山东省日照市2024−2025学年高二上学期1月期末校际联合考试数学试题

这是一份山东省日照市2024−2025学年高二上学期1月期末校际联合考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简
A．B．C．D．
3．已知之间的一组数据：
若与满足回归方程，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．或1D．
5．如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．
6．为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ）
A．12种B．16种C．20种D．24种
8．已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
10．下列选项中正确的有（ ）
A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
B．
C．已知随机变量服从正态分布，则
D．若数据的方差为8，则数据的方差为2
11．如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
D．若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数是 ．（用数字作答）
13．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是 ．
14．如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆经过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点与圆相切的直线方程.
16．为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
(1)在犯错误概率不超过的前提下，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(2)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列．
参考数据：，其中．
附表：
17．如图，在三棱锥中，为等边三角形，是的中点，，平面．
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)若平面于点，求二面角的余弦值．
18．为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生．
(1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率；
(2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关．
在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为．
（ⅰ）求随机变量的分布列；
（ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系．
19．已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)设是曲线上不同的两点，是的中点，直线的斜率分别为．证明：为定值；
(3)直线与曲线的右支交于点（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点；过点且斜率4为的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为抛物线，所以
由抛物抛物线焦点坐标公式可知，
焦点坐标是．
故选:A
2．【答案】A
【详解】在平行六面体，连接AC，如图，
则,
故选A．
3．【答案】B
【详解】由表可得，
因为线性回归方程过样本中心点，
则，解得.
故选：B.
4．【答案】C
【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解.
【详解】已知直线与直线平行，
则当且仅当，解得或.
故选C.
5．【答案】D
【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示，
则，
可得，
设平面的一个法向量为，则，
设，则，则，
所以点C到平面的距离为.
故选：D．
6．【答案】C
【详解】设事件“从组中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”，
则，，，
则.
故选：C.
7．【答案】B
【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，
共有个位置可以建设桥梁，
从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法，
但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意，
故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案.
故选：B.
8．【答案】B
【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M，
连接，因为为正三角形，，
所以M为 的中点，所以，
故 ，易知 ，
所以， ，由椭圆的定义知 ，
即，得 .
故选：B.
9．【答案】BD
【详解】A中，令，则，故A错误；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，故B正确；
C中，易知的虚部为，故C错误；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为，
所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选：BD
10．【答案】BD
【详解】对于选项A：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：随机变量服从正态分布，
则，故C错误；
对于选项D：设数据，，，的方差为，因为数据，，，的方差为8，
则，解得，故D正确．
故选：BD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，平面，即为到直线的距离，
在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，
∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确；
对于B，若，则,
可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，
其面积为，故B正确；
对于C，与平面所成的角为，则，可得，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故C错误；
对于D，如图，建立空间直角坐标系，
，
设，则，，
因为，
化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；
故选：ABD﹒
12．【答案】
【详解】的展开式的通项公式为，
令可得
所以的展开式中的系数是
故答案为：
13．【答案】9
【详解】由题意可知：，且，
则，可得，
由题意可知：，
所以随机变量的方差.
故答案为：9.
14．【答案】
【详解】，设直线为，，
联立与可得，
则，则，
故，解得，
故，解得，
故，
如图，以为坐标原点，为轴，在平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
过作平面于，过作于，连接，
由于轴，且轴，，故轴平面，
平面，故轴，则
由于在直角坐标系中，
故，
因此在直角三角形中，，
因此在空间直角坐标系中，，
故，
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)和
【详解】（1）设圆的标准方程为，
由题意得，
所以圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，符合题意，
当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为，
即，圆心到该直线的距离为，
即，解得，
此时直线方程为，
故所求直线方程为和.
16．【答案】(1)可以认为购买电动汽车与车主性别有关
(2)分布列见解析
【详解】（1）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据得：，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为购买电动汽车与车主性别有关.
（2）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人，
则的可能值为，可得：
，
所以的分布列为：
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为等边三角形，是的中点，则，
且平面，
以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为平面，则直线的方向向量可以为，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
由题意可知：平面的法向量可以为，
则，
由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
18．【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见详解；（ⅱ），随机变量之间具有负相关关系
【详解】（1）记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件A，样本空间为，
则，，
所以.
（2）由题意可知：随机变量的可能取值为0,1,2,4，
则，
，
所以随机变量的分布列为
由题意可知：，即，
因为，则，
令，
可知随机变量的可能取值为，
则，
可得随机变量的分布列为
可得，
因为，所以随机变量之间具有负相关关系.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
因为，，
则，
可知动点的轨迹为是以为焦点的双曲线，且，则，
所以曲线的方程为.
（2）设，，
因为M，N为双曲线C上的两点，所以，
两式相减得，整理得，
则，得证.
（3）设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，，
联立，消去y并整理得，
因为该方程有两个正根，则，解得，或（舍）
由韦达定理得，
直线的方程为，
因为，即，①
直线的方程为，
因为，即，②
联立①②，两式相加得，两式相减得，
因为，
则，
，
所以，
则都在直线上，故共线．1
2
3
4
5.5
4
3.5
3
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
0
1
2
4
0