河北省承德市2024−2025学年高二上学期期末数学试题

这是一份河北省承德市2024−2025学年高二上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列，则该数列的第211项为（ ）
A．B．421C．D．423
2．已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A．B．10C．D．100
3．已知数列满足，其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．若直线与互相平行，则（ ）
A．B．3C．或3D．
5．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（ ）
A．210B．209C．211D．207
6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线l：与双曲线C的右支交于点P，若的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则单调递增B．若，则单调递增
C．可能为等差数列D．可能为等比数列
10．已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A．直线与圆相离
B．过点的直线被圆截得的弦长的最小值为
C．
D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若平面，则点Q的轨迹长度为
C．存在平面
D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 .
13．在空间四边形OABC中，，，，且，，则 ．（用，，作基底）
14．若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．
16．已知等差数列的公差为整数，其前n项和为，若，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
17．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角的平面角为，如图2.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列.已知数列.
(1)求；
(2)求；
(3)求数列的前项和.
参考答案
1．【答案】B
【详解】该数列的通项公式为，
所以.
故选：B
2．【答案】B
【详解】由题意得，则，
故选：B.
3．【答案】C
【详解】因为是周期为4的周期数列，且，
所以，则.
故选：C
4．【答案】A
【详解】由题意知，所以或.
当时，两直线重合，不符合题意；
当时，两直线平行.
故选：A
5．【答案】B
【详解】因为，
所以，则.
故选：B.
6．【答案】B
【详解】因为左焦点，所以直线过点，
由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为，
则，
所以，设，
则，解得.
又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为，
因为直线过点，设圆心到直线的距离为，
则，解得，
又，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B
7．【答案】A
【详解】由，得为的中点，又坐标原点为的中点，则，
于是轴，，则，
因此，即，
整理得，则，而，所以.
故选：A
8．【答案】A
【详解】在中，，则，即，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，于是，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
于是，得，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：A
9．【答案】AD
【详解】等差数列的单调性只与公差有关，与首项无关，
若，则单调递减，若，则单调递增，故A正确.
在等比数列中，若时单调递减，故B不正确.
设，则，
所以，
因为，所以不为常数，故C不正确.
若，则仍为等比数列，所以D正确.
故选：AD
10．【答案】ACD
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确；
因为点在圆内部，且，所以过点的直线被圆截得的弦长的最小值为，故B不正确；
因为圆心到直线的距离，所以，故C正确；
从点向圆引切线，设切点为，连接，则，则，
易知当时，取得最小值，由A知，即圆心到直线的距离7，此时取得最小值，
即，故D正确.
故选：ACD
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由，得的面积为定值，
由平面平面，得三棱锥的高为定值2，
，A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，，
则，令，得，
设，，
，，则，
由平面，
得，
即点的轨迹方程为，令，得；令，得.
又点在底面内，
因此点的轨迹长度即为两点间的距离，B正确；
对于C，若存在平面，则，由，
得，，因此不存在平面，C错误；
对于D，由平面，得点到平面的距离为定值，
而，则，
而，则该球的半径，
截面圆的半径满足，
则截面面积的取值范围为，D正确.
故选：ABD
12．【答案】18
【详解】因为，所以，
可得，
因为，，所以，或，
因为，所以舍去，故.
故答案为：.
13．【答案】
【详解】在空间四边形OABC中，，且，
所以
.
故答案为：
14．【答案】 6
【详解】由题意知，小于等于9且与9互质的正整数有，共6个，
所以；
小于等于的正整数有，
与不互质的数是2的倍数，即，共个，
所以与互质的数有个，即；
小于等于的正整数有，
与不互质的数是3倍数，即，共个，
所以与互质的数有个，即；
所以，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
故答案为：6；
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，，由线段的中点坐标为，得，
则，两式相减得，整理得，
因此直线的斜率，其方程为，即，
所以直线的方程为.

16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，
得，
又，则，解得，而，
所以，数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，.
在梯形中，可知，所以，为正三角形，所以，.
因为，且，平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：由（1）知二面角的平面角为，即.
如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得.
设平面的法向量为，因为，，
所以令，得.
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】(1)；
(2)过定点，.
【详解】（1）依题意，，由点在椭圆上，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则，
由消去整理得，
则，直线的方程为，
由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上，
令，得
，
所以直线过定点.
19．【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为数列经每一次扩充后是在原数列的相邻两项中增加一项，
所以经第次扩充后增加的项数为，
所以，所以.
因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，所以.
设第次扩充后数列的各项为，则+2.
因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以，
所以.
因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故.
（3）因为，
所以
令，则，
两式相减得，
所以，
故.