云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2024-2025学年高一下学期开学检测数学试题（解析版）

这是一份云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2024-2025学年高一下学期开学检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：孙晓栋 审题人：王泽娟
（考试时间：120分钟 总分：150分）
诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用两角和余弦公式化简计算即可.
【详解】.
故选：C
2. 已知函数则（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式结合函数概念求解函数值即可.
【详解】因为函数，所以，
即．
故选：B.
3. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合B，进而根据包含关系以及集合见的运算逐项分析判断.
【详解】由题可知：，
显然不是的子集，不是的子集，故AB错误；
且，C错误；
因为，所以，D正确.
故选：D.
4. 若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断可.
【详解】因为，
所以，
故选：A
5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可得正切值与终边上一点的坐标关系，再利用诱导公式和特殊角三角函数值，即可求解.
【详解】由角的终边经过点，则，
故选：B.
6. “打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（参考数据：，，）（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】利用条件建立指数函数模型，根据指数与对数的运算法则计算即可.
【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为，
由题意得，即，得．
因为，所以，即．
故选：A
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的零点排除选项，结合的变化趋势，推出的变化趋势，推出结果即可．
【详解】函数的定义域为，
令，即，解得或，
所以函数有个零点、，排除选项A，B；
当时且，，的增长速度更快，
所以，故排除D.
故选：C．
8. 已知函数，若对任意的正数，，满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对任意的，，所以函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
又因为，且函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，
对任意的正数，，满足，则，所以，
即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为8.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. “”是“”的充要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断B的正误，根据两者之间的推出关系可判断CD的正误.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，故且，故，故B正确；
对于C，当时，也成立，而时，成立，
故是的充分不必要条件，故C错误；
对于D，当时，，故，
取，则，但不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：BD.
10. 对于函数，，下列结论正确的有（ ）
A. 当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B. 当时，的图像关于点中心对称
C. 当时，在区间上是单调函数
D. 若恒成立，则的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的平移规律，以及诱导公式判断A，根据代入法，结合三角函数的性质判断BC，由函数的最值，求的取值集合，即可判断D.
【详解】A.的图象向右平移个单位得到，故A正确；
B.时，，，故B正确；
C.当时，，此时函数先增后减，故C错误；
D.由条件可知，时，函数取得最大值，即,
此时，且，所以的最小值为2，故D正确.
故选：ABD
11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 在上为减函数D. 方程有且仅有5个实数根
【答案】AD
【解析】
【分析】利用赋值法可求判断A；由已知可得，进而可求判断B；作出函数图象可判断C；在同一坐标系下作出的图象，可判断D.
【详解】令，由，可得，
所以，故A正确；
由，所以，所以是的一个周期，
所以，故B错误；
当，，由，
可得，
再结合周期性，作出图象如图所示：
可知在上为增函数，故C错误；
由方程，可得与的交点个数，又，
结合与的图象，可知两函数有且只有5个交点，
所以方程有且仅有5个实数根，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数的定义域是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可.
【详解】因为函数为幂函数，则，即，
解得或，
当时，函数的定义域为，合乎题意；
当时，函数的定义域为，舍去.
综上所述，.
故答案为:
13. 已知函数，则______．
【答案】##0.3.
【解析】
【分析】利用弦化切公式和代换法，可化为正切再求值.
【详解】由函数，
当时，有，
故答案为：
14. 已知函数若存在，使得，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数中二次函数的图象与性质及指数函数的图象与性质，可确定满足的条件，据此得出取值范围.
【详解】如图，
设，则直线与的图象有3个交点，
因为当时，，
所以时直线与图象有2个交点，
且，
当时，，
所以当，即时，
存在，使得，
所以的取值范围是．
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15 已知集合.
（1）当时，求；
（2）已知，求实数的取值范围.
【答案】（1），或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据求出集合，当时求出集合，即可求；
（2）由有，分或两种情况求解即可.
【小问1详解】
因为，或，
当时，，
所以，或；
【小问2详解】
因为，所以，当时，，解得；
当时，或
解得，或，
综上，实数的取值范围为或.
16. （1）计算：；
（2）化简求值；
（3）设，为锐角，且，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】（1）利用指、对数运算性质进行求解即可；
（2）利用构造正切的两角和公式进行求解即可；
（3）为了便于求两角和的大小，最好利用两角和的余弦公式进行求解即可．
【详解】（1）
;
（2）;
（3）由，为锐角， ，，
利用平方关系可得：，，
则，
因为，为锐角，所以.
17. 一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明，在一节课内，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分．根据研究得知：当注意力指数大于80时听课效果最佳．
（1）求的函数解析式；
（2）在一节课的什么时间段内学生听课效果最佳？请说明理由．
【答案】（1），
（2），理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用点的坐标代入解析式，待定系数法求出分段函数.
（2）根据题意分别计算出当时和当时的函数值，得出结论.
【小问1详解】
由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数的表达式为．代入点，
得，
则可得．
又当时，曲线是函数且图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，
则．
【小问2详解】
由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳，
当时，令，解得：；
当时，令，解得：．
综上可得，．
故在一节课的时间段内学生听课效果最佳．
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴；
（2）若函数在上不单调，求的取值范围；
（3）若，，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）， 对称轴;
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴；
（2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围；
（3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围.
【小问1详解】
函数
,
所以函数的最小正周期，
由，所以函数图象的对称轴为；
【小问2详解】
由，
可得函数在区间上单调递增，
由于区间里面一定有，而，
所以函数在上不单调的等价条件是，
即满足或，解得：，
故的取值范围；
【小问3详解】
当时，，则，
所以函数的值域为，
再由，，都有恒成立，
则有，即，
故实数的取值范围．
19. 已知偶函数和奇函数满足：．
（1）求解析式；
（2）解不等式；
（3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围．
【答案】（1），．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性构造方程，解方程组得解；
（2）利用对数函数单调性解不等式得解；
（3）利用复合函数的单调性求出函数最值，原问题可化为，列出不等式即可得解.
【小问1详解】
为奇函数，，
为偶函数，．
，①
，②
联立①②得，，
．
【小问2详解】
．
，
，，
不等式的解集为．
小问3详解】
，
当时，令为增函数，
由在上单调递增知，知在单调递增，
所以最小值为．
，
由在上单调递减，单调递增，
知在单调递减，的最大值为．
当时，．
存在实数满足，
，
．
，
在取到最大值，，
，解得，或．
综上所述，的取值范围为．