初中数学北师大版（2024）八年级下册直角三角形巩固练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册直角三角形巩固练习，共51页。
考卷信息：
本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解！
【题型1 求长度】
1．（2023春·福建宁德·九年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ACB=60°，BCAC，可得AE+CD>AC；②由①可证△CDF是等边三角形；③由题意知，∠DEF=30°，∠AFE=60°，当△DEF是等腰三角形时，分 DE=DF，DE=EF，DF=EF，三种情况求解：情况一、当DE=DF时，由∠DFE=∠DFA+∠AFE>60°>30°=∠DEF，可知此情况不成立；情况二、当DE=EF时，AF=EF=DE=AC=AB=3；情况三、当DF=EF时，∠FDE=∠DEF=30°，如图3，记AF与DE交点为P，则AF=2PF，PF=12EF，EP=12DE=12AC=32，由勾股定理得EP=EF2−PF2=3PF，则3PF=32，解得PF=12，进而可求AF的值．
【详解】（1）解：如图1，点D即为所求；
（2）①证明：如图2，连接CD、DF、AD，记DE与AC的交点为N，DF与AC的交点为H，

由（1）可知，∠CAF=30°，∠AEN=∠DEF=12∠AEF=30°，
∴∠CAF=∠DEF，
∵AC=DE，∠CAF=∠DEF，AF=EF，
∴△CAF≌△DEFSAS，
∴CF=DF，∠ACF=∠EDF，
由题意知∠DNH=∠ANE=180°−∠NAE−∠AEN=60°，
∵∠ACF+∠CHF+∠DFC=180°=∠EDF+∠DHM+∠DNH，
∴∠DFC=∠DNH=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD=CF，
∵AF+CF>AC，
∴AE+CD>AC；
②由①可证△CDF是等边三角形；
③解：由题意知，∠DEF=30°，∠AFE=60°，当△DEF是等腰三角形时，分 DE=DF，DE=EF，DF=EF，三种情况求解：
情况一、当DE=DF时，
∴∠DFE=∠DEF，
∵∠DFE=∠DFA+∠AFE>60°>30°=∠DEF，
∴此情况不成立；
情况二、当DE=EF时，AF=EF=DE=AC=AB=3，
∴AF=3；
情况三、当DF=EF时，∠FDE=∠DEF=30°，如图3，记AF与DE交点为P，
则AF=2PF，PF=12EF，EP=12DE=12AC=32，
由勾股定理得EP=EF2−PF2=3PF，
∴3PF=32，解得PF=12，
∴AF=1；
综上所述，当△DEF是等腰三角形时，AF的值为3或1．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，含30°的直角三角形，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2023春·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）综合与实践
问题情境：
在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，△ABC是等边三角形，点F是AC边的中点，点D在直线BF上运动，连接AD，以AD为边向右侧作等边三角形ADE，连接CE，直线CE与直线BF交于点M．试探究线段BD与CE的数量关系及∠BMC的大小．
(1)初步探究：
如图1，当点D在线段BF上时，请直接写出：
①BD与CE的数量关系 ；
②∠BMC= °
(2)深入探究：
如图2，当点D在线段BF的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：
如图3，当点D在线段FB的延长线上时，若FM=2，BD=32，求出EM的长度．
【答案】(1)①BD=CE，②60
(2)成立，证明见解析
(3)112
【分析】（1）由题意易得△ABD≌△ACE，然后根据全等三角形的性质可进行求解；
（2）由题意易证△BAD≌△CAE，则有BD=CE，∠ABD=∠ACE，然后问题可求解；
（3）由题意易证△BAD≌△CAE，则有BD=CE=32，∠ABD=∠ACE，然后可得
∠ABF=12∠ABC=30°，BF⊥AC，进而问题可求解．
【详解】（1）解：①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAD=∠BAC−∠DAC，∠CAE=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
故答案为：BD=CE；
②∵点F是AC边的中点，△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠CBF=30°，∠ACB=60°，
由①可知△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴∠BCM=90°，
∴∠BMC=90°−∠CBF=60°；
故答案为60；
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC+∠ACB=120°，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=120°，
∴∠BMC=60°；
（3）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠DAE−∠BAE，∠CAE=∠BAC−∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE=32，∠ABD=∠ACE，
∵△ABC是等边三角形，F是AC的中点
∴∠ABF=12∠ABC=30°，BF⊥AC，
∴∠CFM=90°，∠ACM=∠ABF=30°，
∴CM=2FM=4，
∴EM=CE+CM=32+4=112．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（2023秋·福建福州·九年级统考期末）在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F．
(1)如图1，求证：AD=BE；
(2)过点E作EG⊥AD于点G．
①如图2，若BF=11，FG=6，求AD的长度；
②如图3，连接BG、CG，若BG=EG，求证：CG⊥AB．
【答案】(1)见解析
(2)①23，②见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合已知证明△ABD≌△BCE即可．
（2）①利用△ABD≌△BCE，得证∠GFE=60°，结合已知得到∠GEF=30°，得证EF=2FG，根据BF+EF=BE=AD=BF+2FG计算即可．
②证明BG=AG,利用线段的垂直平分线性质证明CG⊥AB．
【详解】（1）∵等边三角形ABC，BD=CE，
∴AB=BC=CA，∠ABD=∠BCE=60°，
∴AB=BC∠ABD=∠BCEBD=CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）根据(1)得△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE；
∵等边三角形ABC，
∴∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠ABE+∠BAD=∠GFE，
∴∠GFE=60°，
∵EG⊥AD，
∴∠GEF=30°，
∴EF=2FG，
∴BF+EF=BE=AD=BF+2FG，
∵BF=11，FG=6，
∴AD=BF+2FG=11+12=23．
②根据(1)得△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE；
∵等边三角形ABC，
∴∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠ABE+∠BAD=∠GFE，
∴∠GFE=60°，
∵EG⊥AD，
∴∠GEF=30°，
∵BG=EG，
∴∠GBE=∠GEF=30°，
过点G作GM⊥BG交BE于点H，交BC于点M，则∠GHB=90°−∠GBF=60°，
设∠EBC=α，则∠BAD=∠EBC=α，∠GAE=60°−α
∴∠GBM=30°+α，∠GMB=∠GHB−∠EBM=60°−α，
在Rt△AGE中，∠GEA=90°−∠GAE=90°−60°−α=30°+α，
∴∠AEF=60°+α，
在△AGE,△MGB中，
∠GAE=∠GMB∠AEG=∠GBMGE=GB，
∴△AGE≌△MGBAAS，
∴BM=AE，AG=MG，
连接AM，如图，
∵∠AGM=180°−∠FGH=120°
∴∠GAM=∠GMA=30°
又∵CA=CB，
∴CM=CE，
在△BEC,△AMC中，
AC=BC∠ACM=∠BCECM=CE
∴△BEC≌△AMCSAS
∴∠CAM=∠EBC=α，
∴∠MAG=60−2α=30°，
∴α=15°，
∴∠GAE=60°−α=45°，
∴△AGE是等腰直角三角形，
∴AG=GE，
∴BG=AG，
∵CA=CB，
∴CG是线段AB垂直平分线，
∴CG⊥AB．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键 ．
6．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）将一副三角板ABC和DEF如图（1）放置，其中∠ABC=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G[如图（2）]，若BC=3，则此时线段OG的长度为 ．

【答案】322
【分析】过 O 作 OH⊥AG 于 H，∠ABC=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，得出∠OGA=45°，根据30°所对直角边等于斜边的一半得出AC=2BC=6，由点O是AC的中点，得出AO=3，再根据勾股定理即可得OG；
【详解】∵∠ABC=90°，
∴∠FBG=90°,
∵∠F=∠FGB=45°,
∴∠OGA=45°,
∵∠A=30°,BC=3,
∴AC=2BC=6,
∵点O是AC的中点，
∴AO=3,
过 O 作 OH⊥AG 于 H，

∴∠AHO=∠OHG=90°,
∴OH=12AO=32,
∴OG=2OH=322.
故答案为：322
【点睛】该题主要考查了直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点，解答的关键是掌握这些知识点并能够熟练运用
【题型2 求最值】
1．（2023秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ0°