2024-2025学年河南省青桐鸣大联考高一3月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省青桐鸣大联考高一3月联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列量中是向量的为
A. 课桌的高度B. 一段路程的公里数
C. 上课时老师敲击黑板的频率D. 小汽车受到路面的弹力
2.已知集合A={1,a}，集合B满足A∪B={1,e,π}，则a的所有可能取值的集合为
A. {1}B. {e}C. {π}D. {e,π}
3.已知向量m=(2,−1)，n=(−1,3)，则m⋅(m−n)=
A. 8B. 10C. 12D. 16
4.已知向量a=(3,−1)，向量b=(3,4)，则a在b上的投影向量的坐标为
A. (35,45)B. (−35,45)C. (35,−45)D. (−35,−45)
5.若a，b是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为
①a−b和2025b−2025a ②a+b和a−b
③a−2b和2a−b ④a−2b和4b−2a
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
6.已知3x×9y=3xy，且x，y>0，则x+2y的最小值是
A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8
7.在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况．设斜坡的倾斜角度为θ(00，N1+N2=600，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值．
19.(本小题12分)
如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为π2，C为线段OA的中点，D是AB⌢上一动点(包含A，B两点)．
(1)求AD⋅OD的取值范围；
(2)当∠AOD=π4时，以OA，OB为一组基底向量表示CD；
(3)若CD=xCA+yCB(x,y∈R)，求x+y的最大值．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.B
6.D
7.B
8.C
9.BD
10.BC
11.ACD
12.∃x∈(0,12]，x≤tan2x．
13.π2
14.2
15.解：(1)证明：因为E为AB的中点，所以AE=EB，
则ME=MA+AE=MA+EB=MA+MB−ME，
故ME=12(MA+MB).
(2)由向量的概念可得在四边形ABCD中，
与ME共线的向量有EM，FM，MF，EF，FE，AD，DA，BC，CB．
(3)证明：设AB=kCD(k≠0)，
又因为AB/​/CD，
所以AM=kMC，BM=kMD，
由(1)知，ME=12(MA+MB)，
同理MF=12(MC+MD)，
其中12(MA+MB)=−k2(MC+MD)，
所以ME=−kMF，
故E，M，F三点共线．
16.(1)证明：由asin A−csin Ca−b=sin B结合正弦定理，可化为a2+b2−c2=ab，
由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=12，又C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)证明：若A=π3，结合C=π3，可知△ABC为等边三角形，
则与题设asinA−csinCa−b=sinB矛盾，故；
(3)解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，
∴ACAB=ADAC，∴AC2=AD·AB，
∵AD=2，AB=3，∴AC= 6，
结合csC=a2+b2−c22ab=a2+6−92 6a=12，
解得a= 6+3 22．
17.解：(1)在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC，
即AC2=102+202−2×10×20×(−12)=700，故AC=10 7米.
设该人工圆形湖泊的半径为R，故2R=ACsin∠ABC=10 7 32=20 213，
所以该人工圆形湖泊的直径为20 213米.
(2)易得S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=12×10×20× 32=50 3，
因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADC=180∘−∠ABC=60∘，
设AD=x，CD=y，由余弦定理可得AC2=700=x2+y2−xy≥xy，
所以S△ADC=12xysin∠ADC= 34xy≤ 34×700=175 3，
当且仅当AD=CD时取等号，
故四边形ABCD面积的取值范围为(50 3,225 3](平方米)．
18.解：(1)由题意得lnt=lnt0+NN0−1，
故ln4e2=lnt0+300N0−1ln4e3=lnt0+400N0−1,
两式相减可得ln4e24e3=300−400N0，
故N0=−100−lne=100，
故t0=4e2e300100−1=4e2e2=4．
(2)由(1)可知t=4eN100−1，
当N=600时，t=4e5，
故所需的处理时间为4e5秒.
(3) t=4eN1100−1+4eN2100−1⩾8 eN1100−1·eN2100−1
=8 eN1+N2100−2=8 e4=8e2，
当且仅当N1=N2=300时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为8e2秒.
19.解：(1)设∠AOD=θ，
AD⋅OD=(AO+OD)⋅OD=AO⋅OD+OD2=4−OA⋅OD，
因为∠AOD=θ∈[0,π2]，故OA⋅OD=4csθ∈[0,4]，
所以AD⋅OD的取值范围为[0,4]．
(2)CD=CO+OD=−12OA+OD，
则OD在OA方向上的投影向量为|OD|csθ⋅OA|OA|=csθ⋅OA，
OD在OB方向上的投影向量为|OD|⋅cs(π2−θ)⋅OB|OB|=sinθ⋅OB，
所以OD=csθ⋅OA+sinθ⋅OB，
所以CD=−12OA+OD=2csθ−12OA+sinθ⋅OB，
将θ=π4代入，得CD= 2−12OA+ 22OB．
(3)因为CA=12OA，CB=CO+OB=OB−12OA，
所以CD=xCA+yCB=x−y2OA+yOB，
又由(2)知CD=2csθ−12OA+sinθ⋅OB，
故x−y=2csθ−1,y=sinθ,
则x+y=2csθ−1+2sinθ=2 2sin(θ+π4)−1，
因为θ∈[0,π2]，所以当且仅当θ=π4时，sin(θ+π4)取得最大值1，
故x+y的最大值为2 2−1．