辽宁省七校协作体2024-2025学年高三下学期3月联考数学试题（解析版）

这是一份辽宁省七校协作体2024-2025学年高三下学期3月联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数定义域可化简集合B，然后由交集定义可得答案.
【详解】.
则.
故选：B
2. 已知i为虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求解即可.
【详解】解：因为，
所以.
故选：A
3. 已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则（ ）
A. 0.28B. 0.56C. 0.34D. 0.48
【答案】B
【解析】
【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参.
【详解】因为y关于x的经验回归方程为，
所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值，
所以，
所以.
故选：B.
4. 若直线：与直线：平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，所以，
所以直线：即，
所以这两条直线间的距离为.
故选：B.
5. 已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列列方程，由此求得的值.
【详解】由于，
若，则，
而，则，所以不符合题意.
当且时，，
即，
即，
则.
故选：A
6. 记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】在中，由及正弦定理，得
，则，
而，则，两边平方整理得，而，
于是，，因此为直角三角形；
反之，为直角三角形，或或，
所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确.
故选：B
7. 2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由独立重复事件概率公式即可求解；
【详解】由题意“莎头”组合以获胜，即前四局胜三局，负一局，第五局获胜，
所以获胜概率为：，
故选：D
8. 已知过点的直线l与抛物线交于点A，B两点.若A，B的横坐标分别为.则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程，消去并写出韦达定理，代入所求代数式，可得答案.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，
联立可得，消去可得，
由，
则，，
所以.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用面面平行性质可得A正确，再由线面垂直、面面垂直性质可得B正确，根据线面平行性质可判断C错误，D正确.
【详解】对于A，根据线面垂直的性质可得若，则，即A正确；
对于B，易知若可得或，又可知，即B正确；
对于C，若，则或，因此C错误；
对于D，如果直线平行于平面和，且和的交线为，那么直线必须平行于；
假设不平行于，它必将与其中一个平面相交，这与平行于两个平面的条件相互矛盾，
所以若，则，故D正确。
故选：ABD
10. 设正实数m，n满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为2
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解.
【详解】由，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为，故A正确；
由，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为2，故B正确；
由，当且仅当时等号成立，
则的最大值为1，故C错误；
由，
当且仅当时等号成立，
则的最小值为2，故D错误.
故选：AB.
11. 已知函数，则（ ）
A. 是的一个周期
B. 是非奇非偶函数
C. 的最小值为
D. 关于x的方程有无数个实数解
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知结合三角函数的周期性检验，可得A的正误；结合三角函数的奇偶性检验，可得B的正误；根据三角函数取得最值得条件检验，可得C的正误；先对方程进行化简，然后结合正弦函数的周期性与对称性，可得D的正误.
【详解】对于A，由
，则不是函数的一个周期，故A错误；
对于B，由，则其定义域为，
因为，
所以函数是非奇非偶函数，故B正确；
对于C，，当且仅当，，等号成立；
，当且仅当，，等号成立，
由，则，故C错误；
对于D，由，
则，
可得，整理可得，
解得或，，
化简可得或，，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量与服从正态分布，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由正态分布的特征求解即可.
【详解】解：设，
则，
所以，
又因为，
所以，
解得.
故答案：
13. 若非零向量与单位向量共线，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线得，将两边同时平方，化简求出即可求解.
【详解】因为非零向量与单位向量共线，则，且，
因为，则，即，
整理得，解得（舍）或，
所以.
故答案为：.
14. 如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则______，的最小值为______.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据体积关系可得的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得.
【详解】因为，则，
记，
因为，即。
又因为，
当且仅当，即时，取等号.
所以a的最小值为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
（2）若在处有极值，求a与b的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数求得切线斜率，由函数解析式求得切点，根据切线方程，建立方程组，可得答案；
（2）由函数解析式求导，根据极值与导数的关系，结合函数解析式，建立方程组，可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，，
因为切线方程为，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
函数在处有极值
且或
恒成立，此时函数无极值点，
此时1是极值点，满足题意，
所以.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，M为棱PC的中点.
（1）证明：平面PAD；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线与平行四边形的性质，可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
取的中点，连接，如图所示：
为棱的中点，，
，
四边形是平行四边形，，
又平面平面，
平面.
【小问2详解】
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又，平面，
，又，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图：
则，
为棱的中点，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，,
平面的一个法向量为，
，
则二面角的正弦值为.
17. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：
在上述样本所有使用3种AI大模型40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
用频率估计概率.
（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；
（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）用样本频率估计总体概率即可求解；
（2）用样本频率估计概率，求出“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”的概率为，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解；
（3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出的数学期望，再比较大小即可.
【小问1详解】
记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，
则估计.
【小问2详解】
记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”，
根据题中数据，.
的可能取值为，
，
，
．
.
的分布列为
.
小问3详解】
由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120，
则易求，
，故.
18. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求C的方程；
（2）若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程；
（3）椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与外接圆的半径分别为，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入方程可得，结合离心率算出a、b即可求解；
（2）设l的方程为，联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求解即可；
（3）设直线PA的方程为，直线PB的方程为，进而求出，再由正弦定理知，，再结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，将代入椭圆方程得，
又，解得，
故椭圆的方程为
【小问2详解】
设l的方程为，则.
联立方程组，整理得，
则，即，
所以，
则，
解得，满足题设，
所以l的方程为.
【小问3详解】
设直线PA的方程为，则直线PB的方程为.
令，得，同理得，则.
在中，由正弦定理知，
同理可得.
因为，所以，
从而，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数.
（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项积为，即，求；
（3）在（2）的条件下，记，求数列的前n项和，并求使的n的最小值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3），n的最小值为2025.
【解析】
【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义列方程，再结合对于运算以及等比数列的知识来证得结论成立.
（2）先求得，然后结合对数运算、等比数列前项和公式来求得.
（3）先求得，利用分组求和法求得，由此化简不等式来求得的最小值.
【小问1详解】
由题意得：，即，则是“平方递推数列”.
对两边取对数得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，
.
【小问3详解】
，
，
又，即，
又，所以.
【点睛】思路点睛：遇到证明数列性质的问题，先根据已知条件找到数列相邻两项的关系，再通过变形和相关定义进行证明.
求对数形式的数列前项积的对数，先将其转化为对数的和，再结合数列通项和求和公式计算.
对于由等差数列和等比数列组成的数列求和，采用分组求和法，求解不等式时结合数列特点和取值范围确定的值.使用AI大模型的种数
性别
0
1
2
3
4
男
4
27
23
16
10
女
6
48
27
24
15
AI大模型种类
A
B
C
D
人次
32
30
30
28
0
1
2
3