浙江省余姚中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份浙江省余姚中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，，则实数（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共线向量的坐标表示即可求得结果.
【详解】已知，，所以，解得：
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
3. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断；
【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误;
对于B：因为，所以，
且，所以,所以或，故有两解，故B错误；
对于C：因为，所以无解，故C错误；
对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确.
故选：D
4. 已知正方形的边长为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：建立如图平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解；方法二：利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算即可求解.
【详解】方法一：如图所示，建立以为原点的平面直角坐标系，
得，则，
故．

方法二：，
故．
故选：A
5. 在中，角的对边分别是，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，
所以，
即，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以.
故选：C.
6. 向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的坐标，再求出，，最后根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以，，
所以在上的投影向量为.
故选：A．
7. 已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于不等式，我们两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再结合向量的运算性质得到，最后利用绝对值三角不等式求解最值即可.
【详解】由，两边平方得
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，故，
即，解得，即，且，
而，故，
则由绝对值三角不等式得，故B正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用绝对值三角不等式求解最值即可.
8. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可.
【详解】如图，在中，设,

因为，则M为BC中点，两边平方得到，
，
即，化简
因为，则AN为角平分线，，
即，条件代入化简得，
，则，且，
联立解得，解得(负值舍去).
所以.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由条件分别算出，，，，通过的值的规律得到的值，然后分别判断各个选项.
【详解】，∴，
∴，A选项错误；
z3=−123+3×−122×32i+3×−12×32i2+32i3=1>0，B选项正确；
，C选项正确；
∵，，，，
，∴，
∴，D选项错误.
故选：BC.
10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（ ）
A. B. 是钝角三角形
C. 若，则外接圆半径为D. 若周长为15，则内切圆半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件求得三边关系；对A：利用正弦定理即可直接求得；对B：判断为最大角，根据余弦定理判断的正负即可；对C：根据正弦定理直接求解即可；对D：根据等面积法，结合三角形面积公式即可求得.
【详解】因为，由正弦定理可得：，又，故可得，
设，则；
对A：，故A正确；
对B：根据大边对大角，为最大角，又，则，
又，故为锐角，则△为锐角三角形，故B错误；
对C：由B知：，为锐角，故，
又，设外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，故C正确；
对D：若周长为15，即，则，故，
设内切圆半径为，则，即，解得，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知锐角三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 的最小值为
C. 的面积最大值为
D. 值可能为3
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，则利用的取值范围判断A，利用平面向量数量积的定义结合余弦定理将数量积表示为一元函数，再利用二次函数的性质求解最值判断B，利用三角形面积公式判断C，利用余弦定理求出的范围，再判断D即可.
【详解】对于A，因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
同理可得，则的取值范围为，故A正确，
对于B，由余弦定理得，即，
则，而，
，
令，由正弦定理得，
则，
因为，所以，得到，
则，而，得到，
由二次函数性质得在上单调递增，则f(a)>，
即的最小值不为，故B错误，
对于C，由三角形面积公式得，
则的面积最大值不为，故C错误，
对于D，因为，所以，
因为，
而，所以的值可能为3，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：解题关键是结合题意求出的取值范围，然后利用平面向量数量积的定义结合余弦定理得到，再利用二次函数的性质得到所要求的最值即可．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果.
【详解】设，则，即，
，∴，
∵在上单调递增，
∵，，
∴当时，取最大值3.
故答案为：3.
13. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为__．
【答案】700米
【解析】
【分析】先求得的值，然后利用余弦定理求得两点间的距离.
【详解】依题意可知，由于，根据余弦定理得，解得米.
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题，要注意的是，填空题要写单位.
14. 在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可.
【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得，
设，所以，
当与半圆相切时，取得最大值，此时最大，
过作交于点，连接，
当取得最大值时，且，
因，正方形边长为4，则，，
所以，
所以，
则，所以，
得，所以的最大值为.
所以最大值为.
故答案为：24.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足.
（1）求实数b的值；
（2）若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解.
（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可.
【小问1详解】
依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以,
【小问2详解】
由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根，
得，
整理得，而，
因此, 解得所以
16. 在中，分别是角所对边，已知，，，且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若面积为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直则数量积为0得到方程，解得，即可得到角A的大小；
（2）由三角形面积公式求得，结合余弦定理得到，从而得到，即可求出的值.
【小问1详解】
因为且，

，
又因为，所以
【小问2详解】
由题意得，得，
又因为在三角形ABC中，
由余弦定理得，
所以，
又因为，，所以
17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据平面向量基本定理计算即可；
(2)根据平面向量基本定理结合三点共线求出向量最后根据数量积求出模长；
(3)应用平面向量基本定理表示向量，再应用垂直计算结合基本不等式求出最值即可.
【小问1详解】
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以所以.
【小问2详解】
因为为中点，四边形为平行四边形，
所以.
因为，所以.
设，
则，
，
因为共线，共线，
所以，
解得，
所以，
因为，，
所以，
所以.
【小问3详解】
因为，，
，
所以 ，
所以，
又因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以最小值.
【点睛】方法点睛：把向量用基底表示，再应用向量的数量积公式计算后结合基本不等式求出最值即可.
18. 已知A、B、C、D为平面四边形的四个内角．
（1）若，，求；
（2）如图，若，，，，.
①证明：；
②求的值．
【答案】（1）10 （2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用三角形全等得到，再利用余弦定理即可求得结果.
（2）①利用二倍角公式与同角三角函数的商数关系即可证明，
②先对所求式子化简得到，原式即是求的结果，再多次利用余弦定理即可求得结果.
【小问1详解】
易知四边形是平行四边形
在中，由余弦定理得
同理在三角形得到：,
因为，，且有公共边AC，所以,
所以,又,所以,即,
所以在平行四边形中,,
故，
【小问2详解】
证明：①等式左边==右边
所以等式成立．
②由，得，，
由①可知：
，
连结BD，
在中，由余弦定理有，
，，，，
在中，由余弦定理有，
所以，
则：
又，可知，
于是，
连结AC，同理可得：，
又，可知，
于是
所以
19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.
（1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，；
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则.
【答案】（1）①线性无关；②线性相关；理由见解析
（2）向量，，线性无关；理由见解析
（3）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可；
（2）设，则，然后由条件得到即可判断；
（3）①如果某个，，然后证明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可.
【小问1详解】
对于①，设，
则可得，所以，线性无关；
对于②设，
则可得，所以，，
可取不全为零，故，线线性相关；
【小问2详解】
设，
则，
因为向量，，线性无关，
所以，，，
解得，
所以向量，，线性无关；
【小问3详解】
①，
如果某个，，2，……，m，
则，
因为任意个都线性无关，
所以，，……，，，……，都等于0，
所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，……，全不为零，
所以由，
可得，
代入，可得，
所以，
所以，……，，
所以
【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断.