2025届湖南省高三九校联盟第二次联考数学试卷

这是一份2025届湖南省高三九校联盟第二次联考数学试卷，共5页。试卷主要包含了未知，单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、未知
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设为虚数单位，则（ ）
A．5B．C．D．
二、单选题
3．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．8D．16
三、未知
4．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线于点.设，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
四、单选题
5．在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
五、未知
6．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如:，现将的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（ ）
A．60B．30C．15D．120
7．若直线与圆交于两点，则的取值不可能为（ ）
A．B．3C．D．4
六、单选题
8．对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
七、未知
9．若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数据的30%分位数为5
C．数据的标准差为3
D．若，随机变量，则
10．阅读材料:在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为，不全为零)的平面的方程为.根据阅读材料，解决问题:已知，则（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值为1
B．三棱锥的体积为
C．平面的方程为
D．在上的投影向量的坐标为
11．已知函数及其导函数的定义域均为，设，且0，若，则（ ）
A．B．C．D．
八、填空题
12．已知为等差数列的前项和，若，则 .
九、未知
13．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
十、填空题
14．2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧lg是一个正方形，新lg可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新lg.类比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 .

十一、未知
15．在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的值.
16．如图，四边形是边长为5的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点(点与点不重合).
(1)求证:；
(2)当点为半圆弧上靠近点的三等分点时，求二面角的正弦值.
17．高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为.
(1)现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望;
(2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；
(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下:从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记1分，摸出红球记2分，以0分开始计分，恰好获得10分或11分则结束摸球.若该代表获得10分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率.
18．已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点和点.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明:；
(3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值?若存在，求出的值及定值;若不存在，请说明理由.
19．若函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则称该公共点为函数与的一个“公切点”.
(1)若函数与存在“公切点”，求实数的值；
(2)设函数，直线是曲线在点处的切线.求证:直线不经过点(1，0);
(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“公切点”?并说明理由.