2024-2025学年江苏省南京市文枢中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市文枢中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l过点A(−4, 3)、B(−1,0)，则l的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.数列2，−4，6，−8，…的通项公式可能是( )
A. an=(−1)n2nB. an=(−1)n+12nC. an=(−1)n2nD. an=(−1)n+12n
3.已知直线mx+(2m−1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直，则( )
A. m=1B. m=−1
C. m=0或m=−1D. m=1或m=0
4.已知正项等比数列{an}中，a2=2，a5=4a3，则a6=( )
A. 16B. 32C. 64D. −32
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3+a13=12，则S15=( )
A. 90B. 180C. 45D. 135
6.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A. (0,1)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (0,+∞)
7.直线l：kx−y−2k+2=0(k∈R)过定点Q，若P为圆(x−2)2+(y−3)2=4上任意一点，则|PQ|的最大值为( )
A. 1B. 3C. 4D. 2
8.若直线y=kx+4(k>0)与曲线y= 4−x2有两个交点，则实数k的取值范围为( )
A. ( 3,+∞)B. [ 3,+∞)C. [ 3,2]D. ( 3,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆O1：x2+y2−2x−3=0和圆O2：x2+y2−2y−1=0交于A，B两点，则( )
A. 两圆的圆心距|O1O2|=2
B. 两圆有3条公切线
C. 直线AB的方程为x−y+1=0
D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+ 2
10.已知数列{an}满足an+1=1−1an(n∈N∗)，且a1=2，则( )
A. a3=−1B. a2024=2C. S6=3D. 2S2024=2025
11.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(2,t)时，|PF|=4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M(4,1)，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为y2=8x
B. 存在直线l，使得A、B两点关于x+y−6=0对称
C. |PM|+|PF|的最小值为6
D. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y2=12x的准线方程为______．
13.已知实数x，y满足关系：x2+y2−2x+4y−20=0，则 x2+y2的最小值______．
14.已知数列{an}满足a1=12，且an+1=an3an+1，则数列{an}的通项公式为an= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B (3,−3)，C (0,2)．
(Ⅰ)求BC边所在直线的方程；
(Ⅱ)求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
在等差数列{an}中．a1+a3=10，a4−a2=4．
(Ⅰ)求{an}的通项公式：
(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn，求满足Sn≤120的n的最大值．
17.(本小题15分)
已知圆C的圆心在直线3x−y=0上，且经过点A(−1,3)，B(1,5)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P(2,1)的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=2 3，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知bn=2Sn−n．
(1)证明：数列{Sn+1}是等比数列；
(2)已知数列{cn}满足：cn=nan，求数列{cn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，|AB|= 3，离心率为 22．
(1)求E的方程；
(2)直线l平行于直线AB，且与E交于M，N两点，
①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于13|MN|2，求l的方程；
②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为k1，k2，证明：k1⋅k2为定值．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.A
6.A
7.B
8.D
9.CD
10.AC
11.ACD
12.x=−3
13.5− 5
14.13n−1
15.解：(Ⅰ)由两点式可得：y−2−3−2=x−03−0，化为：5x+3y−6=0．
(Ⅱ)AB所在直线方程为：3x+8y+15=0，
点C到直线AB的距离为：d=31 73．
|AB|= 73．
∴S△ABC=12× 73×31 73=312．
16.解：(I)设{an}的公差为d，
因为a4−a2=4，所以2d=4，即d=2，
因为a1+a3=2a1+2d=10，所以a1=3，
所以an=a1+(n−1)d=2n+1．
(II)Sn=(3+2n+1)n2=n2+2n，
当n2+2n≤120，即(n+12)(n−10)≤0，
所以00，
∴圆C的方程为x2+y2−2x−6y+6=0，即(x−1)2+(y−3)2=4．
(2)直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x−2=0，
则2 4−1=2 3，满足|MN|=2 3．
直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(x−2)，即kx−y+1−2k=0，
圆心C(1,3)到直线l的距离d=|k−3+1−2k| k2+1=|k+2| k2+1，
由题意可得4−(|k+2| k2+1)2=( 3)2，
解得k=−34，
直线l的方程为y−1=−34(x−2)，即3x+4y−10=0．
综上可得，直线l的方程为：x−2=0，3x+4y−10=0．
18.解：(1)证明：∵b1=2S1−1，∴S1=2S1−1，∴S1=1，
当n≥2时，Sn=bn−bn−1=(2Sn−n)−[2Sn−1−(n−1)]，
∴Sn=2Sn−1+1，∴Sn+1=2(Sn−1+1)，
∵S1+1=2≠0，
∴{Sn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
(2)由(1)知Sn+1=2n，∴Sn=2n−1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，
当n=1时，a1=S1=1，符合n≥2的情况，∴an=2n−1，cn=nan=n⋅2n−1，
所以，Tn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+...+n⋅2n−1，
2Tn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n⋅2n，
上面两式相减可得−Tn=1+21+22+...+2n−1−n⋅2n−1
=1−2n1−2−n⋅2n，
化简可得Tn=(n−1)⋅2n+1．
19.解：(1)由题意得，a2+b2=3e=ca= 22a2=b2+c2，解得a2=2，b2=c2=1，
所以椭圆E的方程为：x22+y2=1；
(2)①由(1)知A( 2,0)，B(0,1)，
所以kAB=− 22，又P，Q是直线AB上的两点，四边形MNPQ为矩形，
所以kMN=− 22，
设直线l的方程：y=− 22x+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x22+y2=1y=− 22x+m，消去y整理得：x2− 2mx+m2−1=0，
则Δ=2m2−4(m2−1)>0，解得：− 2