四川省新高考（大数据联盟）2025届高三第二次联合诊断性考试数学试题

这是一份四川省新高考（大数据联盟）2025届高三第二次联合诊断性考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A．2B．C．D．
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A．B．
C．D．
7．已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线的一条渐近线交于点．为坐标原点，若为正三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，且，则（ ）
A．4040B．4044C．4046D．4048
二、多选题（本大题共3小题）
9．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：
假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（ ）
A．
B．当胸径时，树高的预测值为14
C．表中的树高观测数据的40%分位数为10
D．当胸径时，树高的残差为
10．已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
11．已知，两点的坐标分别为，，为坐标平面内的动点，直线，的斜率之和为定值．设动点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹关于直线对称
B．轨迹关于原点对称
C．当时，轨迹为一条直线
D．当时，轨迹存在渐近线
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
13．现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为 ．
14．在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧棱平面，平面与平面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的体积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求角；
(2)若，且，求的面积．
16．某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表：
(1)根据小概率的独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联？
(2)设事件“选到的学生是男生”，事件“选到的学生的测试成绩为‘良好’”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小．
其中，表示事件发生的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
17．如图，在三棱台中，，，点，分别为，的中点，平面，．
(1)若平面平面，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设是过点的动直线．
①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值．
19．已知函数．
(1)若为增函数，求的取值范围；
(2)记的导函数为，若，，求的取值范围；
(3)定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”．设数列满足，，证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，所以或.
故选：C.
2．【答案】B
【详解】因为，所以，整理得.
故选：B.
3．【答案】C
【详解】由题意可知：命题“”的否定是“”.
故选：C.
4．【答案】C
【详解】依题意，，，
所以.
故选：C
5．【答案】D
【详解】，
所以复数所对应的点位于第四象限.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】当时，，即，而，
所以
，满足上式，
所以所求通项公式为.
故选：C
7．【答案】B
【详解】
设，，为第一象限的点，
由题意得双曲线渐近线方程为，
因为为正三角形，所以，则，解得，
所以双曲线方程为.
故选：B.
8．【答案】D
【详解】由为奇函数，得，即，
由为偶函数，则，即，即，
则，即，于是，
因此，函数是周期为4的函数，
由，，得，
所以.
故选：D
9．【答案】AD
【详解】选项 A ：把点代入经验回归方程为，则，故A正确；
选项B：当时，，故 B 错误；
选项 C ：数据排序后为共5个数据， 由，
的分位数对应第2和第3个数据的平均值：，故 C 错误；
选项 D ：当 时，预测值，残差为，故 D 正确.
故选：AD.
10．【答案】ACD
【详解】因为函数，所以，
对于A：函数的最小正周期为，所以，所以，A选项正确；
对于B：函数的最大值为，B选项错误；
对于C：，计算得，函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，C选项正确；
对于D：，所以单调递增，所以函数在上单调递增，D选项正确.
故选：ACD.
11．【答案】BD
【详解】设，因为，两点的坐标分别为，，
所以，所以由题意得，
化简整理得①，
对于A，用代入方程①得，与原方程不一致，
所以轨迹不关于直线对称，故A错误；
对于B，用代入方程①得，与原方程一致，
故轨迹关于原点对称，故B正确；
对于C，当时，轨迹方程为，所以或，
所以轨迹为直线，或直线中去掉，的部分，故C错误；
对于D，当时，轨迹方程化为，
当或时，，即是渐近线，故D正确.
故选：BD.
12．【答案】
【详解】已知函数，则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得.
故答案为：
13．【答案】/0.375
【详解】设男生甲和女生乙至少有一人被选派为事件，甲乙两人均被选派为事件，
，，
所以.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】
取中点，连接，
因为平面，三角形为等边三角形，平面，
所以，所以，，，，
三角形外接圆半径，
为平面与平面所成角，
在直角三角形中，，则，，
如图，三棱锥可补成三棱柱，则三棱锥的外接球和三棱柱的外接球相同，
所以三棱锥得外接球半径，
所以三棱锥外接球体积为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以；
（2）因为，且，所以由余弦定理，
可得，所以，，
所以的面积为．
16．【答案】(1)认为了解安全知识测试成绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于
(2)
【详解】（1）零假设为：该校学生了解安全知识测试成绩与性别没有关联.
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，可以推断成立，
即认为了解安全知识测试成绩与性别有关，此推断犯错误的概率小于.
（2）因为，，所以，
因为，所以，
因为，所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为为棱台，所以，
因为分别为的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为平面平面，平面，所以.
（2）
如图，以为原点，分别以为轴，过点垂直平面向上的方向为轴建系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】(1)
(2)①存在，
②
【详解】（1）
设，，则
因为，所以，整理得，
代入 中得，整理得，
所以曲线的方程为.
（2）①的直线方程为，整理得，
如图，，与椭圆相切于点，当在如图所示的位置时，点到直线的距离最小，
设：，
联立得，
，解得或-5（舍去），
则，解得，则，
所以存在点到直线的距离最小，坐标为.
②
设的方程为，，，则，
联立得，
，解得或，
则，，
，
直线的方程为，令得，
所以，则点到直线的距离，
，
令，则，
当且仅当，即，时等号成立，
所以面积的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）已知函数．
若为增函数，则，
即对任意恒成立，
令，则，令，解得，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
故，故.
故的取值范围为.
（2），，
由题意，任意，，
即对任意恒成立，
设，其中，
当时，
，
，，
由，则，则，又，
可得，所以，
即在上单调递增，所以，
且，
要使对任意恒成立，则.
故的取值范围为.
（3）当时，，
设，则，
当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
所以，则有，当且仅当时等号成立.
所以对任意恒成立，
由，,其中，
所以，且，
则当时，
；
又当时，成立；
综上所述，任意，都有，
故数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”．胸径
8
9
10
11
12
树高
8.2
10
11
12
13.8
性别
安全知识测试成绩
合计
不够良好
良好
男
800
300
1100
女
700
200
900
合计
1500
500
2000
0.15
0.10
0.05
0.010
2.072
2.706
3.841
6.635