甘肃省白银市2024年中考数学试卷附真题解析

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1B．﹣4C．4D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，，4＞2＞1，
∴-4＜-2＜-1＜1＜4，
故答案为：B.
【分析】根据正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可.
2．如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：从正面看到的图形是：，
故答案为：C.
【分析】根据从正面看得到的正投影就是主视图即可判断.
3．若，则的补角为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
的补角为180°-55°=125°.
故答案为：D.
【分析】根据和为 180°的两个角互为补角求解即可.
4．计算：＝（ ）
A．2B．2a﹣bC．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据同分母分数的减法“同分母分式的减法，分母不变，分子相减”进行计算即可求解.
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，则AC的长为 （ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∠ABD=60°，
是等边三角形，
AO=AB=2，
AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等得到AO=BO=CO=DO，再证△ABO是等边三角形，得出AO=AB=2，进而可得AC=4.
6．如图，点在上，，垂足为，若，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∠CDO=90°，
，
∠O=2∠A=70°，
∠C=90°-70°=20°.
故答案为：A.
【分析】先根据垂直的定义得出∠CDO=90°，再根据圆周角定理得出∠O=2∠A=70°，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可.
7．如图1“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设中桌的长为a，小桌的长为b，
由图2可知，y=b+2x，a=b+x，a=3x，
b=2x，
y=4x.
故答案为：B.
【分析】设中桌的长为a，小桌的长为b，根据图2的桌面拼合方式， 得出等量关系y=b+2x，a=b+x，a=3x，变形即可得到答案.
8．近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016﹣2023年中国农村网络零售额情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016﹣2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【答案】D
【解析】【解答】解：根据统计图可得：8945＜12449＜13679＜17083＜17946＜20500＜21700＜24900，∴2023年中国农村网络零售额最高，2016年中国农村网络零售额最低，中国农村网络零售额持续增加，从2021年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元，故A、B、C选项说法都正确，不符合题意，D选项说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据统计图提供的信息逐项分析即可求解.
9．敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率.如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为(15，16)，那么有序数对记为(12，17)对应的田地面积为 （ ）
A．一亩八十步B．一亩二十步
C．半亩七十八步D．半亩八十四步
【答案】D
【解析】【解答】解：由A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为(15，16)， 可知 (12，17)对应的田地面积为半亩八十四步.
故答案为：D.
【分析】根据A区用有序数对记为(15，16)表示，可得横从上面从右向坐看，纵从右边从下往上看，据此找出(12，17)对应的位置即可求解.
10．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点的运动路程为x，PO的长为y，y与的函数图象如图2所示，当点运动到BC中点时，PO的长为 （ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知，当x=0时，AO=PO=4，
当点P运动到点B时，BO=PO=2，
四边形ABCD是菱形，
AC⊥BD，OC=AO=4，
∠BOC=90°，
，
当点运动到BC中点时，
.
故答案为：C.
【分析】先根据图象得出AO=PO=4，BO=PO=2，再根据菱形的性质得出∠BOC=90°，然后根据勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．因式分解：2x2﹣8= ．
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
12．已知一次函数y＝﹣2x+4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）．
【答案】-2（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵x＞2，
∴取x=3，则y=-2×3+4=-2，
故答案为：-2（答案不唯一）.
【分析】先根据自变量的取值范围，选择一个合适的x的值，代入求出其函数值即可.
13．定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ ．
【答案】8
【解析】【解答】解：（-2）*2＝（-2）2-2×（-2）=8，
故答案为：8.
【分析】根据新定义运算法则列出常规式子，再根据含乘方的有理数混合运算顺序进行计算即可求解.
14．围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写中的一处即可，位于棋盘的格点上)
【答案】A(答案不唯一，合理即可)
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知，放在A或C处可以使所得的对弈图是轴对称图形.
故答案为：A(答案不唯一，合理即可).
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此解答即可.
15．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】【解答】解：∵B（6，2.68），
∴OD=6，
∵CD=4米，
∴OC=OD-CD=2米，
在y＝-0.02x2+0.3x+1.6中，当x=2时，y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12，
∵2.12＞1.8，
故可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能.
【分析】先根据题意求出OC=2的值，从而将x=2代入函数解析式求出函数值，再与车的高度比较大小进行判断.
16．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心，且圆心角，若，则阴影部分的面积是 .(结果用π表示)
【答案】
【解析】【解答】解：，，
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积计算公式，用扇形AOD的面积减去扇形BOC的面积即可解答.
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：.
【答案】解：
【解析】【分析】先将第一个二次根式化简，同时计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可.
18．解不等式组：
【答案】解：
由①得：
由②得：，
则不等式组的解集为.
【解析】【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式的解集即可.
19．先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1．
【答案】解：原式＝[4a2+4ab+b2-（4a2-b2）]÷2b
＝（4a2+4ab+b2-4a2+b2）÷2b
＝（4ab+2b2）÷2b
＝2a+b，
当a＝2，b＝-1时，
原式＝2×2-1＝3．
【解析】【分析】先格局完全平方公式、平方差公式去小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则算出最简结果，最后将a、b的值代入化简结果计算即可.
20．马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知和圆上一点M.作法如下：
①以点为圆心，OM长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长MO交于点；
即点将的圆周三等分.
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）根据(1)画出的图形，连接若的半径为，则的周长为 cm.
【答案】（1）解：如图，点A，B，C将的圆周三等分；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图所示，设AB，CM交于点D，连接AM，
由题易知，AB⊥CM，
的半径为， MC是直径，△ABC是等边三角形，
∠CAM=90°，∠CMA=60°，MC=4cm，
，
∴
的周长为
故答案为：.
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤按图中给出的作法解答即可；
（2）设AB，Cm交于点D，连接AM，根据AB⊥CM，的半径为， MC是直径，利用特殊三角函数值求出AC的长，再计算周长即可.
21．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗?请说明理由.
【答案】（1）解：列表如下：
或画树状图如下：
共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有8种，
甲获胜.
（2）解：游戏规则对甲乙双方不公平
甲获胜乙获胜.
，
游戏规则对甲乙双方不公平.
【解析】【分析】（1）先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据树状图或表格求出乙获胜的概率，比较大小即可解答.
22．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔简AH的高度．（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈．）
【答案】解：连接DF交AH于点G，
由题意得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，
设DG＝x m，
∴FG＝DF-DG＝（182-x）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG•tan45°＝x（m），
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
∴m，
∴，
解得：x＝104，
∴AG＝104m，
∴AH＝AG+GH＝104+1.6＝105.6（m），
∴风电塔简AH的高度约为105.6m.
【解析】【分析】连接DF交AH于点G，则CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，设DG＝xm，则FG=（182-x）m，在Rt△ADG中用∠ADG的正切三角函数表示出AG的值，在Rt△AFG中，用∠AFG的正切函数表示出AG，即可列出方程，求得x的值，即可求解.
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分(单位：分，满分10分)进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值： ， ；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手 发挥的稳定性更好(填“甲”或“丙”)；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
【答案】（1）9.1；9.1
（2）甲
（3）解：推荐选手甲.理由：选手甲和选手乙的平均数均为9.1分，高于选手丙的平均数，所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛；又因为选手甲比选手乙的中位数高，而且选手甲的最低分高于选手乙的最低分，所以应该推荐选手甲参加市级比赛.
【解析】【解答】解：（1） 甲的平均数是：m= ×（9.2+8.8+9.3+8.4+9.5）=9.1，
把这些数从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4，
中位数n=9.1；
故答案为：9.1，9.1；
（2） 由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好．
故答案为：甲；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；据此求解即可；
（2）观察统计图，找出波动较小的即可得到甲发挥的稳定性更好；
（3）从平均数，中位数和稳定性等方向进行分析描述即可.
24．如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax+b的图象，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，4）．过点B（0，2）作x轴的平行线分别交y＝ax+b与y＝（x＞0）的图象于C，D两点．
（1）求一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的表达式；
（2）连接AD，求△ACD的面积．
【答案】（1）解：因为函数y＝ax+b的图象由函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度得到，
所以b＝3．
将点A坐标及b=3代入一次函数y=ax+b得，
2a+3＝4，
解得：，
所以一次函数解析式为：；
将点A坐标代入反比例函数y＝得，
k＝2×4＝8，
所以反比例函数解析式为；
（2）解：∵CD∥x轴，且CD上的点B（0，2），
∴点C、D的纵坐标都是2，
将y＝2代入得，
，
解得：x＝-2，
所以点C的坐标为（-2，2），
将y＝2代入得，x＝4，
所以点D的坐标为（4，2），
所以CD＝4-（-2）＝6，
所以．
【解析】【分析】（1）根据一次函数的平移得出b=3，根据待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式即可；
（2）先分别求出点C和点D的坐标，求出CD的值，再根据三角形面积计算公式计算面积.
25．如图，AB是⊙O的直径，，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
【答案】（1）证明：连接BD，OC，OD，如图：
∵，
∴BC＝BD，
∵OC＝OD，
∴点O、B在CD的垂直平分线上，
∴OB垂直平分CD，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴CD∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴AB＝2×2＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝3，
∴，
∴，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴．
【解析】【分析】（1）连接BD，OC，OD，根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得BC＝BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OB垂直平分CD；根据同位角相等，两直线平行，可得CD∥BE，根据两直线平行，同位角相等可得∠ABE＝∠AFD＝90°，根据经过直径的外端点并且垂直于这条直径的直线是圆的切线即可证明；
（2）先求出直径AB=4，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，根据锐角三角函数求得tan∠ABC的值，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝∠ABC，再结合已知推得∠AEB＝∠ABC，最后根据等角的同名三角函数值相等即可求解.
26．
（1）【模型建立】
如图1，已知和.用等式写出线段的数量关系，并说明理由.
（2）【模型应用】
如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，，.用等式写出线段的数量关系，并说明理由.
（3）【模型迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点在对角线BD上，点在边CD的延长线上，，.用等式写出线段的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：.理由如下：
又
即.
（2）解：.理由如下：
如图1，过点，点分别作于点于点.
由(1)可证得，得.
在正方形ABCD中，，
，
.
.
即.
（3）解：.理由如下：
如图2，过点，点分别作于点于点.
由(1)可证得，得.
在正方形ABCD中，，
.即.
【解析】【分析】（1）利用AAS证，得BE=CD，AE=BD，据此即可得出；
（2），过点，点分别作于点于点，由（1）可证得，得，根据正方形的性质得出，，即可得到.
（3），过点，点分别作于点于点，由（1）可证得，得，同（2）可得，据此即可得到.
27．如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
【答案】（1）解：由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
抛物线y＝a（x-h）2+k的表达式为.
（2）解：由（1）知，，
由中点坐标公式得点，
当x＝1时，，
∴，
则.
（3）解：①由（2）知，，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点；
②设点D（m，0），则点，
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点，连接DF'，
则BD+BF＝BD+BF'≥DF'，当D、B、F'共线时，BD+BF＝DF'为最小，
设直线DF'的表达式为：，
将D（m，0），代入，
即，
解得：，
由定点F'、D的坐标得，直线DF'的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则点，点，
则BD+BF最小值为：．
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标，设顶点坐标式，根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点，将x=1代入函数解析式，求出点E的坐标，即可求解；
（3）①将点C的纵坐标代入抛物线解析式，算出对应的自变量的值，求出点F的坐标即可；
②设点D（m，0），则，过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F'，得出点F'的坐标，连接DF'，得出当D、B、F'共线时，BD+BF＝DF'为最小，待定系数法求出直线DF'的表达式，将点B的坐标代入，求出m的值，即可得出点F'和D的坐标，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.乙
甲
1
2
3
4
1

（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）

（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）

（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）

选手
统计量
甲
乙
丙
平均数
m
9.1
8.9
中位数
9.2
9.0
n