甘肃省武威市2024年中考数学试卷附真题解析

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1．下列各数中，比-2小的数是 （ ）
A．-1B．-4C．4D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，，4＞2＞1，
∴-4＜-2＜-1＜1＜4，
故答案为：B.
【分析】根据正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可.
2．如图所示，该几何体的主视图是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 从正面看得到的图形为
故答案为：C.
【分析】根据所放置的几何体判断出从正面向后看得到的正投影即可.
3．若，则的补角为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
的补角为180°-55°=125°.
故答案为：D.
【分析】根据和为 180°的两个角互为补角求解即可.
4．计算： （ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据同分式的加减法则“同分母分式的减法，分母不变，分子相减”计算即可.
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，则AC的长为 （ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∠ABD=60°，
是等边三角形，
AO=AB=2，
AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等得到AO=BO=CO=DO，再证△ABO是等边三角形，得出AO=AB=2，进而可得AC=4.
6．如图，点在上，，垂足为，若，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∠CDO=90°，
，
∠O=2∠A=70°，
∠C=90°-70°=20°.
故答案为：A.
【分析】先根据垂直的定义得出∠CDO=90°，再根据圆周角定理得出∠O=2∠A=70°，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可.
7．如图1“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设中桌的长为a，小桌的长为b，
由图2可知，y=b+2x，a=b+x，a=3x，
b=2x，
y=4x.
故答案为：B.
【分析】设中桌的长为a，小桌的长为b，根据图2的桌面拼合方式， 得出等量关系y=b+2x，a=b+x，a=3x，变形即可得到答案.
8．近年来，我国重视农村电子商务的发展.下面的统计图反映了2016-2023年中国农村网络零售额情况.根据统计图提供的信息，下列结论错误的是 （ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016-2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【答案】D
【解析】【解答】解：解：根据统计图可得：8945＜12449＜13679＜17083＜17946＜20500＜21700＜24900，∴2023年中国农村网络零售额最高，2016年中国农村网络零售额最低，中国农村网络零售额持续增加，从2021年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元，故A、B、C选项说法都正确，不符合题意，D选项说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据统计图提供的信息逐项分析即可求解.
9．敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率.如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为(15，16)，那么有序数对记为(12，17)对应的田地面积为 （ ）
A．一亩八十步B．一亩二十步
C．半亩七十八步D．半亩八十四步
【答案】D
【解析】【解答】解：由A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为(15，16)， 可知 (12，17)对应的田地面积为半亩八十四步.
故答案为：D.
【分析】根据A区用有序数对记为(15，16)表示，可得横从上面从右向坐看，纵从右边从下往上看，据此找出(12，17)对应的位置即可求解.
10．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点的运动路程为x，PO的长为y，y与的函数图象如图2所示，当点运动到BC中点时，PO的长为 （ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知，当x=0时，AO=PO=4，
当点P运动到点B时，BO=PO=2，
四边形ABCD是菱形，
AC⊥BD，OC=AO=4，
∠BOC=90°，
，
当点运动到BC中点时，
.
故答案为：C.
【分析】先根据图象得出AO=PO=4，BO=PO=2，再根据菱形的性质得出∠BOC=90°，然后根据勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.
二、填空题:本大题共6小题，每小题4分,共24分.
11．因式分解： .
【答案】
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
12．已知一次函数，当自变量时，函数的值可以是 (写出一个合理的值即可).
【答案】-3(答案不唯一，合理即可)
【解析】【解答】解：自变量 ，
当x=3.5时，y=-2×3.5+4=-3.
故答案为：-3(答案不唯一，合理即可).
【分析】根据自变量，选取一个符合条件的x的值代入计算即可.(答案不唯一，合理即可)
13．定义一种新运算*，规定运算法则为：*(均为整数，且).例：，则 .
【答案】8
【解析】【解答】解：*，
.
故答案为：8.
【分析】根据新定义运算法则列出常规式子，再根据含乘方的有理数的混合运算的运算法则计算即可.
14．围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写中的一处即可，位于棋盘的格点上)
【答案】A(答案不唯一，合理即可)
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知，放在A或C处可以使所得的对弈图是轴对称图形.
故答案为：A(答案不唯一，合理即可).
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此解答即可.
15．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系的图象，点在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.
【答案】能
【解析】【解答】解：CD=4m，点B（6，2.68），
OC=6-4=2m，
在中，当x=2时，
，
2.12>1.8，
可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能.
【分析】先求出OC=2m，再根据函数表达式求出当x=2时，y的值，与1.8m作比较即可解答.
16．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心，且圆心角，若，则阴影部分的面积是 .(结果用π表示)
【答案】
【解析】【解答】解：，，
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积计算公式，用扇形AOD的面积减去扇形BOC的面积即可解答.
三、解答题:本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过珵或演算步骤.
17．计算：.
【答案】解：
【解析】【分析】先将第一个二次根式化简，同时计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可.
18．解不等式组：
【答案】解：
由①得：
由②得：，
则不等式组的解集为.
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式的解集即可.
19．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
当时，原式.
【解析】【分析】先根据完全平方公式及平方差公式展开小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则算出最简结果，最后再把a、b的值代入计算即可.
20．马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知和圆上一点M.作法如下：
①以点为圆心，OM长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长MO交于点；
即点将的圆周三等分.
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）根据(1)画出的图形，连接若的半径为，则的周长为 cm.
【答案】（1）解：如图，点A，B，C将的圆周三等分；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图所示，设AB，CM交于点D，连接AM，
由题易知，AB⊥CM，
的半径为， MC是直径，△ABC是等边三角形，
∠CAM=90°，∠CMA=60°，MC=4cm，
，
∴
的周长为
故答案为：.
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤按图中给出的作法解答即可；
（2）设AB，Cm交于点D，连接AM，根据AB⊥CM，的半径为， MC是直径，利用特殊三角函数值求出AC的长，再计算周长即可.
21．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗?请说明理由.
【答案】（1）解：列表如下：
或画树状图如下：
共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有8种，
甲获胜.
（2）解：游戏规则对甲乙双方不公平
甲获胜乙获胜.
，
游戏规则对甲乙双方不公平.
【解析】【分析】（1）先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据树状图或表格求出乙获胜的概率，比较大小即可解答.
22．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪在AH两侧，，点与点相距(点在同一条直线上)，在D处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为.求风电塔筒AH的高度.(参考数据：.)
【答案】解：如图，连接DF，交AH于点.
由题意可得，，
，
.
在Rt中，，
.
在Rt中，，
【解析】【分析】连接DF，交AH于点，先证，进而可得DG=AG，在Rt中，利用∠AFG的正切三角函数值求得，再根据，求出AG的长，再计算AH的长即可.
四、解答题:本大题共5小题,共50分,解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分(单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值： ， ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好(填“甲”或“丙”)；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
【答案】（1）9.1；9.1
（2）甲
（3）解：推荐选手甲.理由：选手甲和选手乙的平均数均为9.1分，高于选手丙的平均数，所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛；又因为选手甲比选手乙的中位数高，而且选手甲的最低分高于选手乙的最低分，所以应该推荐选手甲参加市级比赛.
【解析】【解答】解：（1） 甲的平均数是：m= ×（9.2+8.8+9.3+8.4+9.5）=9.1，
把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，
中位数n=9.1；
故答案为：9.1，9.1；
（2） 由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．
故答案为：甲；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；据此求解即可；
（2）观察统计图，找出波动较小的即可得到甲发挥的稳定性更好；
（3）从平均数，中位数和稳定性等方向进行分析描述即可.
24．如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点.过点作轴的平行线分别交与的图象于C，D两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接AD，求的面积.
【答案】（1）解：∵将的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴y=ax+3，
与的图象交于点，
，，
解得，k=8
故一次函数的表达式为：；反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵CD∥x轴，CD上点B（0，2）
∴C、D的纵坐标都等于2.
当时，，
解得x=-2，
∴C(-2，2)
∴CB=2
当时，，
解得x=4，
∴D（4，2）
∴BD=4
过点作轴于点，交CD于点，
∴M（2，2），
∴MN=2，
【解析】【分析】（1）先根据一次函数图象的平移规律得到b=3，再把点A（2，4）分别代入一次函数和反比例函数表达式中，利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先根据点B（0，2） 可得点C、D的纵坐标都等于2，进而可求出C、D的坐标，得出CD的长，再根据三角形的面积公式计算即可.
25．如图，AB是的直径，，点在AD的延长线上，且.
（1）求证：BE是的切线；
（2）当的半径为时，求的值.
【答案】（1）证明：∵∠ADC=∠AEB，
∴CD∥BE，
∵，AB是圆O的直径，
∴AB⊥CD，
∴AB⊥BE，
∴BE是的切线；
（2）解：，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
.
∵弧AC=弧AC，
∴∠ABC=∠ADC，
又∠ADC=∠AEB，
∴∠AEB=∠ABC，
.
【解析】【分析】（1）由同位角相等，两直线平行得CD∥BE，由垂径定理的推论得AB⊥CD，再根据平行线的性质推出AB⊥BE，从而根据切线的判定定理可得结论；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理求出AC的长，由同弧所对的圆周角相等及已知推出∠AEB=∠ABC，再利用等角的同名三角函数值相等计算即可.
26．
（1）【模型建立】
如图1，已知和.用等式写出线段的数量关系，并说明理由.
（2）【模型应用】
如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，，.用等式写出线段的数量关系，并说明理由.
（3）【模型迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点在对角线BD上，点在边CD的延长线上，，.用等式写出线段的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：.理由如下：
又
即.
（2）解：.理由如下：
如图1，过点，点分别作于点于点.
由(1)可证得，得.
在正方形ABCD中，，
，
.
.
即.
（3）解：.理由如下：
如图2，过点，点分别作于点于点.
由(1)可证得，得.
在正方形ABCD中，，
.即.
【解析】【分析】（1）利用AAS证，得BE=CD，AE=BD，据此即可得出；
（2），过点，点分别作于点于点，由（1）可证得，得，根据正方形的性质得出，，即可得到.
（3），过点，点分别作于点于点，由（1）可证得，得，同（2）可得，据此即可得到.
27．如图1，抛物线交轴于两点，顶点为.点为OB的中点.
（1）求拋物线的表达式；
（2）过点C作，垂足为，交抛物线于点.求线段CE的长.
（3）点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，求的最小值.
【答案】（1）解：抛物线的顶点为，
.
交轴于点，
，
解得.
抛物线的表达式为：.
（2）如图1，过点作于点
，
.
点为OB的中点，
.
当时，.
.
（3）解：①如图2，当的顶点落在抛物线上时，
点F，C的纵坐标都等于.
解得：(舍)，.
.
②如图3，四边形OCFD是平行四边形，
.
.
连接，
四边形BCDF是平行四边形，.
作点关于OA的对称点，连接BM，交CF于点，交OA于点，连接DM，CM.
垂直平分.
当三点共线时，，
即的最小值等于CM的长.
∵点C是OB的中点，
∴
∴
∴
即的最小值为.
【解析】【分析】（1）由顶点为 可得，再把A（4，0）代入抛物线的表达式，利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）过点作于点G，由中点坐标公式求得点C坐标为，当时，代入抛物线的表达式求出EH的长，再用EH-CH即可求得CE的长；
（3）①根据平行四边形的性质可得点F，C的纵坐标都等于，将y=代入抛物线的表达式，解方程求出x的值，再结合题意作出取舍即可；
②连接CD，先根据平行四边形的性质证明BF=CD，作点关于OA的对称点，连接BM，交CF于点，交OA于点，连接DM，CM，可知当三点共线时，，此时BD+BF取最小值，分别求出CN、NM的长，再利用勾股定理计算即可.乙
甲
1
2
3
4
1

（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）

（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）

（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）

选手
统计量
甲
乙
丙
平均数
m
9.1
8.9
中位数
9.2
9.0
n