云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等比数列满足，则q＝（ ）
A. 1B. －1C. 3D. －3
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.
【详解】因为，故可得；
解得.
故选：C.
2. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
3. 已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可.
【详解】如图所示：，，
由椭圆定义得.①
在中，.②
由①②得，则，
所以椭圆C的方程为.
故选：C
【点睛】本题考查椭圆方程的求解.
4. 正方体中，点是侧面的中心，若，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算直接计算即可.
【详解】
，
则、、，则，
故选：B
5. 已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.
【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点A的坐标为，

，切点为B则，
.
故选:C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
6. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）．
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．
【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，
则有，即，
整理得，解得，
所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
故选：B.
7. 已知函数在处有极小值，则c的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 2或6
【答案】A
【解析】
【分析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.
【详解】由题意，，则，所以或.
若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；
若c=6，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以在处有极大值，不满足题意；
综上：c=2.
故选：A.
8. 已知，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理可得，再结合双曲线的定义可得，可得求，，再利用，即可求出双曲线的离心率的取值范围.
【详解】在中，，由正弦定理得，，
又点是双曲线上在第一象限内的一点，所以，所以，，
在中，由，得，即，所以，
又，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求解离心率取值范围的关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，本题是利用点是双曲线上在第一象限内的一点，结合三角形两边之和大于第三边，构造不等式.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）

A. 当时，取得极小值
B. 在上单调递增
C. 当时，取得极大值
D. 在上不具备单调性
【答案】AC
【解析】
【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，再由极值的定义判断的极值，由此判断四个选项即可.
【详解】由导函数的图象可知，
当时，，则单调递减；
当时，；
当时，，则单调递增；
当时，；
当时，，则单调递减；
当时，，
所以当时，取得极小值，故选项A正确；
在上有减有增，故选项B错误；
当时，取得极大值，故选项C正确；
在上单调递增，故选项D错误．
故选：
10. （多选）已知抛物线（）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D．若，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先根据直线斜率得出则为等边三角形，进而得出即可判断A，根据平行及中点得出B，应用图形特征判断C，再根据弦长关系判断D.
【详解】如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接，
设抛物线C的准线交x轴于点P，则，
因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为，

因为轴，所以，由抛物线的定义可知，，
则为等边三角形，所以，则，
所以，得，故A正确；
因为，且，所以为的中点，则，故B正确；
因为，所以，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误．
故选：ABC.
11. 如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ）
A. 存在唯一点，使得
B. 存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值
C. 若，则三棱锥外接球的表面积为
D. 若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分
【答案】BCD
【解析】
【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点位置，判断选项B；为中点时，求三棱锥外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点的轨迹，判断选项D.
【详解】对于A选项：正方形中，有，
正方体中有平面，平面，，
又，平面，平面，
只要平面，就有，在线段上，有无数个点，A选项错误；
对于B选项：平面，直线与平面所成的角为，，取到最小值时，最大，
此时点与点重合，B选项正确；
对于C选项：若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，C选项正确；
对于D选项：以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，则有，，
有，化简得，是正方形内部(含边界)的一个动点，
所以的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设直线，的方向向量分别为，，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可.
【详解】由已知，即，
则，
解得，
故答案为：.
13. 圆心在直线上，且过点，的圆的一般方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆心坐标为，由，可求得，进而可求得圆心与半径，可求圆的方程.
【详解】由于圆心在直线上,可设圆心坐标为，
再根据圆过，，所以，
可得，
解得，可得圆心为，半径为，
故所求的圆的方程为.
故答案为：.
14. 若曲线有两条过坐标原点切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求得，然后可得通项公式；
（2）利用并项求和法可求．
【小问1详解】
因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为，
又因为，，，成等比数列.
所以，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
.
16. 在边长为2的菱形中，，点E是边的中点（如图1），将△沿折起到△的位置，连接，得到四棱锥（如图2）．
（1）证明：平面；
（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质有，再应用线面垂直的判定即可证结论.
（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求直线的方向向量、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示，求线面角的正弦值.
【小问1详解】
由题设，为菱形，E是的中点且，
∴，即，又，
∴面.
【小问2详解】
由，结合（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，
∴，
若是面的一个法向量，则，令，则，
∴，故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求在上的最大值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，可得出的表达式.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，则.
当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；
当时，由，可得，由，可得.
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
解：由（1）知，当时，函数在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，此时，.
综上所述，.
18. 设椭圆的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为.证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，再结合，可求出，从而可求得椭圆的方程，
（2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或进而可求出定点，当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可，
【小问1详解】
由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，.
又，由题知，
则，且，
则.
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点.
19. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.
（1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
（2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；
（3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答.
（2）根据“1跃点”函数的定义，列出方程，求出该方程在上有两个不同的解的实数的范围作答.
（3）将问题转化为方程，即有一个实数解，再构造函数，借助导数求解作答.
【小问1详解】
函数的导函数为，
因为函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
而，因此，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
函数的导函数为，
依题意，方程，即上有两个不等实根，
令，因此函数在上有两个不同零点，
则，解得或，
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
函数的导函数为，
因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，
则方程，显然，所以上恰有一个实数根，
令，求导得，
由，得；由，得且，，
于是函数在上单调递减， 恒成立，函数的取值集合是，
在上单调递减，函数的取值集合是，
在上单调递增，函数的取值集合是，函数的图象，如图，

当时，直线与函数的图象有唯一公共点，
即方程恰有一个实数根，从而，
所以b的取值范围为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.