2024-2025学年江西省抚州市临川三中高考模拟数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省抚州市临川三中高考模拟数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z1对应的点与复数z2=3+i2−i对应的点关于实轴对称，则z1等于( )
A. 1+iB. −1−iC. −1+iD. 1−i
2.已知集合A={x|−3≤x≤7}，B={x|x2−5x−6>0}，则A∩B=( )
A. (−1,6)B. (−3,−1)∪(6,7)C. [−3,−1)∪(6,7]D. [−3,7]
3.在(1+x)−(1+x)2−(1+x)3−…−(1+x)9的展开式中，x2的系数等于( )
A. −280B. −300C. −210D. −120
4.已知e1，e2是互相垂直的两个单位向量，若向量λe1−e2(λ≠0)与e1− 3e2的夹角为30°，则实数λ=( )
A. 1B. 2 3C. 33D. 3
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为( )
A. 316B. 313C. 38D. 34
6.已知平面向量a，b，c满足|a|=1，b⋅c=0，a⋅b=1，a⋅c=−1，则|b+c|的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
7.若b>1，a∈R，且1ea+2lnb=a+1b，则( )
A. 2a2bC. eab2
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)≥12[f(x+1)+f(x−1)]，且当x≤0时，f(x)=x，则当x>0时，f(x)的解析式可以是( )
A. f(x)=ln(x+1)B. f(x)=2xC. f(x)=ex−1D. f(x)=x2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=14，则( )
A. 若A与B互斥，则P(A∪B)=34B. 若A与B相互独立，则P(AB)=34
C. 若A与B相互独立，则P(AB−)=38D. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=58
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+2a2+…+2n−1an=n2+n2(n∈N∗)，则( )
A. a1=1B. an=n+12nC. {an}为递减数列D. Sn=4−n+22n−1
11.已知函数f(x)=sinx+cs(csx)，则下列结论正确的是( )
A. 直线x=π2为函数f(x)的图象的一条对称轴
B. 函数f(x)在(0,π2)上单调递增
C. 函数f(x)在[π,3π2]上单调递增
D. ∃x∈R，f(x)≥1+ 6+ 24
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知a1，a2，…，a12均为常数，(x2+x)6=i=612aixi对任意的实数x恒成立，则a9= ______．
13.在底面边长为2的正三棱柱ABC−A1B1C1(AA1< 2)中，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为15，则该正三棱柱的体积为______．
14.数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak−1且ak≥ak+1”成立，(k≥2,k∈N∗)，则称ak为{an}的一个峰值.若an=−3n2+11n，则{an}的峰值为______；若an=tlnn−n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=csxex(e是自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间；
(2)若g(x)为f(x)的导函数，函数ℎ(x)=f(x)−(x−π2)g(x)，求ℎ(x)在[0,π]上的最大值．
16.(本小题12分)
如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP=α，
(1)请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积；
(2)若θ=π3．
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记OP=xOA+yOB(其中x，y∈R)，求x+2y的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，三棱锥A−BCD中，BD⊥CD，AB⊥AD，且AB=AD，BD=2，DC=1．
(Ⅰ)当三棱锥A−BCD的体积最大时，
①求证：AB⊥CD；
②求其外接球的表面积；
(Ⅱ)设M为BC的中点，记平面ABD与平面AMD的夹角为θ，求csθ的最小值．
18.(本小题12分)
如图，由部分椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0,y≤0)和部分双曲线x2a2−y2b2=1(y≥0)，组成的曲线C称为“盆开线”.曲线C与x轴有A(2,0)、B(−2,0)两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为 74．
(1)求出部分椭圆方程和部分双曲线方程；
(2)设过点(1,0)的直线l与C相切于点M，求点M的坐标及直线l的方程；
(3)过A的直线m与C相交于点P、A、Q三点，求证：∠PBA=∠QBA．
19.(本小题12分)
对任意给定的n∈N∗，若有穷数列{an}满足：am=k=1nXk,m−1，(∀m≤n且m∈N∗)，其中Xk,i=0,ak≠i1,ak=i，则称该数列为“D数列”．
(1)当n∈{1,2)时，是否存在符合条件的“D数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“D数列”：若不存在，请说明理由；
(2)证明：(i)a1+a2+a3+…+an=n；
(ii)当n≥7时，任意符合条件的“D数列”都满足a2≥2；
(3)当n=20时，求出所有的“D数列”．
答案解析
1.D
【解析】解：z2=3+i2−i=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i5=1+i，
因为复数z1对应的点与复数z2对应的点关于实轴对称，
所以复数z1对应的点为(1,−1)，
所以z1=1−i．
故选：D．
先计算复数z2，得到复数z2对应的点，由对称性即可得复数z1对应的点，进而得复数z1．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，运算基础题．
2.C
【解析】解：A={x|−3≤x≤7}，B={x|x2−5x−6>0}={x|x>6或x0，则λ>− 3，
且有2λ2−2 3λ=0，又因为λ≠0，故λ= 3．
故选：D．
利用平面向量数量积的运算性质求出|λe1−e2|、|e1− 3e2|、(λe1−e2)⋅(e1− 3e2)，利用平面向量数量积的定义可得出关于λ的等式，解之即可．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，单位向量的定义，是基础题．
5.C
【解析】解：每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，
设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则P(A)=0.7×0.7+2×0.7×0.3×0.7=0.784，P(AB)=2×0.7×0.3×0.7=0.294，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=．
故选：C．
设相应事件，根据独立事件概率求法求P(A)，P(AB)，进而求条件概率．
本题主要考查条件概率的应用，属于基础题．
6.C
【解析】解：已知平面向量a，b，c满足|a|=1，
设a=(1,0)，b=(x,y)，c=(m,n)，
又∵b⋅c=0，a⋅b=1，a⋅c=−1，
∴xm+yn=0x=1m=−1，
即m=−1x=1ny=1，
则b+c=(0,y+n)，
则|b+c|= 02+(y+n)2≥ 4yn=2，
当且仅当y=n=1时取等号，
即|b+c|的最小值为2，
故选：C．
由平面向量数量积的坐标运算，结合向量的模的运算及重要不等式的应用求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量的模的运算及重要不等式的应用，属基础题．
7.C
【解析】解：由1ea+2lnb=a+1b，得1ea−a=1b−2lnb，即e−a−a=1b+2ln1b，
即e−a−a=1b+ln1b2，
因为b>1，所以1b+ln1b2>1b2+ln1b2，
从而e−a−a>1b2+ln1b2，
令f(x)=ex+x，上述不等式可化为f(−a)>f(ln1b2)，
易知f(x)在R上单调递增，所以−a>ln1b2，
即−a>−lnb2，a1b2+ln1b2，然后令f(x)=ex+x，利用其单调性求解即可．
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8.A
【解析】解：对于A，当00，
又因为f(x)=ln(x+1)，
所以12[f(x+1)+f(x−1)]=12[ln(x+2)+x−1]，
令g(x)=2ln(x+1)−[ln(x+2)+x−1]=2ln(x+1)−ln(x+2)−x+1，
g′(x)=2x+1−1x+2−1=−x2−2x+1(x+1)(x+2)，
令g′(x)=0，则x=−1+ 2或x=−1− 2(舍)，
当00，
所以g(x)>0，
即g(x)=2ln(x+1)−[ln(x+2)+x−1]>0，
即2ln(x+1)>[ln(x+2)+x−1]，
所以ln(x+1)>12[ln(x+2)+x−1]，
即f(x)>12[f(x+1)+f(x−1)]，符合题意，
当x>1时，
12[f(x+1)+f(x−1)]=12[ln(x+2)+lnx]=ln x(x+2)，f(x)=ln(x+1)，
因为(x+1)2−[ x(x+2)]2=1>0，
即x+1> x(x+2)，
所以ln(x+1)>ln x(x+2)，
即f(x)>12[f(x+1)+f(x−1)]，故A正确；
对于B，f(x)=2x，
当x=12，此时f(x)=f(12)=1，12[f(x+1)+f(x−1)]=12[f(32)+f(−12)]=12(3−12)=54，
此时1