和的距离，也就是直线到平面的距离，等于到的距离，为.由于，所以三角形面积的最小值为，故A正确；
对于B，先证明一个引理：
直线在平面中的射影直线为,平面中的直线,直线所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线的角为，直线的角为，直线的角为，则.
证明：如上图，在平面内任意取一点为原点，取两条射线分别为轴，得到坐标平面，然后从作与平面垂直的射线作为轴，建立空间直角坐标系，设直线的方向向量为,则为射影直线的方向向量,设直线的方向向量坐标为，则，，，
所以，
，引理得证.
如上图所示，根据正方体的性质可知在平面中的射影为,设 与所成的角为，，
设直线与直线所成的角为，,.
设直线与DP所成角为，
根据上面的引理可得：，故B正确；
对于C，如上图所示，设、交点为，连接，，
由正方体性质易知，平面，
所以平面，故,为二面角的平面角，
当与重合时，，
，所以，∴，
在上从下往上移动时，逐渐变大，最终是钝角，其正弦值可以等于1，故C错误；
对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角的都相等的直线是体对角线所在的直线，所以过点的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，过P与对角线垂直的截面中，当P为中点时取得最大值，是一个边长为的正六边形，如下图所示，面积为，不在区间内，故D不正确.
故选：AB.
11. 【答案】BD
【解析】A中，当a=8时，直线的斜率，设其倾斜角为，
所以，则，所以A不正确；
B中，直线，整理可得，
令，可得，
即直线恒过定点，所以B正确；
C中，当时，两条直线方程分别为：，
则两条直线重合，所以C不正确；
D中，当时，两条直线方程分别为：，
显然两条直线垂直，所以D正确.
故选：BD.
12. 【答案】ACD
【解析】对于A，以A为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
，
则，令，则，，
则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
则，
又，
所以，所以对于任意的，且，都有平面平面，故A正确；
对于B，当时，
设平面的法向量为
，，
则，令，则，，
所以，
又，
点到平面的距离为
又，
又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B错误；
对于C，设，,则
因为直线到平面的距离为，所以平面，
，
设面为，则
，令，则，
所以，
所以，即，
又，则，解得或，
若，所以，，
又，
设直线与直线所成角为，
所以
当最大时，最小，
令，，
在单调递增，
所以，，
最大值为，所以最小为，所以直线与直线所成角正弦值最小为；
若，所以，，根据对称性可得最小为，故C正确；
对于D，设因为，所以，，
，
所以，
整理得，
即
所以点的运动轨迹为一个以为球心，半径为2的球面上一点，所以，
所以，
当时，最小为，当时，最大为
所以的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
13. 【答案】8
【解析】圆O：x2＋y2＝25的圆心为O(0,0)，半径为5，直线l：(1＋λ)x－(1－2λ)y＋3－6λ＝0，即λ(x＋2y－6)＋(x－y＋3)＝0，由解得x＝0，y＝3，故直线l经过定点A(0,3)．要使直线l被圆O截得的弦长最短，需OA和直线l垂直，|OA|＝3，∴最短的弦长为2＝8.
14. 【答案】（答案不唯一）
【解析】由题设，中点在直线上，且，
所以，且，
即，且，
所以，且，
故，且，
所以，且，
综上，Z，可得Z，显然满足.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 【答案】
【解析】以O为原点, 以为 轴, 以的中垂线为 轴建立平面直角坐标系 ,
则圆的半径为 ,
,,,
设 ,,
则 ,
,
,
当 时, 取得最小值，
故答案为：.
16. 【答案】
【解析】由，得.
由，所以或.
当时，；
当时，.
所以表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.
当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，为.
故的取值范围是.
故答案为：.
17. 【答案】解 假设直线l上存在一点P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值．设此点为P(2x0，x0)，则|PA|2＋|PB|2＝(2x0－1)2＋(x0－1)2＋(2x0－2)2＋(x0－2)2＝10x－18x0＋10.
因为x0∈R，所以当x0＝，即点P的坐标为时，
|PA|2＋|PB|2取得最小值，且最小值为.
18. 【答案】解 (1)令x＝0时，得第二次函数的图象与y轴的交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意知b≠0且Δ＝4－4b＞0，
解得b＜1且b≠0，所以b的取值范围为｛b|b