上海市松江一中2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份上海市松江一中2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了 已知，则__________， 将化为的形式______等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上．
一．填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）．
1. 角，则属于第___________象限．
【答案】三
【解析】
【分析】，根据终边相同的角位于同一个象限求解即可.
【详解】因为，
所以角的终边与角的终边相同，位于第三象限，
故答案为：三.
2. 若角的终边经过点，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的定义求出正弦值.
【详解】依题意，.
故答案为：
3. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角的正弦公式即可求解．
【详解】解：因为，
两边平方，可得，
则．
故答案为：．
4. 方程的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由的取值范围可得，在该范围求解的解即可
【详解】因为，所以,
又因为，所以或者,
解得或,
所以该方程的解集为.
故答案为：
5. 将化为的形式______
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式整理即可.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
6. 在中，已知，则此三角形最大内角度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，由大边对大角知所求角为，利用余弦定理可求得结果.
【详解】在中，利用正弦定理可得：，的最大内角为，
不妨设，，，
则，
，.
故答案为：.
7. 已知，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求，根据诱导公式化简所求后即可代入求值.
【详解】，且，
，
，
故答案为：.
8. 已知，则___________
【答案】##
【解析】
【分析】由，根据二倍角公式即可求解.
【详解】由，所以
，
故答案为：.
9. 若，且均为锐角，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】利用配凑法将表示成,再去求解即可得到的值.
【详解】因为、为锐角，且，所以,,
所以,,
所以,
且因为，所以.
故答案为：.
10. 已知为第三象限角，且，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由，及为第三象限角，得的值，由为第三象限角确定的范围，再根据2倍角公式求的值.
【详解】为第三象限角，
，，，
，即，
即，
解得：
为第三象限角，
为第二或第四象限，
.
故答案为：.
11. 如图，在半径为2、圆心角为的扇形的弧上任取一点A，作扇形的内接平行四边形，使点B在上，点C在上，则该平行四边形面积的最大值为________.

【答案】##
【解析】
【分析】首先连结，设，，利用三角函数表示四边形的面积，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】过点分别作分别垂直于点，

则，，又，
所以，所以，
所以平行四边形的面积和长方形的面积相等，
设，，
则，，，
所以，
所以四边形面积，
所以
，
因为，所以，
故当即时，面积取得最大值为.
故答案为：.
12. 如图，与存在对顶角，且．则下列说法：①O是中点；②；③．正确的序号是___________
【答案】①②
【解析】
【分析】设，，结合余弦定理，表示出与，利用化简判断①；借助全等三角形确定角的数量关系判断②；由求出，再利用正弦定理求出判断③.
详解】设，，则，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
由，得，
化简得：，因此中点，①正确；
如图：
过点做，交与，则，而，
，则，，，②正确；
由，得，即，
整理得，而，解得，，
，
在中，由正弦定理，得，，③错误.
故答案为：①②
二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑．
13. 对任意角和，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解.
【详解】由可得或者，
故不能得到，
但，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
14. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯这木材，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有一类似问题：一圆柱形木材，有一部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深寸，锯道寸，则该木材埋在墙壁中的截面面积约为（ ）（注：）
A. 30平方寸B. 40平方寸C. 50平方寸D. 60平方寸
【答案】C
【解析】
【分析】设该圆的半径为，根据圆的性质可知垂直平分弦，且，在中根据勾股定理求出半径，进而可得，再利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求解.
【详解】设该圆的半径为，则，
因为，解得.
又因为，所以，
所以扇形的面积，
三角形的面积，
所以阴影部分面积为，
故该木材埋在墙壁中的截面面积约为50平方寸.
故选：C.
15. 在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值.
【详解】因为，
由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以，则．
由余弦定理，得，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故选：B.
16. 已知满足，，则下列选项中正确的为（ ）
A. 的三个内角一定都是
B. 的三个内角至少有一个是
C. 的三个内角可能均不是
D. 以上说法均错误
【答案】B
【解析】
【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解.
【详解】由可得,
故,
由于,设，则，
从而
即，进而，
由于,所以，因此中至少一个为0，
因此至少一个为0，
即至少一个为0，故中至少一个为0.
故选：B.
三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用条件求得，根据两角和的正切直接求解即可；
（2）利用弦化切直接求解即可.
【小问1详解】
由题知，，，
则.
【小问2详解】
由题知，.
18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积，求b，c的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由正弦定理得到；
（2）结合（1）中的，利用三角形面积公式得到，由余弦定理求出.
【小问1详解】
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
即，所以；
【小问2详解】
由（1）得，
因为，即，解得，
由余弦定理得，所以，
综上，.
19. 如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积．
【答案】（1）2海里；
（2）18平方海里.
【解析】
【分析】（1）根据题意得出各边长和，利用余弦定理可解出的长；
（2）利用余弦定理求出的长，再利用三角形面积公式求出两个三角形的面积，相加即为所求四边形面积.
【小问1详解】
由题意，，且为钝角，
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）.
故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里.
【小问2详解】
由题意，.
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）.
故.
所以
所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.
20. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度．
（1）若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，且．
①求N，P之间的余弦距离；
②求N，P之间的曼哈顿距离．
【答案】（1）曼哈顿距离为2，余弦距离为
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案；
（2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解，结合和角公式可得答案.
【小问1详解】
由题意；
因为，
所以余弦距离为.
【小问2详解】
①由题意，
由，可得，故；
因，故，
则，
又，
所以N，P之间的余弦距离为.
②由①可知，，
，
因，则，
所以N，P之间曼哈顿距离为：
.
21. 在中，内角所对的边分别为．
（1）若，求证：；
（2）在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围．
（3）若为锐角且，求周长的最小值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的内角和的性质，化简得到，进而证得；
（2）根据题意求得，由化简得到，结合对勾函数的单调性即可求解；
（3）整理可得，分类讨论之间的大小关系，可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，即，
因为，则，故，
可得或，即或（舍去），
所以．
【小问2详解】
因为为锐角三角形，，所以，
由题意可得，解得；
因为，
因为，则，可得，
令，则在上单调递增，
且，可知，
所以取值范围为．
【小问3详解】
因为，
可得，
因为为锐角，则有：
若，即，则，
且在内单调递增，
可得，且，，
即，，
可得，不合题意；
若，即，则，
且在内单调递增，
可得，且，，
即，，
可得，不合题意；
若，即，则，，
即，，
可得，符合题意；
综上所述：，即，可得，
又因为，即，
可得，
当且仅当时，等号成立，
则，所以周长的最小值为.
【点睛】关键点点睛：对于第三问：整理可得，分类讨论之间的大小关系，进而可得.