湖南省长沙市2024年中考数学试卷含真题解析

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是-180℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：150-（-180）=330（℃)
故答案为：D.
【分析】根据有理数的减法用最高温度减去最低温度列式计算即可得出答案.
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，所以A正确；
B、和不是同类二次根式，不能合并，所以B不正确；
C、，所以C不正确；
D、，所以D不正确.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法可得出A正确；根据幂的乘方可得出C不正确；根据同类二次根式可得出B不正确；根据完全平方公式，可得出D不正确，综上即可得出答案.
5．为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）
A．9.2B．9.4C．9.5D．9.6
【答案】B
【解析】【解答】解：把这组数据（7个）按照从小到大的顺序重新排列为：8.8，9.2，9.4，9.4， 9.5，9.5，9.6，
∴这组数据的中位数是9.4.
故答案为：B.
【分析】首先把收据按照从小到大的顺序重新排列，然后找到第4个数据也就是它们的中位数.
6．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A．B．C．(3，3)D．(3，7)
【答案】D
【解析】【解答】解： 将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为 （3，5+2），即：(3，7).
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系内点的移动与坐标的变化规律“左减右加，上加下减”，即可得出答案.
7．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点
B．随的增大而减小
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【解析】【解答】解：A、一次函数y=2x-1中x=0得y=-1，∴y=2x-1与y轴的交点坐标为（0，-1），所以A正确；
B、因为2＞0，所以y随x的增大而增大，所以B错误；
C、当x=时，y=2×-1=0，所以当x＞时，y＞0，所以C错误；
D、因为k=2＞0，所以图象经过一三象限，因为-1＜0，所以图象经过三，四，所以图象经过一三四象限，所以、D不正确.
故答案为：A.
【分析】首先令x=0，求得直线与y轴的交点坐标，可得出A正确；根据函数的增减性可得出B不正确；根据函数的增减性，通过计算可得出C不正确；根据函数图象的位置与系数的关系可得出D不正确，故而得出答案.
8．如图，在中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在中，∵，
∴∠C=70°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠C=70°.
故答案为：C.
【分析】首先根据三角形内角和定理求得∠C=70°，再根据二直线平行，内错角相等，即可得出∠1的度数.
9．如图，在中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离，则的半径长为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE=，
∵OE=4，
∴OA=，
即的半径长为.
故答案为：B.
【分析】首先根据垂径定理得出AE=，然后再根据勾股定理得出OA的长度，也就是的半径长。
10．如图，在菱形ABCD中，，点是BC边上的动点，连接AE，DE，过点作于点.设，则与之间的函数解析式为(不考虑自变量的取值范围)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥BC，垂足为点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∵∠AGB=90°，∠B=30°，
∴AG=，
∴S菱形ABCD=BC×AG=6×3=18，
∵S△ADE=，
∵于点，，
∴S△ADE=，
∴，
∴y=.
故答案为：C.
【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为点G，首先根据含30°锐角的直角三角形的性质，求得AG的长度，然后可求得菱形ABCD的面积，然后根据面积法得出S△ADE=，进一步即可整理得出y=.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分,共18分)
11．为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8.由此可知 种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).
【答案】甲
【解析】【解答】解：∵3.6＜10.8＜15.8，
∴甲种秧苗的长势更整齐.
故答案为：甲.
【分析】通过比较三组秧苗的方差，即可得出方差最小的长势更整齐.
12．某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节，抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同)，其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个.每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会.小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 .
【答案】
【解析】【解答】解：P（获得一等奖）=.
故答案为：.
【分析】根据概率计算公式，用箱子中红色小球的个数比上箱子中小球的总个数即可求得答案.
13．要使分式有意义.则需满足的条件是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：x-19≠0，
∴x≠19.
故答案为：x≠19.
【分析】根据分式有意义的条件“分母不能为零”列出不等式，再进行解答，即可得出答案.
14．半径为4，圆心角为的扇形的面积为 (结果保留).
【答案】4
【解析】【解答】解：S扇形=.
故答案为：4.
【分析】根据扇形面积计算公式“”即可求得答案.
15．如图，在中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE.若，则AB的长为 .
【答案】24
【解析】【解答】解：∵ 点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴DE=，
∴AB=2DE=24.
故答案为：24.
【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半即可得出答案.
16．为庆视中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生.其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010)，得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份，若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是
【答案】2009
【解析】【解答】解：设参与者选取数字为x，出生年份为y，
根据题意得：
(10x+4.6)×10+1978-y=915，
整理为：y=100x+1109，
∵此时中学生的出生日期都在2000后，
∴x=9，
∴y=2009.
故答案为：2009.
【分析】首先根据题意列出方程，然后再根据实际情况进行推理，即可得出答案.
三、解答题（本大题共9个小题、第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
【答案】解：原式
【解析】【分析】首先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别进行化简，然后再进行加法运算即可.
18．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
当时，原式.
【解析】【分析】先将待求式子根据单项式乘以多项式法则、平方差公式分别去括号，再合并同类项化简，然后再代入m的值求值即可.
19．如图，在Rt中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE.
（1）求CD的长；
（2）求的周长.
【答案】（1）解：由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
所以在Rt中，点是斜边AB的中点.
所以；
（2）解：在Rt中，
因为MN是线段AB的垂直平分线，点在MN上，
所以.
所以的周长.
【解析】【分析】（1）由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出CD的长度；
（2）首先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据三角形周长的定义及中垂线段的性质可得出的周长=AC+BC，即可得出答案.
20．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了 人；表中 ， ；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?
【答案】（1）50；30；6
（2）解：混动的人数为：50-27-3-5=15（人）
如图所示，
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为：360°x30%=108°；
（4）解：4000x(54%+30%+6%)=3600(人).
答：估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有3600人.
【解析】 【解答】解：（1） 本次调查活动随机抽取的人数为：27÷54%=50（人）；
∴混动的人数为：50-27-3-5=15（人），
∴混动的百分比为：15÷50=30%，
∴a=30；
氢燃料的百分比为：3÷50=6%，
∴b=6，
故答案为：50；30；6；
【分析】（1）用纯电的人数÷纯电的百分比，即可得出随机抽取的人数；从总人数中减去其他类人数可得出混动人数，然后用混动人数除以总人数即可得出混动的百分比，即可得出a的值；用氢燃料人数除以总人数即可得出氢燃料的百分比，即可得出b的值；
（2）由（1）知：混动人数为15人，并补全条形统计图即可；
（3）360°×混动的百分比，即可得出扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）用总人数4000× 样本中新能源所占的百分比的和即可得出答案.
21．如图，点在线段AD上，.
（1）求证：：
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：在△ABC与△ADE中，
所以△ABC≌△ADE(SAS)；
（2）解：因为△ABC≌△ADE，
所以AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°.
所以△ACE是等边三角形，
所以∠ACE=60°.
【解析】【分析】（1）根据SAS即可证得；
（2）根据全等三角形的性质可得出AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，即可判定△ACE是等边三角形，进而得出∠ACE=60°.
22．刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外.在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件种湘绣作品与2件种湘绣作品共需要700元，购买2件种湘绣作品与3件种湘绣作品共需要1200元.
（1）求种湘绣作品和种湘绣作品的单价分别为多少元?
（2）该国际旅游公司计划购买种湘绣作品和种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买种湘绣作品多少件?
【答案】（1）解：设种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元.
根据题意，得
解得
答：种湘绣作品的单价为300元，种湘绣作品的单价为200元.
（2）解：设购买种湘绣作品件，则购买种湘绣作品件.
根据题意，得，
解得.
答：最多能购买100件种湘绣作品.
【解析】【分析】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元， 可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200-a)件，根据总费用不超过50000元 ，可得不等式，求出不等式的解集，即可得出答案。
23．如图，在中，对角线AC，BD相交于点.
（1）求证：；
（2）点在BC边上，满足.若，求CE的长及的值.
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，且，
所以四边形ABCD是矩形.
所以.
（2）解：在Rt中，.
因为四边形ABCD是矩形，
所以.
因为，
所以.
过点作于点.
因为四边形ABCD是矩形，
所以.
所以.
所以.
在Rt中，.
所以.
【解析】【分析】（1）根据有一个角为直角的平行四边形是矩形得四边形ABCD是矩形，进而根据矩形的对角线相等即可得出结论；
（2）首先根据勾股定理可求得AC的长度为10，然后根据矩形的性质得出OC=5，再根据等角对等边得出CE=OC=5，过点作于点，根据等腰三角形三线合一可得出，进而得出EF=1，再根据勾股定理，已知OC，CF的长度可求得OF的长度，再根据正切的定义即得出的值.
24．对于凸四边形，根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切)，可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形：
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”).
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（ ）
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为，内切圆半径为，则有.（ ）
（2）如图1，已知四边形ABCD内接于，四条边长满足：.
①该四边形ABCD是“ ▲ ”四边形(从约定的四种类型中选一种填入)；
②若的平分线AE交于点的平分线CF交于点，连接EF.求证：EF是的直径.
（3）已知四边形ABCD是“完美型双图”四边形，它的内切图与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H.
①如图2，连接EG，FH交于点.求证：；
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若，求内切圆的半径及OD的长.
【答案】（1）×；√；√
（2）解：①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形：
②：如图1，因为AE平分平分，所以.
所以，即.
所以与均为半圆.
所以EF是的直径.
（3）证明：①证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HG.
因为是四边形ABCD的内切圆，
所以.
所以.
所以在四边形EAHO中，.
同理可证.
因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
所以四边形ABCD有外接圆.
所以.所以.所以
又因为，
所以.所以，即.
解：如图4，连接OE，OF，OG，OH.
因为四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，
所以.
又因为与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，所以.所以.
又因为，所以.
又因为，所以.
所以，即，解得.
在Rt中，有，即，
解得.
在Rt中，.
同理可证，
所以，即，解得.
【解析】【解答】解：（1）①∵一般的平行四边形对角不一定互补，
∴平行四边形不一定有外接圆；
∵一般的平行四边形对边之和不一定相等，
∴平行四边形不一定有内切圆，故①不正确；
②∵菱形的对边之和相等，
∴菱形有内切圆，
∵内角不等于90°，
∴对角之和不等于180°，
∴这样的菱形没有外接圆，
∴这样的菱形 一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；
③∵ “完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，
∴该四边形是正方形，
如图所示：这里OM=r，ON=R，
∵三角形OMN是等腰直角三角形，
∴ON=，
∴R=，故③正确；
故答案为：×；√；√；
【分析】（1）根据几种四边形的性质分别进行推理判断即可得出对错；
（2）①根据四边形ABCD有外接圆，没有内切圆可得出答案；
②证明与均为半圆，即可得出结论；
（3）①四边形ABCD是完美型双圆四边形，可得出∠A+∠EOH=180°，∠FOG+∠C=180°，从而得到∠EOH=∠C，∠FOG+∠EOH=180°，再根据圆周角定理可得∠HPG=90°，即可得证；②首先证明，得出，然后再根据勾股定理建立方程即可求解.
25．已知四个不同的点都在关于的函数是常数，的图象上.
（1）当A，B两点的坐标分别为时，求代数式的值；
（2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：.请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：表示一条长度等于EF的倍的线段).
【答案】（1）解：将代入得
②-①得8a+4b=8，即.
所以.
（2）解：此函数图象与轴的公共点个数为两个.
由，得.
可得或.
当时，，此拋物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在轴的下方，此时该函数图象与轴有两个公共点；
当时，，此拋物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在轴的上方，此时该函数图象与轴也有两个公共点.
综上所述，此函数图象与轴必有两个公共点.
（3）解：因为，所以该函数图象开口向上.
由，得，可得.
由，得，可得.
所以直线AB，CD均与轴平行.
由(2)可知该函数图象与轴必有两个公共点，设.由图象可知，即.
所以的两根为，可得
同理的两根为，可得.
同理的两根为，可得.
由于，结合图象与计算可得.
若存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为时，因为，所以必须同时满足：.
将上述各式代入化简可得，且，联立解之得，解得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得，解得.
因为以线段为斜边，且有一个内角为，而，所以，即，化简得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
综上所述，存在两个的值符合题意；
当时，此时该函数的最小值为；
当时，此时该函数的最小值为
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，代入二次函数关系式中，即可得出，然后整体代入，即可得出的值；
（2）令由，求解，再根据a的正负分类讨论即可；
（3）由内角之比可得出这是一个含30°锐角的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的三角函数值建立方程即可.类型
人数
百分比
纯电
m
54%
混动
n
a%
氢燃料
3
b%
油车
5
c%