黑龙江省绥化市 2024年中考数学试卷含真题解析

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一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1．实数 的相反数是（ ）
A．2025B．-2025C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：实数 的相反数是
故答案为D.
【分析】任意数a的相反数是-a.
2．下列所述图形中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．等腰三角形C．圆D．菱形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A错误
CD即是轴对称图形，又是中心对称图形，故C，D错误
故答案选B.
【分析】本题主要考查的是中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形和轴对称图形的定义一一判断即可.
3．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成， 下图是这个几何体的三视图， 那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5 个B．6 个C．7 个D．8 个
【答案】A
【解析】【解答】解：根据三视图，可以得到这个几何体：共有2层，底层有3个，第二层有2个，共有5个小正方体
故答案为：A.
【分析】先根据主视图可以确定该几何体共有2层，底层有3个，再结合左视图和俯视图可以确定第二层为2个，这样即可.
4．若式子 有意义， 则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：要使式子 有意义，
则：2m-3≥0
∴
故答案为C.
【分析】要使二次根式有意义，必须满足被开方数大于等于0.
5．下列计昇中， 结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故A正确
B、，故B错误
C、，故C错误
D、，故D错误
故选A.
【分析】本题考查了负指数整数幂，完全平方公式，算术平方根以及积的乘方等知识点，分别依据各知识点依次判断即可.
6．小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设一元二次方程为
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.
7．某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋的销售量如下表：
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列织计量中是的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】C
【解析】【解答】解：鞋厂最关心的是哪种鞋码出售的最多，即鞋码的众数，
故选C.
【分析】本题考查的是众数，众数是指一组数据中，出现次数最多的数据.
8．一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等， 则江水的流速为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设江水流速为x km/h ，
解得x=8，
经检验：x=8是原方程的解
因此江水流速为8 km/h
故选D.
【分析】本题考查的分式方程的应用，根据等量关系：列出方程即可.
9． 如图， 矩形 各顶点的坐标分別头 ，以原点 为位似中心， 将这个矩形拨相似比 缩小， 则顶点 在第一象限对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：以原点 为位似中心， 将这个矩形按相似比 缩小，
∵
∴ 顶点 在第一象限对应点的坐标是
故选D.
【分析】以原点为位似中心，同向位似规律为：位似后的对应点坐标同时乘以相似比.
10． 下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦心距也相等
【答案】C
【解析】【解答】A、 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，故A错误
B、 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误
D、在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦心距也相等，故D错误
故选C.
【分析】根据平行四边形的判定定理及中位线定理，垂径定理，中心投影的性质，圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理依次判定即可.
11． 如图， 四边形 是菱形， 于点 ， 则 的长是（ ）
A．B．6C．D．12
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是菱形，
∴AC⊥BD，CD=CB=5，DO=
∴
∴AC=2CO=6
AE=
故选A.
【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理计算出OC，再利用等积法，用两种不同的方式表示出菱形的面积即可.
12． 二次函数 的部分图象如图所示， 对称轴为直线 . 则下列结论中：
①
② ( 为任意实数)
③
④若 是抛物线上不同的两个点， 则 . 其中正确的结论有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【解析】【解答】解：①由图可知：a
∴选择B种电动车
故答案为B.
②解设=kx，把（20，8）代入得：20K=8，解得k=
∴
当时，=6
当x>10时，设=kx+b
把（20，8）（10，6）得：
，解得
∴=x+4
∵两种电动车支付费用相差4 元
∴当时，-=4
∴6-x=4，解得x=5
当x>10时，-=4
∴x-x-4=4，解得x=40
故答案为5或40.
【分析】(1)本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意，即可列出方程组.
(2)设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 ( ) 辆，根据 种电动车的数量不多于 种电动车数量的一半 ，列出不等式，得出m的取值范围，设所需购买总费用为 元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围，即可求出W的最小值.
26． 如图 1， 是正方形 对角线上一点， 以 为四心， 长为半径的 与 相切于点 ， 与 相交于点 .
（1）求证： 与 相切.
（2）若正方形 的边长为 ， 求 的半径.
（3）如图 2， 在 (2) 的条件下， 若点 是半径 上的一个动点， 过点 作 交 于点 . 当 时， 求 的长.
【答案】（1）证明： 连接 ， 过点 作 于点
与 相切于点
四边形 是正方形， 是正方形的对角线
为 的半径 为 的半径
与 相切
方法二：
证明： 连接 ， 过点 作 于点
与 相切于点
四边形 是正方形
又
为 的半径
为 的半径
与 相切
方法三：
证明：过点 作 于点 ， 连接
与 相切， 为 半径
又 四边形 为正方形
四边形 为矩形
又 为正方形的对角线
四边形 为正方形
又 为 的半径
为 的半径
又
与 相切
（2）解： 为正方形 的对角线
与 相切于点
由 (1) 可知 设 ， 在 中，
又 正方形 的边长为
在 中，
C
(或利用 列方程求 也可得分)
的半径为
（3）解：方法一：
解： 连接 ， 设

在 Rt 中， 由勾股定理得：
在 Rt 中， 由勾股定理得：
又


方法二：
解： 连接 为 的直径
∵MN⊥AC
∴∠NFM+∠FNM= 90°
∴∠NFM=∠CNM
∵∠NCM= ∠FCN
∴△CNM~△CFN
∴CN2= CM·CF
∵CM：FM= 1：4，CF= 5CM
∴CN= CM
方法三：
解： 连接 为 的直径
∴∠CNF= 90°∴∠FNM+∠CNM= 90°∵MN⊥AC∴ ∠NFM+∠FNM= 90°∴ ∠NFM=∠CNM∵∠NCM=∠FCN∴ △CNM~△CFN∵CM：FM= 1：4
议 ， 则
又

​​​​​​​
【解析】【分析】（1）先过点 作 于点 ，根据正方形的性质：得出=r，或者证明，得出：=r，或者证明矩形 为正方形，得出=r，即可得出结论
（2）设圆的半径为R，得出，则AC=，由正方形的边长为，求出，因而得出，求出R
（3）方法一：根据，R=，求出CM.再利用OM=OC-CM，求出OM，利用勾股定理，求出MN，最后再利用勾股定理求出CN即可，
方法二或方法三：先证△CNM∽△CFN，得出：CN2=CM·CF求出CN.
27．综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形为操作对象，纸片 和 .下面是创新小红的探究过程
（1） 【操作发现】如图 1， 取 的中点 ， 将两张纸片放置在同一平面内， 使点 与点 重合.当旋转 纸片交 边于点 、交 边于点 时， 设 ，请你探究出 与 的函数关系式，并写出解答过程.
（2）【问题解决】 如图 2， 在 (1) 的条件下连接 ， 发现 的周长是一个定值. 请你写出这个定值， 并说明理由.
（3）【拓展延伸】如图 3， 当点 在 边上运动（不包括端点 )， 且始终保持 .请你直接写出 纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值 （结果保留根号）。
【答案】（1）操作发现
解： ， 且
在 中，
是 的中点， 点 与点 巫合

（2）解：方法一：
解： 的周长定值为 2
理由如下，
在 中、
将（1）中 代入得：
又
的周长
的周长 .
方法二：
解： 的周长定值为 2
理由如下： 和 远等腰直角三角形
在 中，

为 的中点
又
过 作 交 于点 ， 作 交 于点 ， 作 父 于点
又
的周长
又
是 的中点
点 是 的中点， 同理点 是 的中点
的周长
方法三：
解： 的周长定值为 2
理由如下： 过 作 于点 ， 作 交 于点 ， 在 上截取一点 使 连接
平分
的周长
又
是 的中点
点 为 的中点. 同理点 是 的中点
的周长
（3） 或
【解析】【解答】(3)①过点F作 FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，
∵∠AFE=60°，∠A=45°
∴∠AFN=45°，∠HFN=∠AFH-∠AFN=60°-45°=15°，
∵FH的垂直平分线交FN
∴FM=MH，
∴∠NFH=∠MHF=15°
∠NMH是△FMH的外角
∴∠NMH=30°
设NH=1，则NM=，HM=FM=2
∴FN=FM+MN=+2
tan∠FHA==+2
如上图，过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，
∵∠AFE=60°，∠A=∠B=45°
∴∠FGB=∠AFE-∠B=60°-45°=15°
∵作FG的垂直平分线交BG于点M
∴FM=GM
∴∠GFM=∠MGF=15°
∴∠FMB=∠GFM+∠MGF=30°
设FN=1，MN=，GM=FM=2
∴NG=GM+MN=+2
tan∠FGN==
故答案为 或.
【分析】
（1）根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，再根据对应边成比例，得出，代入数值，得出y 与x的关系式
（2）
方法一：设，表示出CH，CG，再根据勾股定理：和xy=2表示出GH，GH=
方法二：根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，得出：，又因为O为AB的中点，得出：，根据两边对应成比例且夹角相等，证明出，得出，再通过作垂直，构造出两对全等三角形，得出，把 的周长 转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可
(3) 过 作 于点 ， 作 交 于点 ， 在 上截取一点 使 连接 ，证明得出再证明，把 的周长 转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可.
(3)分两种情况讨论，两种情况都是通过作垂直和中垂线构造出含30°的直角三角形，设30°所对的直角边为单位1，通过30°，60°的直角三角形三边的关系，推出 纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的 对边与邻边的比值.
28．综合与探究
如图，在平而直角坐标系中，已知抛物线 与当线相交于 两点， 其中点 .
（1）求该抛物线的函数解析式.
（2）过点 作 轴交抛物线于点 . 连接 ， 在拋物线上是否存在点 使 . 若存在， 请求出满足条件的所有点 的坐标： 落不存在， 请说明理由. (提示： 依题意补全图形， 并解答)
（3）将该抛物线向左平移 2 个单位长度得到 ， 平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ， 点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点， 当以点 为顶点的四边形是菱形时， 请直接写出点 的坐标.
【答案】（1）解： 把点 代入 得
解得
​​​​​​​
（2）解：存在
理由： 轴且
(舍去)
过点 作 于点
在 中，
设直线 交 轴于点
连接 交抛物线于 ， 连接 交抛物线于
解得
或 解得
把 代 入 得
综上所述， 满足条件的点 坐标为 ​​​​​​​
（3）
【解析】【解答】解：(3) ∵
∴设抛物线向左平移 2 个单位长度为：
令，解得：
∴D的坐标为（1，4），B(0，1)
则
设E（2，t），F(m，n)
当BF，DE为对角线时，
则DB=BE
∴=10，解得t=
根据中点坐标公式可得：
解得，当t =1-，m=3，n=4-
当t =1+，m=3，n=4+
∴F点坐标为：（3，4-）（3，4+）
当BE，DF为对角线时，DE=BD
DE2=(2-1)2+(4-t)2=t2-8t+17
∴t2-8t+17=10，解得t=1或7
根据中点坐标公式可得：
解得，当t =1，m=1，n=-2
当t =7，m=1，n=4
∴F点坐标为：（1，4）(舍去)或（1，-2）
∴F点坐标为：（1，-2）
当BD，EF为对角线时，DE=BE
∴t2-8t+17=t2-2t+5，解得t=2
根据中点坐标公式可得：
解得m=-1，n=3
∴F点坐标为：（-1，3）
故答案为：.
​​​​​
【分析】(1)利用待定系数法代入求解即可
（2）根据 轴且 ，得出点C 的坐标，再根据求出，求出两种情况下直线CP的解析式，再联立方程，求出点P的坐标即可.
(3)根据题意需要分三种情况讨论：当BF，DE为对角线时，当BD，EF为对角线时，当BE，DF为对角线时，每种情况要结合两点间坐标公式和中点坐标公式列出方程组即可.鞋码
36
37
38
39
40
平均每天销售量/双
10
12
20
12
12