2025年湖南省九校联盟高考数学第二次联考试卷（含答案）

这是一份2025年湖南省九校联盟高考数学第二次联考试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x−1|50)=16，则P(X0，若g(xy+1)=g(x+1)g(y+1)，ℎ(2)=4g(2)，则( )
A. g(1)=0B. f(1)=0C. ℎ(1)=0D. i=−20232025ℎ(i)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a3−a4=4，3a2+a5=25，则S20= ______．
13.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆C：x2m+y22=1的焦点在x轴上，A，B为椭圆C上任意两点，动点P在直线x− 3y−8=0上.若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆C离心率的取值范围为______．
14.2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧lg是一个正方形，新lg可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新lg.类比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 3ccsB+ 3bcsC=2acsA．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2 3，且△ABC的面积为3 3，求sinB+sinC的值．
16.(本小题15分)
如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面APD⊥平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点(点P与点A，D不重合)．
(1)求证：PD⊥PB；
(2)当点P为半圆弧AD上靠近点D的三等分点时，求二面角A−BD−P的正弦值．
17.(本小题15分)
高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为45,34,56．
(1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为X，求随机变量X的数学期望；
(2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；
(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记1分，摸出红球记2分，以0分开始计分，恰好获得10分或11分则结束摸球.若该代表获得10分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率．
18.(本小题17分)
已知直线l：y=x+1与双曲线M：x2m−y23=1(m>0)及其渐近线分别交于点A，B和点C，D．
(1)求实数m的取值范围；
(2)证明：AC=BD；
(3)若m=2，过双曲线M上一点P向双曲线N：x2m−y23=λ作切线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，问是否存在这样的λ，使得k1⋅k2为定值？若存在，求出λ的值及定值k1⋅k2；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
若函数f(x)，g(x)的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则称该公共点为函数f(x)与g(x)的一个“公切点”．
(1)若函数f(x)=mx2与g(x)=lnx存在“公切点”，求实数m的值；
(2)设函数f(x)=x−1+klnx(k≠0)，直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>1)处的切线.求证：直线l不经过点(1,0)；
(3)已知函数f(x)=x2+a,g(x)=bxex，对任意a>0，判断是否存在b>0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“公切点”？并说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.D
6.B
7.A
8.D
9.ACD
10.CD
11.ACD
12.590
13.(0, 427)
14.1112π+4
15.解：(1)由 3ccsB+ 3bcsC=2acsA，
根据正弦定理得 3sinCcsB+ 3sinBcsC=2sinAcsA，
即 3(sinCcsB+sinBcsC)=2sinAcsA，
因为sinCcsB+sinBcsC=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，
所以 3sinA=2sinAcsA，
结合sinA≠0，解得csA= 32，而A∈(0,π)，可得A=π6；
(2)由题意得S△ABC=12bcsinA=3 3，所以bc=6 3sinA=12 3．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，得(2 3)2=b2+c2−2×12 3× 32，故b2+c2=48，
所以b+c= b2+c2+2bc= 48+24 3= 12(4+2 3)= 12(1+ 3)2=6+2 3，
结合正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=4 3，
所以sinB=b4 3,sinC=c4 3，可得sinB+sinC=b+c4 3=6+2 34 3= 3+12．
16.(1)证明：因为点P为半圆弧AD上一动点(点P与点A、D不重合)，则PD⊥PA，
因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD⊂平面PAD，则AB⊥PD，
因为PD⊥PA，PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB，
因为PB⊂平面PAB，所以PD⊥PB；
(2)解：因为AB⊥平面PAD，CD/​/AB，则CD⊥平面PAD，
以点D为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴，
平面PAD内过点D且垂直于AD的直线为z轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，

当点P为半圆弧AD上靠近点D的三等分点时，∠PAD=30°，
由于四边形ABCD是边长为5的正方形，
则D(0,0,0)、B(5,5,0)、A(5,0,0)、P(54,0,5 34)，
所以DP=(54,0,5 34)，DB=(5,5,0)，
易知平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1)，
设平面PBD的一个法向量为m=(x,y,z)，
则由m⊥DP，m⊥DB，可得m⋅DP=54x+5 34z=0m⋅DB=5x+5y=0，
取x= 3，可得m=( 3,− 3,−1)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=−1 7=− 77，
故sin= 1−(− 77)2= 427，
即二面角A−BD−P的正弦值为 427．
17.解：(1)由题意可知，X～B(5,34)，
所以E(X)=5×34=154；
(2)记事件A1、A2、A3分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件B表示该同学能猜对，
所以P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，P(B|A1)=45，P(B|A2)=34，P(B|A3)=56，
由全概率公式可得P(B)=k=13P(Ak)⋅P(B|Ak)=13×45+13×34+13×56=143180；
(3)由题意可知，积分增加1分的概率为35，增加2分的概率为25，
记得分为n的概率为Pn，且P1=35，P2=35×35+25=1925，
Pn=35Pn−1+25Pn−2(n≥3,n∈N∗)，
所以Pn−Pn−1=−25(Pn−1−Pn−2)，且P2−P1=425，
所以数列{Pn+1−Pn}是首项为425，公比为−25的等比数列，
则Pn+1−Pn=425⋅(−25)n−1=(−25)n+1，
由累加法可得P10=P1+(P2−P1)+(P3−P2)+⋯+(P10−P9)=35+(−25)2+(−25)3+⋯+(−25)10=57+27×(25)10，
因此丁组获胜的概率为57+27×(25)10．
18.(1)解：联立y=x+1x2m−y23=1，得(3−m)x2−2mx−4m=0，
由题意可得，m>03−m≠04m2+16m(3−m)>0，解得01，
因为k≠0，所以lnt=t−1t(t>1)，即lnt−1+1t=0(t>1)，
令F(t)=lnt−1+1t(t>1)，由F′(t)=1t−1t2=t−1t2>0(t>1)
假设直线l经过点(1,0)，则F(t)在(1,+∞)上存在零点，
所以F(t)在(1,+∞)上单调递增，
所以F(t)>F(1)=0，
故F(t)在(1,+∞)上无零点，
这与假设矛盾，故直线l不经过点(1,0)，
(3)因为f(x)=x2+a,g(x)=bxex，所以f′(x)=2x,g′(x)=b(1−x)ex，
由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得x2+a=bxex2x=b(1−x)ex，
可得x3+x2+ax−a=0，
设ℎ(x)=x3+x2+ax−a(a>0)，
由于ℎ(0)=−a0，且ℎ(x)的图象连续不断，
所以存在x0∈(0,1)，使得ℎ(x0)=0，
则a=x03+x021−x0，将其代入x2+a=bxex可得b=2x0ex1−x0>0，
此时x0，a，b满足方程组，
即(x0,f(x0))是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“公切点”，
所以对任意a>0，存在b>0，使得f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“公切线”．