2024-2025学年福建省莆田十五中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省莆田十五中高二（上）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a2+a6+a10=120，则a6=( )
A. 70B. 60C. 50D. 40
2.若O为坐标原点，P是直线x−y+2=0上的动点，则|OP|的最小值为( )
A. 22B. 2C. 3D. 2
3.已知三点A(2,−1)，B(4,3)，C(5,k)在同一条直线上，则k的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种
5.已知圆C1：x2+y2−6x+4y+12=0与圆C2：x2+y2−14x−2y+a=0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于( )
A. 14B. 34C. 14或45D. 34或14
6.(1+1x)(1−x)6的展开式中x4的系数为( )
A. 9B. 15C. 21D. 24
7.已知椭圆的中心在原点，两焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2作x轴的垂线交椭圆于点P.若直线PF1的斜率为34，则该椭圆的标准方程为( )
A. x22+y2=1B. x24+y23=1C. x25+y24=1D. x29+y28=1
8.如图，已知F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，现以F2为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线C于M、N两点.若直线MF1是圆F2的切线，则该双曲线的离心率为( )
A. 3+1
B. 3
C. 2 3
D. 3+2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是( )
A. 男生必须排在一起的坐法有576种B. 女生互不相邻的坐法有1440种
C. 男女生相间的坐法有72种D. 男生相邻、女生也相邻的坐法有288种
10.已知数列{an}满足an+1=2an，则下列说法正确的有( )
A. 若a1=2，则an=2n
B. 数列{an}为等比数列
C. 若a1=1，则数列{an}的前n项和为2n−1
D. 若a1=−1，则数列{an}单调递减
11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为C上一动点，E(3,1)为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线l的方程是x=−2B. |ME|+|MF|的最小值为4
C. |ME|−|MF|的最大值为5D. 以线段MF为直径的圆与y轴相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有______种.
13.点P为圆C：(x+1)2+(y−3)2=4上的一个动点，则点P到直线l：3x−4y−10=0的最大距离为______．
14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S4=2a5．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=2an，求{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题12分)
(1)求(x2+2x)6的展开式中常数项；
(2)求(1+2x)4的展开式中，二项式系数最大的项；
(3)已知(2x−3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求a1+a2+a3+a4的值．
17.(本小题12分)
设{an}是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求当n为何值时，Sn取得最小值；
(3)求数列{a2n}的前20项和T20的值．
18.(本小题12分)
已知圆的半径为5圆心在x轴上，圆心横坐标是整数，且与直线4x+3y−29=0相切．
(1)求圆的方程：
(2)设直线ax−y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(−2,4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，长轴长为4，若△PF1F2为正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1，斜率为 3的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长；
(3)过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，AF1=2F1B，求直线AB的方程．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.B
5.D
6.A
7.B
8.A
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.27
13.7
14.y=± 3x
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1=2，S4=2a5，
所以4×2+4×32d=2(2+4d)，
解得d=2，
所以an=a1+(n−1)d=2n．
(2)由(1)可知，bn=22n=4n，
所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，
所以Tn=4(1−4n)1−4=4n+1−43．
16.解：(1)(x2+2x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6−r⋅(2x)r=C6rx^12，
令12−3r=0，得r=4．
故常数项为T5=C64⋅24=240；.
(2)根据二项式系数的性质，当n为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大，
故(1+2x)4的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，T3=C42⋅(2x)2=24x2；
(3)在(2x−3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=0，得(0−3)4=a0=81，令x=1，得(2−3)4=a0+a1+a2+a3+a4=1；
所以a1+a2+a3+a4=(a0+a1+a2+a3+a4)−a0=1−81=−80．
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，
∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，
即d2−4d+4=0，解得d=2，
∴an=−10+2(n−1)=2n−12，
故数列{an}的通项公式为an=2n−12；
(2)Sn=−10n+n(n−1)2×2=n2−11n=(n−112)2−1214，
∴n=5或n=6时，Sn取得最小值S5=S6=−30，Sn的最小值为−30；
(3)a2(n+1)−a2n=2d=4，∴数列{a2n}是以a2=−8为首项，4为公差的等差数列，
∴T20=(a2+a40)×202=600．
18.解：(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z)．
由于圆与直线4x+3y−29=0相切，且半径为5，所以，|4m−29|5=5，
即|4m−29|=25．
因为m为整数，故m=1．
故所求的圆的方程是(x−1)2+y2=25．
(Ⅱ)直线ax−y+5=0即y=ax+5.代入圆的方程，消去y整理，得
(a2+1)x2+2(5a−1)x+1=0．
由于直线ax−y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4(5a−1)2−4(a2+1)>0，
即12a2−5a>0，解得a512．
所以实数a的取值范围是(−∞,0)∪(512,+∞)．
(Ⅲ)设符合条件的实数a存在，
由(2)得a≠0，则直线l的斜率为−1a，
l的方程为y=−1a(x+2)+4，
即x+ay+2−4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上．
所以1+0+2−4a=0，解得a=34．
由于34∈(512,+∞)，
故存在实数a=34，使得过点P(−2,4)的直线l垂直平分弦AB．
19.解：(1)由长轴长为4，∴2a=4，∴a=2，
再由△PF1F2为正三角形，P为上顶点，可得b= 3c，
∵a2=b2+c2=4，∴解得c=1，b= 3，
所以椭圆的方程为：x24+y23=1；
(2)由(1)可得上焦点F1(−1,0)，
由题意可设直线MN的方程为：y= 3(x+1)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x24+y23=1y= 3(x+1)，整理可得15x2+24x=0，
可得Δ>0，x1+2=−85，x1x2=0，
所以弦长|MN|= 1+( 3)2⋅ (x1+x2)2−4x1x2=2× (−85)2=165；
(3)当直线AB的斜率为0时，则过F1的直线为x轴，可得A，B为长轴的顶点，
因为AF1=2F1B，设A(−2,0)，B(2,0)，F1(−1,0)，则AF1=(1,0)，F1B=(3,0)，
显然AF1≠2F1B，所以设直线AB的方程为x=my−1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my−13x2+4y2=12，整理可得：(3m2+4)y2−6my−9=0，
可得y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
因为AF1=2F1B，即(−1−x1,−y2)=2(x2+1,y2)，
可得−y1=2y2，即−y1=2y2，代入y1+y2=6m3m2+4，可得y2=−6m3m2+4，y1=12m3m2+4，
再代入y1y2=−93m2+4，可得(−6m3m2+4)×12m3m2+4=−93m2+4，解得：m2=45，
可得m=±2 5，
所以直线AB的方程为 5x±2y+ 5=0．